Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi 1. 2 Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi 1. 2 Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü."— Sunum transkripti:

1 Prof. Dr. Asaf Varol Bahar Dönemi 1

2 2 Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

3 EULER METODU Euler Metodu ile basit bir ODE çözümü  Diferansiyel denklemin y’ = f( x, y ) a≤ x≤b olduğunu düşünelim  y’ = x + y; 0 ≤ x ≤ 1 a = 0, b = 1, y(0) = 2.  İlk olarak h=0.5 (n = 2) için yaklaşık çözümü buluruz, çok büyük basamak boyutundadır.  Yaklaşık olarak x1 = 0.5  y1=y0 + h (x0 + y0)= ( ) = 3.0  Sonra h=0.05 olsun diye n=20 aralığında yaklaşık çözümü buluruz. 3

4 4

5 5

6 6

7  Daha iyi bir çözüm elde etmenin teknik bir yolu daha yüksek dereceden kesme hatası içerisinde Y için Taylor serilerinde daha fazla terim kullanmaktır. Örneğin ikinci düzey Taylor metodu kullanımı y(x+h)=y(x)+hy’(x)+(h 2 /2)y’’(x)+O(h 3 )  O(h 3 ), lokal kısıtlanmış hatadır. 7

8  Diferansiyel denklem düşünelim y’=x + y; 0≤ x ≤1 önceki şart ile y(0)=2.  İkinci düzey Taylor metot denklem uygulamasını buluruz. y’’=d/dx( x+ y) = 1 + y’ = 1 + x + y  Bu verilenler yaklaşık formüllerdir. y(x + h)=y(x)+hy’(x)+(h 2 /2)y’’(x) 8

9 y i+1 =y i +h(x i +y i )+(h 2 /2)(1+x i +y i ) n=2 (h=0.5) için bulduğumuz değerler; y 1 =y 0 +h(x 0 +y 0 )+(h 2 /2)(1+x 0 +y 0 )= =2+0.5(0+2)+((.5) 2 /2)(1+0+2)=3.375 y 2 =y 1 +h(x 1 +y 1 )+(h 2 /2)(1+x 1 +y 1 )= = ( )+((0.5) 2 /2)( )=

10 10

11 11

12  Runge-Kutta yöntemleri mühendislik uygulamalarında kullanılan en popüler yöntemdir. Sebebi basitliği ve doğruluğudur. En basit Runge- Kutta metodlarından biri, Euler metodu ile belirtilen y deki değişikliğin yarısının çekilmesiyle x i + h/2 ve y i deki akım değerinin toplanmasıyla y nin yaklaşık değeri bulunur. Bu metot midpoint metot olarak bilinir. 12

13  k 1 =hf(x i,y i ) Euler metodunda belirtilen y deki değişiklik.  k 2 =hf(x i +0.5h,y i +0.5k 1 ) midpoint de hesaplanan eğimde kullanılan y deki değişiklik. 13

14  Diferansiyel denklem düşünelim  y’=x + y; 0≤ x ≤1 önceki şartlar ile (a=0.0, b=0.0), y(0) = 2.  İlk olarak h=0.5 (n=2) için yaklaşık çözümü bulmalıyız, çok büyük basamak boyutundadır.  k 1 =hf(x 0,y 0 )=0.5( )=1.0  k 2 =hf(x h,y k 1 )=0.5( * *1.0)=1.375  Y 1 =y 0 +k 2 = =3.375  Sonra, y 2 noktası için yaklaşık çözümü buluruz. x 2 =0.0+2h=1.0 14

15 15  k 1 =hf(x 1,y 1 )=0.5(x 1,y 1 )=0.5( )=  k 2 =hf(x h,y k 1 )=0.5( * *1.9375)=2.547 y 2 =y 1 +k 2 = =5.922

16 16

17 17

18 Bölüm 6b Sonu 18

19  Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001  Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ  Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ  Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ  Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University,


"Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi 1. 2 Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları