Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Regresyonun amacı elinizdeki deney ölçüm sonuçlarını en iyi temsil edecek eğriyi uydurmaktır. Lineer regresyonla ölçüm sonuçlarına uydurulan doğrunun.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Regresyonun amacı elinizdeki deney ölçüm sonuçlarını en iyi temsil edecek eğriyi uydurmaktır. Lineer regresyonla ölçüm sonuçlarına uydurulan doğrunun."— Sunum transkripti:

1

2 Regresyonun amacı elinizdeki deney ölçüm sonuçlarını en iyi temsil edecek eğriyi uydurmaktır. Lineer regresyonla ölçüm sonuçlarına uydurulan doğrunun eğimini ve y eksenini kestiği yer belirlenmektedir. Lineer regresyon denkleminin katsayılarını belirlemek üzere her bir doğru üzerindeki noktanın gerçek ölçüm değerlerinden olan farklarının karesini minimum yapmak gerekecektir. Bu yöntem en küçük kareler yöntemi olarak da bilinmektedir. Lineer doğru uydurma pek çok temel bilimler alanındaki ölçüm sonuçları için uygun değildir Ölçüm sonuçlarının analizinde çok kere lineer regresyon yetersiz kalabilir. Dolayısıyla daha uygun sonuçlar verebilecek olan non- lineer eğriler ile temsil yolu tercih edilmektedir.

3 Non-lineer regresyon denklemlerini çıkarmak için yine aynı lineer denklemlerde olduğu gibi en küçük kareler yöntemini kullanabiliriz. En küçük kareler yönteminin en genel halini çıkaralım: Elimizde (x o, y o ), (x 1, y 1 ), …, (x n, y n ) şeklinde n+1 adet ölçüm sonucu olduğunu varsayalım. Amacımız bu sonuçları temsil edecek en küçük kareler polinomunun bilinmeyen a i katsayılarını bulmak olacaktır. y m (x i ) = a o + a 1 x + a 2 x 2 +…+ a m x m

4 Eğer polinomun derecesi (m) verilen ölçüm noktası sayısı ile eşit alınırsa, (m = n) en küçük kareler polinomu interpolasyon polinomlarına eşdeğer olacak ve bulunan polinom tüm ölçüm noktalarından geçecektir. Biz ölçüm sonuçlarının hepsinden geçecek bir eğri uydurmak istemediğimiz için (m) değerini (n) değerinden küçük seçmemiz gereklidir. Bu durumda (m < n) olduğunda, polinom ölçüm noktalarından geçmeyecek fakat en yakın geçen polinom bulunacaktır. Bu da en küçük kareler yöntemi ile sağlanır.

5 Bu problemde verilen her x noktasındaki y ölçüm değeri ile en küçük kareler polinomu y m (x) ile hesaplanan y değeri arasındaki farkların karesinin toplamı minimum yapılmaya çalışılmaktadır. Verilen ölçüm noktaları ve yaklaşık fonksiyon arasındaki farklar (  ) ile tanımlanırsa:  = y(x) - y En küçük kareler yönteminin esası, toplam hata miktarını minimuma indirgemek olduğundan hata değerinin ifadesi yazılırsa; imi i i

6 Bu hata değeri minumum yapılmaya çalışılır. Burada y i verilen ölçüm değeri ve y m (x i ) en küçük kareler polinomu ile bulunan değerdir. Polinomun ifadesi denklemde yerine konursa; Bu ifade eğri uydurmada yapılan hata miktarını göstermektedir. Hatanın minimum olma koşulu uydurulan polinomun katsayılara göre türevlerinin sıfır olmasıdır.

7 Bu ifadeleri açık şekilde yazarsak;

8 Bu ifadeyi düzenlersek aşağıdaki lineer denklem takımı elde edilir:

9 En küçük kareler metodunun en genel halini çıkarttıktan sonra örnek olarak en basit hal olan m=1 lineer doğru uydurma halini alalım. En küçük kareler polinomun denklemi y m (x i ) = a o + a 1 x şeklinde olacaktır. Bilinmeyen a i katsayılarının çözülmesi için aşağıdaki iki koşul kullanılarak; çözülmesi gereken denklem sistemi aşağıdaki gibi oluşturulur:

10 Bu denklem takımının çözümü ile hata değerini (E) minimum yapan tek bir set a i katsayı vardır.

11 Örnek (Lineer regresyon): Aşağıdaki tabloda, yapılan bir deneyde voltaja karşı ölçülen gerilme değerleri verilmiştir. Ölçüm datasına uydurulacak en küçük kareler polinomunu bulalım. Bu örnekte m=1 seçerek en basit hal olan lineer doğru uydurma durumu ele alalım. Voltaj (x) Gerilme (y)

12 Çözüm: m =1 için lineer denklem sistemini yazarsak; n = 4, n+1 =5

13

14 Bu değerleri denklem sisteminde yerine koyarak: Bu denklem sisteminin çözülmesi ile a o = 7.02 ve a 1 = Bulunur. Böylece aranan doğru denklemi Gerilme = (Voltaj) şeklindedir.

15 Bu denklem ile bulunan değerleri verilen ölçüm datasıyla kontrol edelim. x : y (ölçüm): y (polinom):

16 Verilen ölçüm noktaları ve uydurulan polinom çizilmiştir.

17 Genellikle ölçüm datalarınının trendi doğru parçaları ile temsil edilemeye uygun değildir. Bu durumda daha yüksek dereceden non-lineer eğriler uydurmak gerekecektir. Örneğin ikinci dereceden bir eğri uydurmak için aşağıdaki denklem sisteminin çözümü gerekecektir.

18 Örnek (Non-lineer regresyon): Aşağıda kuvvete karşı gerilme değerleri görülmektedir. Bu ölçüm noktalarını temsil edecek ikinci derece (m=2) bir polinomu elde edelim. Kuvvet(x) Gerilme (y) Çözüm: Polinomun denklemi y = a o + a 1 x + a 2 x 2 şeklinde olacaktır. n = 8, n+1 =9

19 ixixi yiyi Σ=Σ=

20 Bulunan değerleri lineer denklem takımında yerine konursa; 9a o + 296a a 2 = a o a a 2 = a o a a 2 = Bu denklem sisteminin çözümü ile a o = , a 1 = ve a 2 = olarak bulunur. Böylece polinomun denklemi y = x x 2

21 x y (ölçüm) y (polinom) Aşağıdaki tabloda verilen ve polinom ile hesaplanan değerler kıyaslanmaktadır.

22

23 Çoklu Regresyon Birçok deneyde ölçülecek fiziksel büyüklüğü etkileyen deney parametrelerinin sayısı birden fazla olabilir. Bu nedenle tek parametreli regresyon yetersiz kalabilir. Birden fazla deney parametresi bulunması durumunda çoklu regresyon yöntemi uygulanmalıdır. Bir otomobilin yakıt sarfiyatı katedilen yolun fonksiyonu olarak ifade edilebilir. Ancak arabanın ağırlığını da dikkate alan bir ifade çok daha doğru olacaktır.

24 Benzer şekilde bir konteyner gemisinin taşıma kapasitesini sadece boy ile ifade etmeye çalışmak sağlıklı olmayacaktır. Daha gerçekçi bir temsilde geminin genişliği, derinliği ve tekne form narinliği de dikkate alınmalıdır. İki adet bağımsız değişkenin bulunması durumunda çoklu regresyon ifadesi Y= a + b 1 X 1 + b 2 X 2 olacaktır. Burada

25 Y= Ölçülecek büyüklük a= X 1 ve X 1 sıfır iken ölçülmesi beklenen değer X 1 = Birinci bağımsız değişken b 1 = X 1 bağımsız değişkeninin değişim doğrusunun eğimi X 2 = İkinci bağımsız değişken b 2 = X 2 bağımsız değişkeninin değişim doğrusunun eğimi a ve b katsayıları hata karelerinin toplamı minimum olacak şekilde belirlenecektir

26 Bu ifadenin a ve b katsayılarına göre türevi alınarak sıfıra eşitlenirse

27 Bu denklem aşağıdaki gibi matris formuna sokulabilir

28 Örnek (Çoklu regresyon). Aşağıdaki tabloda verilen gemiler için deadweight (DWT), boy (LBP), genişlik (B) ve değerlerini kullanarak çoklu regresyon ifadesini çıkarınız. Not: Bağımsız değişkenler olarak LBP, B değerleri kullanılacaktır. Sıra NoDWTL BP (m)B (m)T (m)P B (kW)V (knot)İnşa tarihi ,620,87, , ,520,87, , ,020,57, , ,422,98, , ,122,38, , ,020,47, , ,020,07, , ,022,77, , ,020,57, , ,026,28, , ,823,17, , ,422,88, , ,025,69, , ,225,09, , ,122,38, , ,123,59, , ,923,38, ,097

29 y = a + b 1 x 1 + b 2 x 2  DWT= a + b 1 LBP + b 2 B,

30 n: 17 : : : : : : : :

31 Yukarda hesaplanan değerler aşağıdaki matriste yerine konularak a, b 1, b 2 katsayıları bulunur:

32 Bulunan katsayılar çoklu regresyon ifadesinde yerine konursa; DWT= LBP B Bu denklem kullanılarak hesaplanan yeni DWT değerleri aşağıdaki tablonun son kolonunda görülmektedir. DWTL BP (m)B (m)DWT yeni ,620, ,520, ,020, ,422, ,122, ,020, ,020, ,022, ,020, ,026, ,823, ,422, ,025, ,225, ,122, ,123, ,923,312827

33 Örnek.(Çoklu Regresyon) Bir geminin yüzdüğü su hattındaki metasantr yarıçapı formülü ile hesaplanır. Burada I su hattı enine atalet momenti ve deplasman hacmidir. Su hattı atalet momenti su hattının geometrik karakteristiklerine bağlıdır. Bir su hattını tanımlayan temel geometrik parametreler şunlardır: L B LCF A WP

34 I: Su hattı enine atalet momenti (bağımsız değişken) ʃ y dA L: Su hattı boyu (bağımlı değişken) B: Su hattında genişlik (bağımlı değişken) AWP: Su hattı alanı (bağımlı değişken) LCF: Su hattı alan merkezi (bağımlı değişken) Bu durumda atalet momenti için aşağıdaki çoklu regresyon ifadesi yazılabilir. I= a 0 + a 1 L + a 2 B + a 3 AWP + a 4 LCF a katsayıları hata karelerinin toplamı minimum olacak şekilde belirlenecektir. Bu ifadenin a katsayılarına göre türevi alınarak sıfıra eşitlenirse 2

35 Bu denklem aşağıdaki gibi matris formuna sokularak a katsayıları çözülerek denklem bulunur:

36 GemiL WL (m)B (m)A WP (m 2 )LCF (m)I(m 4 ) NPL TRAWLER FFG IACS S Seri Seri Seri Aşağıdaki tabloda verilen gemiler için boy, genişlik, su hattı alanı ve su hattı alan merkezi değerlerini kullanarak su hattı atalet momenti için çoklu regresyon ifadesini çıkarınız. I= a 0 + a 1 L + a 2 B + a 3 AWP + a 4 LCF

37 NPLL=25.4 B=4.376 Sta NoySMProductMCProducty3SMProduct AWP LCF0.923 I

38 a a a a a NPL için uygulayalım

39 a 0 = a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = NPL için çoklu regresyon ifadesi I= L i B i A WPi LCF i I= m 4 Tablodan hesaplanan esas değer : I esas = m 4


"Regresyonun amacı elinizdeki deney ölçüm sonuçlarını en iyi temsil edecek eğriyi uydurmaktır. Lineer regresyonla ölçüm sonuçlarına uydurulan doğrunun." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları