Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

1. 2 3 4 x y z Sınırlı ve kapalı birbölgesinde tanımlı ve sürekli fonksiyonunu ele alalım. olsun. x o =a x n =b y=g(x) y=f(x) y o =cy n =d D.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "1. 2 3 4 x y z Sınırlı ve kapalı birbölgesinde tanımlı ve sürekli fonksiyonunu ele alalım. olsun. x o =a x n =b y=g(x) y=f(x) y o =cy n =d D."— Sunum transkripti:

1 1

2 2

3 3

4 4 x y z Sınırlı ve kapalı birbölgesinde tanımlı ve sürekli fonksiyonunu ele alalım. olsun. x o =a x n =b y=g(x) y=f(x) y o =cy n =d D

5 5 x y z x=a x=b y=cy=d D Küçücük dikdörtgenler prizmasının hacmi olur. P i (x i,y i,z i )

6 6 x y z x=a x=b y=cy=d D P i (x i,y i,z i ) olur. Tabanı D bölgesi olan ve yüzeyinin altında kalan cismin hacmi Z=f(x,y)

7 7 İki Katlı İntegrallerin Bazı Özellikleri: ise İntegralinde alınırsa (D bölgesinin alanı) olur.

8 8 İki Katlı İntegrallerin Hesabı: 1. Ox eksenine dik doğrular D bölgesinin bir iç noktasından geçerek bölgeyi sağdan (üstten) sınırlayan y=f(x) eğrisi ile, bölgeyi solan (alttan) sınırlayan y=g(x) eğrisini ayrı ayrı birer noktada kesiyorlarsa D bölgesi x eksenine göre düzgün bölgedir denir. Bu durumda dır. z = f(x,y) fonksiyonu bir bölgesinde tanımlı olsun.

9 9 x y z x=a x=b y=g(x) y=f(x) D D bölgesi x eksenine göre düzgün bölgedir.

10 10 x y z x=a x=b y=g(x) y=f(x) D z=f(x,y)

11 11 2. y eksenine dik doğrular D bölgesinin bir iç noktasından geçerek bölgeyi üstten (sağdan) sınırlayan x=g(y) eğrisi ile, bölgeyi alttan (osldan) sınırlayan x=f(y) eğrisini ayrı ayrı birer noktada kesiyorsa D bölgesi y eksenine göre düzgün bölgedir denir. Bu durumda D={(x,y):c ≤ y ≤ d, g(y) ≤ x ≤ f(y), x,yєR} dır.

12 12 x y z y=c y=d D D bölgesi y eksenine göre düzgün bölgedir. x=f(y) x=g(y)

13 13 x y z y=c y=d D z=f(x,y)

14 14 D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölge ise; olur.

15 15 x y z Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde x=0, x=1, y=1, y=2 doğruları ile sınırlı D bölgesi, üstten z = 2x düzlemi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: D (1,1) (1,2) (1,0,2) (1,2,2) (1,1,2)

16 16 x y z D (1,1) (1,2) Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım. D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. O zaman V hacmi;

17 17 Örnek: Koordinat düzlemleri ile x+y+z=1 düzleminin sınırladığı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: x+y+z=1 düzlemi ile z=0 düzleminin arakesiti x+y=1 doğrusudur. x+y+z=1 düzlemi ile y=0 düzleminin arakesiti x+z=1 doğrusudur. x+y+z=1 düzlemi ile x=0 düzleminin arakesiti y+z=1 doğrusudur.

18 18 x+y=1 x+z=1 y+z=1 x+y+z=1 x y z D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. O zaman V hacmi; x+y=1 x y z D

19 19 y=1-x x y z D 1 1

20 20 x y z Örnek: Tabanı z=0 düzleminde y=0, y=x, x=1 doğruları ile sınırlı D bölgesi ve üstten z=x+y düzlemi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: y=x D x=1 1 (1,1) (1,0,1) x y z y=x D 1 (1,1) (1,1,2)

21 21 D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. O zaman V hacmi; x y z y=x D 1 (1,1)

22 22 Örnek: (Sınır Değiştirme) Tabanı, z=0 düzleminde, x=0, y=1 ve y=x doğruları ile sınırlı üçgensel D bölgesi ve üstten z=xcosy 3 yüzeyi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: D 1 1

23 23 Örnek: (Sınır Değiştirme) Tabanı, z=0 düzleminde, x=0, y=1 ve y=x doğruları ile sınırlı üçgensel D bölgesi ve üstten z=e y2 yüzeyi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: D 1 1

24 Örnek: Çözüm: D D bölgesi x=y doğrusu ve x=y 2 parabolü ile sınırlı bölge olmak üzere, integrallerini hesaplayınız. x=y x=y 2

25 25 Örnek: Tabanı x ekseni ile y=2x-x 2 parabolü tarafından sınırlanan bölge, üst yüzeyi z= 4-x yüzeyi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: 2 D y=2x-x 2

26 26 (1,1,3) 2 (1,1,0) (0,0,4) (2,0,2) V=4 br 3

27 27 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, y=0, y=lnx, x=e ile sınırlı D bölgesi ve üstten z=3 düzlemi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: x y z 1 1 (e,1) y=lnx e D 3 (1,0,3)

28 28 Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım. D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. O zaman V hacmi; x y z (e,1) y=lnx e D

29 29

30 30 x y z 1 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, x=1-y 2 parabolü ve x=0 ile sınırlı D bölgesi ve üs yüzeyi z=2-x düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: 1 x = 1-y 2 z = 2-x 2 (1,0,2)(0,0,2)(1,0,2)

31 31 Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım. D bölgesi y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge değildir. O zaman V hacmi; x y z 1 1 x = 1-y 2 D

32 32

33 33 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, y=2, y=lnx ve koordinat eksenleri ile sınırlı D bölgesi ve üst yüzeyi z=3 düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: x y z 1 (e 2,2) y=lnx D 3 2 (1,0,3)

34 34 D bölgesi x eksenine göre düzgün olmayıp y eksenine göre düzgün bölgedir. Dolaysıyla y nin sınırları sabit x in sınırları y ye bağlı olacaktır. x y z 1 (e 2,2) y=lnx D 2 y=lnx x=e y

35 35 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, x 2 =4y, y 2 =4x parabolleri ile sınırlı D bölgesi ve üst yüzeyi z=x düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: (4,0,4) (4,4,4) z = x x 2 = 4y y 2 = 4x (4,4,0)

36 x 2 = 4y y 2 = 4x (4,4,0) D D bölgesi x eksenine ve y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alırsak, bölgeyi üstten sınırlayan eğri y 2 =4x tir. D bölgesini x ekseni göre düzgün bölge kabul ettiğimizden bu eğrinin denklemini y=f(x) şeklinde yazmalıyız.

37 37

38 38 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, y=2x-x 2 parabolü ile x ekseni tarafından sınırlanan D bölgesi ve üst yüzeyi z=2y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: (0,1,2) D y=2x-x 2 (1,1,2) (2,1,2) z=2y (2,1,0)

39 D y=2x-x 2 D bölgesi x eksenine düzgün bölgedir.

40 40 Örnek: Tabanı, y ekseni, y=1 doğrusu ve x=y 2 parabolü ile sınırlı D bölgesi ve üstten z=e y3 yüzeyi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: (1,1,0) 1 1 (0,1,e) D x=y 2 z=e y3 (0,0,1) (1,1,e)

41 41 D bölgesini y eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. (1,1,0) 1 1 D x=y 2

42 42 Örnek: Çözüm: x+y=1 D

43 43 Örnek: Çözüm: D y=x

44 44

45 45 Örnek: Çözüm: D y=x

46 46 Örnek: Çözüm: D y=x

47 47 Örnek: y ekseni, y=x 2 parabolü ve y=4 doğrusu ile sınırlı D bölgesi veriliyor. a) D bölgesinin alanını hesaplayınız. b) Tabanı D bölgesi, üst yüzeyi z=y düzlemi olan cismi çiziniz ve hacmini hesaplayınız. Çözüm: a) x y 4 2 D

48 D b)

49 49

50 50 Örnek: x ekseni ve y=4-x 2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. a) D bölgesinin alanını hesaplayınız. b) Tabanı D bölgesi, üst yüzeyi z=4-y düzlemi olan cismi çiziniz ve hacmini hesaplayınız. Çözüm: a) x y D

51 51 x y z D y=4-x 2 (2,0,4) (-2,0,4) 4

52 52

53 53 Örnek: Tabanı 2x = y 2 parabolü ve x = 1 doğrusu ile sınırlı D bölgesi ve üst yüzeyi z=x 2 +y 2 yüzeyi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: D

54 54 Örnek: x 2 +y 2 =16 ve x 2 +z 2 =16 silindirlerinin sınırladığı ortak hacmi hesaplayınız. Çözüm:

55 55 D x 2 +y 2 =16 4 4

56 56 1. Tabanı 0≤x≤1 ve 1≤y≤2 karesi ve üst yüzeyi z = 4 – x – y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. ÖDEVLER 2. x ekseni, x=1 ve y=x doğruları ile sınırlı D bölgesi veriliyor. 3. y ekseni, y=2 doğrusu ve x = y 2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. 4. x ekseni ve y = 1-x 2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. a) D bölgesinin alanını hesaplayınız. b) Tabanı D bölgesi ve üst yüzeyi z = 1 – x + y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız.

57 57 5. D={(x,y):0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2}ve z=sinx+cosy olduğuna göre 6. Köşeleri O(0,0), A(2,0) ve B(0,3) noktaları olan üçgensel bölge üzerinde 7. z=0 düzleminde koordinat eksenleri ve y=1-x 2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor.

58 58 8. D={(x,y): 0≤x≤1, 0≤y≤x } veriliyor. Tabanı D bölgesi üst yüzeyi z=1-x 2 yüzeyi olan cismin hacmini hesaplayınız. 9. Koordinat düzlemleri, x+y=2 düzlemi ve z=x 2 +y 2 paraboloidi arasında kalan bölgenin hacmini hesaplayınız. 10. Tabanı z = 0 düzleminde x = 0, y = 1 ve y = x doğruları tarafından sınırlanan üçgensel D bölgesi ve üst yüzeyi z = 2-y düzlemi olan cismin, a) şeklini çiziniz. b) hacmini hesaplayınız.

59 59 ÇÖZÜMLER: 1. Tabanı 0≤x≤1 ve 1≤y≤2 karesi ve üst yüzeyi z = 4 – x – y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. x y z Çözüm: D (1,1) (1,2) (0,1,3) (0,2,2) (1,1,2) (1,2,1)

60 60 2. x ekseni, x = 1 ve y = x doğruları ile sınırlı D bölgesi veriliyor. D 1 y = x 3. y ekseni, y = 2 doğrusu ve x = y 2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. D

61 61 4. x ekseni ve y = 1- x 2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. a) D bölgesinin alanını hesaplayınız. b) Tabanı D bölgesi ve üst yüzeyi z = 1 – x + y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. 1 1 D


"1. 2 3 4 x y z Sınırlı ve kapalı birbölgesinde tanımlı ve sürekli fonksiyonunu ele alalım. olsun. x o =a x n =b y=g(x) y=f(x) y o =cy n =d D." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları