Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

HADAMARD MATRİS VE KODLARI. Asagıdaki matrisler 1. mertebeden, 2. mertebeden ve 4. mertebeden Hadamard matrislerdir.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "HADAMARD MATRİS VE KODLARI. Asagıdaki matrisler 1. mertebeden, 2. mertebeden ve 4. mertebeden Hadamard matrislerdir."— Sunum transkripti:

1 HADAMARD MATRİS VE KODLARI

2

3 Asagıdaki matrisler 1. mertebeden, 2. mertebeden ve 4. mertebeden Hadamard matrislerdir.

4 n. mertebeden ve elemanları -1 ile +1’lerden olusan her matris Hadamard matris degildir. Bunun için mertebenin ve elemanların dizilisinin bazı özel kosullara sahip olması gerekir. Bu kosullardan ileride bahsedilecektir. Hadamard matrisler basta iletisim (özellikle mobil iletisim) ve kodlar teorisi olmak üzere birçok alanda kullanılmaktadır. Halen mertebesi daha büyük Hadamard matrisler olusturmak için çalısmalar devam etmektedir.

5

6 b) Yukarıdaki üç isleme göre sadece bazı farklı kombinasyonlardan olusan iki Hadamard matrisin denk oldukları söylenebilir. c) Bir Hadamard matriste, en üst satırı ve en sol sütunu tamamen +1’ lerden olusan denk bir matris olusturabiliyorsa bu Hadamard matrise Standart form denir. d) Arta kalan satırlar +1’lerden ve -1’lerden olusur. Eger n>1 ise n, çift olmak zorundadır.

7

8 Bu taktirde, denilebilir. Bu nedenle n=4a (aynı zamanda n=4b=4c=4d) dir. Sonuç olarak ; n.mertebeden bir Hadamard matrisin derecesi 1’ in, 2’ nin ya da 4’ ün katı olmak zorundadır. Bu yüzden 3., 5., 7.,…vs. mertebeden Hadamard matrisler mevcut degildir. 4’ ün katı olan her n için, n.mertebeden Hadamard matrislerin varlıgı henüz kesinlesmemistir. Su ana kadar bulunan en büyük mertebeli Hadamard matrisin mertebesi 428’ dir [1].

9 » Tanım 1.3(Kronecker Çarpımı) » Tanım 1.4(Konferans Matris) n. mertebeden bir konferans matrisi, kösegen elemanları 0’lardan, diger tüm elemanları +1 ve -1’ lerden olusan karesel bir matristir. C ile gösterilir. Öyle ki;

10 Bu bölümde Hadamard matris olusturma yöntemlerinden, Konferans matris ve Kronecker çarpımı yöntemleri tanıtılıp, Hadamard matrisin nasıl olusturulacağı gösterilecektir.

11

12 Yani; olur. H, Hadamard matris özelliklerini sagladıgından, ispat tamamlanmıs olur. Buna göre; örnegin m=n=2 seçilirse 2.mertebeden iki Hadamard matrisi Kronecker çarpımı ile 4.mertebeden bir Hadamard matris elde edilecegi görülür;

13 O halde; i) t=1, 2, 3,… tamsayıları için t 2. mertebeden Hadamard matrisler vardır. ii) Eger n. mertebeden bir Hadamard matris mevcutsa, 2n. mertebeden bir Hadamard matris te mevcuttur. Çıkarımı yapılabilir.  Lemma Kronecker çarpımı yardımıyla Hadamard matris türetilirken; türetmek için seçilen Hadamard matrisler simetrik ise, olusan Hadamard matris de simetrik; seçilenlerden en az birinin simetrik olmaması halinde ise; olusan Hadamard matris simetrik olmayan bir matris olur. Bu seçilen 2. mertebeden durumlar için asagıdaki sekilde ispatlanabilir; şartlarını sağlayan simetrik bir Hadamard matris ve Simetrik Hadamard matrisleri olsun.

14 H matrisinin Hadamardlıgı incelenir. olur.

15

16

17

18 olur. Ispat tammamlanmıştır. Bununla beraber; Bu genellestirmenin n=2 için dogru oldugu fakat n=4, n=6, n=8 için dogrulugunun sayısal olarak gösterilmedigi asagıdaki lemmalar ve örneklerden anlasılmaktadır.

19  Lemma mertebeden simetrik konferans matrisi yazılamaz.  İspat 6×6 lık simetrik konferans matrisi A=±1, B=±1, C=±1, D=±1, E=±1 olmak üzere, olsun. C, 6. mertebeden simetrik konferans matrisinin genellestirilmis hali, şartını sağlamak üzere,

20 olmalıdır. Bu durumda;

21 olacak şekilde, A=±1, B=±1, C=±1, D=±1, E=±1 çözümü bulunmalıdır. Yukarıdaki denklemlerden;

22 Denklemleri elde edilir.Fakat bu 10 tane denklemden ; aranılan çözüm bulunamaz.Çünkü bu 10 denklemi olusturan A, B, C, D, E lerin isaret tablosundan, aranılan sekilde çözümünün olmadıgı görülür. Sonuç olarak ;A=±1, B=±1, C=±1, D=±1, E=±1 lerden olusan 6.mertebeden simetrik konferans matris yazılamaz. Dolayısıyla lemma ye uygun olarak 12x12 tipinde simetrik Hadamard matrisin konferans matris yöntemiyle türetilemeyecegi görülür.

23

24 Bu durumda;

25 Fakat bu denklemlerden 2AE ±2BF ±2CG =0, AE ± BF ± CG =0 denklemi, A=±1, B=±1, C=±1, E=±1, F= ±1, G= ±1 sartlarını saglamaz.Yani yazılan denklem sisteminin belirtilen kosullara uygun olarak çözümü yoktur. Sonuç olarak; A=±1, B=±1, C=±1, D=±1, E=±1, F= ±1, G= ±1 lerden olusan 8. mertebeden simetrik konferans matris yazılamaz. Dolayısıyla olarak lemma ye uygun olarak 16x16 tipinde simetrik Hadamard matrisin konferans matris yöntemiyle türetilemeyecegi görülür.

26

27

28

29

30

31

32

33

34 4.2. _İstatistik Hesaplamalarda ve Optimal Kontrolde Uygulaması Hadamard Matrisler ve optimal tartma tasarımı p cisimlerinin iki kefesi ve bir tarafa egimli olmayan bir kimya terazisinde tartıldıgı varsayılsın.

35

36

37 Blok şifrelerde kullanılan doğrusal dönüşümler sabit uzunluktaki bir giriş bloğunu doğrusal olarak karıştırarak aynı uzunlukta bir çıkış bloğu elde eder ve şifreye yayılım sağlar. Dolayısıyla şifrenin güvenliğini doğrudan etkilerler. Literatürde çeşitli doğrusal dönüşümler bulunmaktadır. Bazı doğrusal dönüşümler cebirsel tabanlı iken bazıları ise rastsal görünüşlü olacak şekilde tasarım mekanizmalarına sahiptir. Bu çalışmada AES, ARIA, Khazad ve Camellia gibi önemli şifreleme algoritmalarında kullanılan doğrusal dönüşümler mevcuttur.

38

39 Aşağıda 16 elemanlı bir Hadamard kodunu görüyoruz üreteç matrisi olabilir.

40

41 » Kodların nasıl kullanıldığıyla ilgili süreci belirlemek için gercek bir uygulamaya bakmalıyız. Mariner 9 uzaydan bilgi gönderen bir uydudur ve görevi Mars etrafında uçmak ve fotoğrafları Dünya’ya aktarmaktır. Uydudaki siyah-beyaz kamera fotoğrafları çekiyor ve bu fotoğraf karelere ayrışıyor,daha sonra her kare için siyahlığın derecesi 0 ‘dan 63 ‘ e kadar olan skalada ölçülüyor.

42 » İkili sözler halde ifade edilen bu numaralar Dünya’ya gönderiliyor. Ancak ulaşan sinyal çok zayıf ve bu muhtemelen amplifikatörden kaynaklanıyor. Uzaydaki gürültü sinyale ekleniyor ve amplifikatörden gelen termal gürültü bundan etkileniyor. bunun sonucu olarak örneğin ‘1’ olarak gönderilen sinyal ‘0’ olarak alınıyor. Ve bunun gerçekleşme ihtimali 0.05 ise o zaman formül aşağıdaki gibi olur:

43 » Alınan resimlerin yaklaşık olarak %26 sı doğru değildir. Dolayısıyla bu alınan sinyali dekodlamak için bir hata düzelten koda ihtiyaç duyarız.

44 » Şimdi dikkat edeceğimiz nokta kodlama ve dekodlama yaparken kullnacağımız hadamard kodudur. Hamadard matirisi doğru bir şekilde seçtiğimizde, elde ettiğimiz kod lineer bir kod olacaktır ve yani üreteç matristen elde edilen verilerin çarpılmasıyla sonuc elde edilmiş olur.

45 » Hadamard matrisi için doğru seçim, kronecker çarpımı ile elde edilen hadamard matrisidir. Yukarıda görüdğümüz bir simetrik hadamard- sylvester matrisidir.

46

47 2. Adım : ‘s’ aşağıdaki denklem sayesinde hesaplanır: 3. Adım : alınan sözü eğer bir kodsöz ise o halde hata yoktur ve;, a eşit olur.

48

49 Ve son olarak ; 5. Adım : fakat varolan hatalar çok fazla ise bu durumda dekodlama yapılması mümkün olmaz.

50 BİZİ DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜRLER… Burcu BOZKURT Deniz ERBAY Gül YILMAZ


"HADAMARD MATRİS VE KODLARI. Asagıdaki matrisler 1. mertebeden, 2. mertebeden ve 4. mertebeden Hadamard matrislerdir." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları