Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ SONSUZ İÇİN LİMİT SONSUZ LİMİT FONKSİYONLARIN.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ SONSUZ İÇİN LİMİT SONSUZ LİMİT FONKSİYONLARIN."— Sunum transkripti:

1

2

3 DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ SONSUZ İÇİN LİMİT SONSUZ LİMİT FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ TEOREMLER LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI ÇÖZÜMLÜ TEST

4 DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT ÖRNEK ANA MENÜ ANA MENÜ BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ Tanım: Tanım: olmak üzere, fonksiyonu verilmiş olsun. Terimleri A kümesinin elemanı olan bir dizisi için dizisine; dizisinin f fonksiyonuna göre görüntü dizisi denir. dizisi için, görüntü dizisi; dir. GÖRÜNTÜLER DİZİSİ

5 ÖRNEK: ÖRNEK: dizisi ve f(x)=2x+3 fonksiyonu veriliyor: a) a) dizisinin limitini bulalım. b) b) görüntüler dizisini bulalım. c) c) görüntüler dizisinin limitini bulalım. ÇÖZÜM

6 ÇÖZÜM: a) a) dir. b) b) bulunur. c) c) bulunur.

7 Tanım: Tanım: olmak üzere, ya da fonksiyonu verilmiş olsun. Terimleri kümesinde bulunan ve a’ya yakınsayan her dizisi için, dizileri bir L sayısına yakınsıyorsa; x, a’ya giderken f(x)’in limiti L’dir, denir ve biçiminde gösterilir. Limitin Olmaması: Terimleri kümesine ait ve a’ya yakınsayan en az iki ve dizileri için ise için f fonksiyonunu limiti yoktur. BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ ÖRNEK: fonksiyonunun için limitini bulunuz. ÇÖZÜM ANA MENÜ ANA MENÜ

8 ÇÖZÜM: Terimleri 1’den farklı ve 1’e yakınsayan iki dizi seçelim. dizilerinin f fonksiyonu ile elde edilen görüntü dizilerinin limitlerini alalım. O halde, limiti 1 olan her dizisi için,

9 Tanım: Tanım: bir fonksiyon olmak üzere önermesine uyan a bağlı varsa x, a’ya yakınsarken f’nin limiti L’dir denir ve biçiminde yazılır. Tanımı aşağıdaki şekiller üzerinde inceleyiniz. f(x) y=f(x) f(x) y=f(x) L L L aaa f(a) 000 EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT ÖRNEK ANA MENÜ ANA MENÜ

10 ÖRNEK: fonksiyonu veriliyor. olduğunu epsilon yöntemiyle gösterelim. ÇÖZÜM

11 ÇÖZÜM: için önermesine uyan bulmalıyız. O halde alınabilir. İçin, olduğundan tanıma göre olur.

12 SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT ya da şeklinde tanımlı f fonksiyonunda: Tanım1: x değerleri a dan küçük değerlerle artarak(soldan)a ya yaklaşırken, f(x) ler de bir reel sayısına,f fonksiyonunun a noktasındaki soldan limiti denir ve biçiminde gösterilir. Tanım2:x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak (sağdan) a ya yaklaşırken f(x) ler de bir reel sayısına yaklaşıyorsa; reel sayısına, f fonksiyonunun a noktasındaki sağdan limiti denir ve biçiminde gösterilir. 1. yazılışı x lerin a ya soldan yaklaştığını gösterir.yani daima x a dır. ANA MENÜ ANA MENÜ

13 Şekildeki grafiklerde, x in a ya soldan ve sağdan yaklaşması durumunda soldan ve sağdan limitleri görülmektedir. Sonuçlar: ve için; 1. ise, dir. 2. ise yoktur.

14 Aralığının uç noktalarındaki limiti fonksiyonunun tanım aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken: 1.a noktasındaki limit sadece sağdan limitle belirlenir. 2.b noktasındaki limit, sadece soldan limitle belirlenir. x y 0ab K=f(b) P=f(a) y=f(x)

15 fonksiyonunun tanım aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken: 1.a noktasındaki limit,sadece sağdan limitle belirlenir. dir.f(a) tanımsızdır. 2.b noktasındaki limit sadece soldan limitle belirlenir. dir. f(b) tanımsızdır. x y 0ab K P y=f(x) ÖRNEK

16 ÖRNEK: fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. x in –1,1 ve 2 değerleri için fonksiyonun limitinin olup olmadığını araştırınız. y x y=f(x) ÇÖZÜM

17 ÇÖZÜM: a. b. c. olduğundanyoktur.

18 1. PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ 2. MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ 3. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ 4. TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ ANA MENÜ ANA MENÜÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ

19 PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ ise ise fonksiyonu verilsin. Kritik nokta dışında limit sorulursa o noktadaki fonksiyon dalı belirlenir. O dalın durumuna göre çalışma yapılır. Kritik noktada,yani koşuldaki değerinde limit sorulursa,soldan ve sağdan limit incelenir. veye göre cevaplama yapılır. için ÖRNEK

20 ÖRNEK: ise Fonksiyonunun x=1, x=-2 ve x=2 noktalarındaki limiti bulalım. ÇÖZÜM

21 ÇÖZÜM: olduğundan dır. tür. dir.

22 MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN LİMİTİ in bulunuşunda: x=a noktası kritik nokta ise, soldan ve sağdan limit incelenmelidir. Limit sorulan nokta kritik nokta değilse, limit değeri ile görüntü olacağından dır. ÖRNEK: fonksiyonunun; x =-2, x =0, x =2 ve x =4 noktalarında limitinin olup olmadığını araştıralım. ÇÖZÜM

23 f(x) fonksiyonunu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon şeklinde yazalımÇÖZÜM: x x ise a. yoktur.

24 b. dir. c. yoktur. d. bulunur.

25 İŞARET (sgn) FONKSİYONUNUN LİMİTİ nın bulunuşunda: 1. x=a noktası kritik nokta f(a)=0 ise, bu noktalarda soldan ve sağdan limit incelenmelidir. veolsun Eğerisedir. Eğeriseyoktur. 2. Limiti sorulan nokta kritik nokta değilse Limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından, dır. ÖRNEK

26 ÖRNEK: fonksiyonunun, x =3 ve x =2 noktalarındaki limitinin olup olmadığını araştıralım. ÇÖZÜM

27 ÇÖZÜM: olduğundan, dir. 1 0 y x 123

28 TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ ın bulunuşunda: içinise, soldan ve sağdan limit incelenir. Soldan limit incelenirken, x

29 ÖRNEK: fonksiyonununve noktalarında limitlerinin olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM

30 ÇÖZÜM:için, olduğundan fonksiyonun soldan ve sağdan limitini inceleyelim. Soldan limit incelerken, olduğundan, yani olmak üzere yazalım ve için limitini alalım. Sağdan limit incelenirken, olduğundan, yani Olmak üzere,yazalım veiçin limitini alalım. noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan; yoktur. a.

31 b. için, olduğundan, limit değeri ile görüntü değeri eşit olur. O halde,

32 SONSUZ İÇİN LİMİT ÖRNEK Aynı şekilde bir fonksiyon olsun. Terimleri aralığında bulunan ve a ıraksayan her dizisi için ise; için, f nin limiti K dır, denir ve biçiminde gösterilir. aralığında bulunan ve a ıraksayan her dizisi için, ise; için, f nin limiti L dir denir ve biçiminde gösterilir. bir fonksiyon olsun.Terimleri ANA MENÜ ANA MENÜ

33 ÖRNEK: ise fonksiyonu veriliyor. a. b. ifadelerinin eşitini bulalım. ÇÖZÜM

34 a. dizisi için, olsun. b. dizisi için, olsun. dır. ÇÖZÜM:

35 SONSUZ LİMİT ve olmak üzere, ya da fonksiyonu için, terimleri; kümesine ait ve a sayısına yakınsayan dizisi için, : 1.ise, 2.ise,dur. y x a 0 ANA MENÜ ANA MENÜ

36 P(x) ve Q(x) polinom fonksiyonu olmak üzere fonksiyonunun paydasını sıfır yapan x değerlerinde limit sorulursa, soldan ve sağdan limit incelemesi yapılmalıdır. ÖRNEK: değerini bulalım. ÇÖZÜM

37 x=3 noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan,ÇÖZÜM: yoktur.

