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利率期限结构:动态模型 厦门大学金融系 陈蓉 2011/11/1. >> 利率期限结构:动态模型 动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM 分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准.

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1 利率期限结构:动态模型 厦门大学金融系 陈蓉 2011/11/1

2 >> 利率期限结构:动态模型 动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM 分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准

3 2 2 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 为何需要动态模型? 普通的债券、利率远期、利率期货和利率互换, 由当前静态利率期限结构的信息即可定价 利率期权产品:还需要利率波动的信息 动态模型: DTSMs

4 >> 动态利率模型概述 动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进

5 4 4 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 动态利率模型的建模对象 无风险的瞬时即期利率 instantaneous spot rate or short rate 瞬时远期利率 Instantaneous forward rate Why ? 只要瞬时利率的变化规律已知,就可以推知任意到期期限的 即期利率的动态过程

6 5 5 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 利率期限结构与瞬时利率 贴现因子(零息票债券)与瞬时利率 即期利率与瞬时利率

7 6 6 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 利率期限结构与瞬时远期利率 贴现因子(零息票债券)与瞬时远期利率 即期利率与瞬时远期利率

8 7 7 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 动态利率模型的基本设定 瞬时利率在现实测度下的 SDE 重要工具 I :随机过程、 SDE 、漂移率、波动率、 布朗运动 不同动态利率模型的差异主要在于对漂移率和波 动率设定的不同

9 8 8 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 瞬时利率动态过程模拟

10 9 9 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 动态利率模型的分析框架 重要工具 II : Itô-Doeblin 引理 根据 Itô-Doeblin 引理,当瞬时利率服从伊藤过程时 ,无风险零息债券和即期利率的随机过程可以用 瞬时利率的漂移率、波动率参数和随机源 dz(t) 表 示

11 10 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 偏微分方程方法 I Partial Differential Equation ( PDE )方法,也称无 套利( no arbitrage )方法 通过构造无风险组合,而无风险组合在无套利条 件下只能获得无风险利率推导得到结论

12 11 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 偏微分方程方法 II 用两个无风险债券构造组合 W 选择权重 W 1 、 W 2 使得

13 12 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 偏微分方程方法 III 无套利思想 整理可得 由于债券是任意选取的,因此对于任意债券有 我们称之为瞬时利率的市场风险价格

14 13 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 偏微分方程方法 IV PDE 对于任意其价格仅取决于瞬时利率和时间的可交 易证券,都满足上述风险价格公式和 PDE 给定不同的边界条件,即可求解证券价格。 解析解 数值解:随机过程复杂或是产品设计复杂的情形 必须以无套利为前提

15 14 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 等价鞅测度法 I 重要工具 III :测度转换、等价测度、鞅、 Girsanov theorem 、资产定价基本定理 在无套利条件下,存在一个市场风险价格值使得 不同测度下的的风险源满足 则风险中性测度下的利率产品价格满足

16 15 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 等价鞅测度法 II 如果该产品是可交易资产,则 新测度的特点 无论实际风险多大,利率产品价格对数的漂移率均为无 风险利率:风险中性测度 只要波动率不是随机的,转换测度时波动率不变

17 16 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 等价鞅测度法 III 新测度的另一个重要特点:鞅测度 可交易资产当前的价格等于该产品 T 时刻的价值在 风险中性测度下按无风险利率贴现至 t 时刻的期望 值。

18 17 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 PDE 方法 VS 鞅方法 PDE 方法:运用无套利条件构建 PDE 方程,求解后 用瞬时利率的参数来表示利率产品的价格 鞅方法:在市场风险价格存在的前提下,通过市 场风险价格实现风险中性测度的转换,利率产品 的定价通过求风险中性期望实现 一致性: 无套利=市场风险价格存在=风险中性测度存在 discounted Feynman-Kac theorem

19 18 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Discount Feynman-Kac Theorem 如果随机变量 X(t) 满足伊藤过程 给定满足条件 的函数 h(X) 。定义 则 f(x,t) 满足以下偏微分方程 其边界条件为

20 19 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 动态利率模型与静态利率模型 建模目的 建模重点 静态:高拟合度、曲线的平滑、拟合灵活度和稳定度 动态:经济意义 复杂性和信息含量 估计参数需要的数据

21 >> 动态利率模型概述 动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进

22 21 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 实用主义标准 名义利率是否非负 收益率曲线的静态特征:形状、长端水平等 利率动态特征: 均值回归 分布特征:肥尾、非对称 利率期限结构长短端变动不一致 利率波动率特征: 利率的波动率与利率水平有关 利率波动率期限结构形状 简单快捷

23 >> 动态利率模型概述 动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进

24 23 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 传统分类 均衡模型与无套利模型 均衡模型:参数的非时变性 Merton 模型 Vasicek 模型 CIR 模型等 无套利模型:无套利条件下得到的时变参数 Ho-Lee 模型 Hull-White 模型等 从单因子到多因子 Hull-White 双因子模型 Longstaff-Schwartz 模型

25 24 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 两个重要的动态利率模型框架 仿射模型 把收益率曲线表示成状态变量的线性函数,能获得债券 和期权价格的解析解,易于在实务中进行校准,应用价 值高 HJM 模型 无套利模型的基本框架:从瞬时远期利率的随机过程出 发,推导出利率期限结构所必须满足的无套利条件 LIBOR 市场模型:应用最广泛

26 >> 利率期限结构:动态模型 动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM 分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准

27 >> 仿射利率期限结构模型 Merton 模型 Vasicek 模型 CIR 模型 仿射模型的一般形式

28 27 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Merton 模型 I 基本形式 Merton 模型下的资产价格与利率期限结构

29 28 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Merton 模型 II λ 为常数时,现实测度下瞬时利率仍然服从 Merton 模型, 基本性质 可能出现负利率 Merton 模型无法刻画利率期限结构的基本静态特征 长期利率趋于负无穷 只能刻画开口向下的抛物线形状

30 29 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Merton 模型 III 基本性质(续) 动态特征的缺陷 不存在均值回归特征,当 T 趋于无穷时,利率的均值和 方差都将趋于无穷大 利率波动率特征不符合现实 单因子意味着利率期限结构的平移

31 >> 仿射利率期限结构模型 Merton 模型 Vasicek 模型 CIR 模型 仿射模型的一般形式

32 31 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Vasicek 模型 I 基本形式:均值回归模型 现实测度:

33 32 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Vasicek 模型 II Vasicek 模型下的资产价格与利率期限结构

34 33 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Vasicek 模型 III 改善 均值回归 T 趋于无穷时,长期利率收敛于 参数取值不同,得到不同的即期利率期限结构形状 短期利率波动率大于长期利率波动率

35 34 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Vasicek 模型 IV 缺点 仍有可能出现负利率 长期利率应该是时变的,而非一个常数 利率期限结构形状不够丰富 无法刻画驼峰状的利率波动率;利率波动率与利率水平 无关 单因子模型导致模型导出的债券价格相关性过高。

36 35 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Vasicek 模型拓展: Hull-White 单因子模型 I 基本形式

37 36 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Vasicek 模型拓展: Hull-White 单因子模型 II H-W 模型下的资产价格与利率期限结构

38 37 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Vasicek 模型拓展: Hull-White 单因子模型 III 基本性质 无套利 简单 但并未改善 Vasicek 模型的缺陷

39 38 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Vasicek 模型拓展: Hull-White 双因子模型 I 基本形式 可以证明

40 39 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Vasicek 模型拓展: Hull-White 双因子模型 II 基本性质 引入两个具有相关性的风险源:分别影响短期利率和长 期利率 波动率期限结构形状更为复杂多变 参数估计与校准困难

41 >> 仿射利率期限结构模型 Merton 模型 Vasicek 模型 CIR 模型 仿射模型的一般形式

42 41 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 CIR 模型 I 基本形式:均值回归模型 现实测度:

43 42 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 CIR 模型 II CIR 模型下的零息债价格与利率期限结构

44 43 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 CIR 模型 III CIR 模型下的零息债期权价格

45 44 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 CIR 模型 IV 均值回归 T 趋于无穷时,长期利率收敛于 利率非负 即期利率波动率为 仍然是单因子模型

46 45 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 Longstaff-Schwartz 模型 I 状态变量所服从的随机过程 利率与波动率与状态变量的关系

47 46 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 L-S 模型 II 利率与波动率的动态过程

48 >> 仿射利率期限结构模型 Merton 模型 Vasicek 模型 CIR 模型 仿射模型的一般形式

49 48 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 仿射模型的基本形式 瞬时利率 风险中性测度下状态向量所服从的过程 瞬时利率是状态向量的仿射函数;状态向量的漂 移率和方差率也是状态向量的仿射函数

50 49 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 仿射模型下的零息债价格与利率期限结构 仿射模型下零息票债券的价格 参数满足

51 50 © 版权所有:厦门大学金融系 陈蓉 郑振龙 仿射模型讨论 优势 给定瞬时利率的随机过程,不需要求解偏微分方程或公 式,可以直接得到债券价格的解析解 不足 仿射模型采用线性形式,而对仿射模型定价误差的研究 表明,仿射模型定价误差的存在可能是由于忽略了一些 非线性因素。 拓展:二次模型 / 更多的风险源 / 跳跃模型

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