38 FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ TEOREMLER olmak üzere, ye ya da ye tanımlı f ve g fonksiyonları için;Teorem: veise, ÖRNEK ANA MENÜ ANA MENÜ

39 ÖRNEK : fonksiyonları veriliyor: a. b. c.değerlerini gösteriniz. ÇÖZÜM

40 ÇÖZÜM 1. a. c. b.

41 1. 2.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ BELİRSİZLİĞİ BELİRSİZLİĞİ: BELİRSİZLİĞİ LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI ANA MENÜ ANA MENÜ

42 LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI limiti hesaplanırken; ise belirsizliği oluşur.Bu durumda; ve ifadeleri çarpanına sahiptir.Yani ve olacağından, olur. Bu limitte yine belirsizliği varsa, aynı işlemler tekrarlanır. Bu bölümde belirsizliklerini inceleyeceğiz. ve BELİRSİZLİĞİ ÖRNEK: değerini bulunuz. ÇÖZÜM

43 ÇÖZÜM:

44 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ Sinüs ve cosinüs fonksiyonları her noktada süreklidir. olmak üzere, dır. olduğundan, tanjant fonksiyonu için süreksizdir. olduğundan, cotanjant fonksiyonu için süreksizdir. ÖRNEK: ÇÖZÜM

45 ÇÖZÜM:B.H

46 ve ise, limitinin hesabında; belirsizliklerinden biri ile karşılaşılır.Bu durumdaki belirsizlik belirsizliğidir. Bu belirsizliği yok etmek için, pay ve payda en yüksek dereceli x parantezine alınıp kısaltmalar yapılarak limit hesabına geçilir. BELİRSİZLİĞİ: ÖRNEK: değerini hesaplayalım. ÇÖZÜM

47 ÇÖZÜM: belirsizliği vardır.

48 veya belirsizliği genellikle; yada belirsizliklerinden birine dönüştürülür.BELİRSİZLİĞİÖRNEK: değerini hesaplayalım. ÇÖZÜM

49 ÇÖZÜM: B.H belirsizliğine dönüşür. bulunur.

50 BELİRSİZLİĞİ veya belirsizliğinin oluşması durumunda; ya da biçimine dönüştürülerek limit hesaplanır. ÖRNEK: değerini hesaplayalım. ÇÖZÜM

51 ÇÖZÜM: belirsizliği vardır. belirsizliğine dönüşür. bulunur.

52 ÇÖZÜMLÜ TEST SORU 1. dir. in değeri nedir? SORU 2. dir. in değeri nedir? SORU 3. dür. için limit değeri ne olabilir? SORU 4. ın değeri nedir? SORU 5. ve ise, in değeri nedir? ÇÖZÜM ANA MENÜ ANA MENÜ

53 limitini bulunuz. SORU 6. nedir? SORU 7. değerini hesaplayalım. SORU 8. değerini hesaplayalım. SORU 9. değerini hesaplayalım. SORU 10. ÇÖZÜM ANA MENÜ ANA MENÜ

54 ÇÖZÜM ANA MENÜ ANA MENÜ ÇÖZÜM SORU 11. SORU 12. SORU 13. SORU 14. SORU 15.

55 ÇÖZÜM 1 x

56 ÇÖZÜM 2 1.Yol 2. Yol

57 ÇÖZÜM 3

58 ÇÖZÜM 4

59 ÇÖZÜM 5 ifadeleri 0’a yaklaştığından

60 ÇÖZÜM 6 olduğundan dir. Buna göre

61 ÇÖZÜM 7 belirsizliği vardır.

62 ÇÖZÜM 8 B.H belirsizliğine dönüştürülür.

63 ÇÖZÜM 9 belirsizliği vardır. belirsizliğine dönüşür. için,olduğundan; bulunur.

64 ÇÖZÜM 10 bulunur.

65 ÇÖZÜM 11

66 ÇÖZÜM 12

67 ÇÖZÜM 13

68 ÇÖZÜM 14 olduğundan

69 ÇÖZÜM 15


"DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ SONSUZ İÇİN LİMİT SONSUZ LİMİT FONKSİYONLARIN." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları