Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Lojik Devreleri 1 LOJİK DEVRELER Temel Elektonik Ders Notları Dr. Feza BUZLUCA İstanbul Teknik Üniversitesi Bilgisayar Müh. Bölümü

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Lojik Devreleri 1 LOJİK DEVRELER Temel Elektonik Ders Notları Dr. Feza BUZLUCA İstanbul Teknik Üniversitesi Bilgisayar Müh. Bölümü"— Sunum transkripti:

1 Lojik Devreleri 1 LOJİK DEVRELER Temel Elektonik Ders Notları Dr. Feza BUZLUCA İstanbul Teknik Üniversitesi Bilgisayar Müh. Bölümü

2 Lojik Devreleri 2 Sayısal Kodlama: Lojik devreler yardımıyla üzerinde işlem yapılacak olan fiziksel büyüklüklere(gerilim, sıcaklık vs.) ve her türlü veriye (harf, sayı, renk, ses) ikili sayılar karşı düşürülür. Özellikle sayıların kodlanması büyük önem taşır. Bu konu mikroişlemci sistemleri dersinde ele alınacaktır. Bu derste bazı kodlama yöntemlerine ilişkin örnekler verilecektir. BCD (Binary Coded Decimal) İkili kodlanmış onlu sayılar: 0-9 arasındaki rakamlara bir ikili kod karşı düşürülür. Doğal BCD: Sayı:Kod: 0:0000 1:0001 2:0010 3:0011 4: 0100 Sayı:Kod: 5:0101 6:0110 7:0111 8:1000 9: 1001 Örnek: Sayı: 805 Kod: Artıklı kodlamadır. Çünkü 4 bit ile 16 farklı kodlama yapılabilmekte ancak bunlardan sadece 10 tanesi kullanılmaktadır.

3 Lojik Devreleri 3 Ağırlıklı Kodlama: Bitlerin konumlarına birer ağırlık verilir. Doğal ikili kodlama: Sayıların 2 tabanında gösterilmesidir. Örneğin: 11010=1      2 0 = 30 Hamming uzaklığı: n uzunluğundaki iki kod sözcüğünün arasındaki Hamming uzaklığı, o sözcüklerdeki aynı sırada olup değerleri farklı olan bileşenlerin sayısıdır. Örneğin: 011 ile 101 arasındaki uzaklık 2 dir. Bitişik kodlar:Bir birini izleyen sayılara karşı gelen kodlar arasındaki uzaklık 1 ise o kodlama bitişiktir. Ayrıca son sayı ile ilk sayı arasındaki uzaklık da 1 olursa kod çevrimlidir.

4 Lojik Devreleri 4 Sayı:Kod: 0:0000 1:0001 2:0011 3:0010 4: 0110 Sayı:Kod: 5:1110 6:1010 7:1000 8:1100 9: 0100 Örnek: 2 bitlik bir Gray kodu: Gray Kodu: 2 n elemanlı bir küme için 2 tabanında artıksız ve çevrimli bir kodlama yapılırsa gray kodu elde edilir. Sayı:Kod: 0:00 1:01 2:11 3:10 Örnek: Çevrimli bir BCD kodu

5 Lojik Devreleri 5 Boole Cebri  B={0,1} kümesi üzerinde tanımlı  İkili işlemler: VEYA, VE { +, }  Birli işlem: Tümleme { ' }  Aksiyomlar: 1.Kapalılık: a + b  Ba b  B 2.Değişme: a + b = b + aa b = b a 3.Birleşme: a + (b + c) = (a + b) + ca (b c) = (a b) c 4.Etkisiz eleman: a + 0 = aa 1 = a 5.Dağılma: a + (b c) = (a + b) (a + c) a (b + c) = (a b) + (a c) 6.Tümleme: a + a' = 1a a' = 0 b01 a a b b a a + b aa' 01 10

6 Lojik Devreleri 6 1.Yutma: a + 1 = 1a 0 = 0 2.Dönüşme (Involution): (a')' = a 3.Sabit kuvvet (Idempotency): a+a+a+….+a=a aaa … a=a 4.De Morgan Teoremi: (X + Y +...)' = X' Y'...(X Y...)' = X' + Y' +...  Genel De Morgan Teoremi: f'(X1,X2,...,Xn,0,1,+,) = f(X1',X2',...,Xn',1,0,,+)  İkili işlemler arasında ilişki sağlar: ve + arasında Özellikler:

7 Lojik Devreleri 7 6.Düalite Bir lojik ifadenin düali, yerine +, + yerine, 0 yerine 1, 1 yerine 0, koyarak ve değişkenler değiştirilmeden elde edilir. Kanıtlanan her teorem düali için de geçerlidir. X + Y +...  X Y... Genelleştirilmiş düalite: f (X1,X2,...,Xn,0,1,+,)  f(X1,X2,...,Xn,1,0,,+)  De Morgan Teoreminden farklıdır  Teoremlerin kanıtları arasında ilişki sağlar  Lojik ifadelerin dönüştürülmesini sağlayan bir yöntem değildir.

8 Lojik Devreleri 8 Teoremlerin Kanıtlanması: a) Aksiyomlar ile Teorem: X Y + X Y' = X DağılmaX Y + X Y'= X (Y + Y') TümlemeX (Y + Y') = X (1) EtkisizX (1)= X Teorem: X + X Y = X EtkisizX + X Y= X 1 + X Y DağılmaX 1 + X Y= X (1 + Y) EtkisizX (1 + Y)= X (1) EtkisizX (1) = X

9 Lojik Devreleri 9 (X + Y)' = X' Y' (X Y)' = X' + Y' XYX'Y'(X + Y)'X' Y' XYX'Y'(X Y)'X' + Y' Teoremlerin Kanıtlanması: b) Doğruluk Tablosu De Morgan:

10 Lojik Devreleri 10 Teoremler lojik ifadelerin sadeleştirilmesinde kullanılabilir. Örnek: Z = A' B C + A B' C + A B C' + A B C = A' B C + A B' C + A B C' + A B C + A B C = A' B C + A B C + A B' C + A B C' + A B C = (A' + A) B C + A B' C + A B C' + A B C = (1) B C + A B' C + A B C' + A B C = B C + A B' C + A B C' + A B C + A B C = B C + A B' C + A B C + A B C' + A B C = B C + A (B' + B) C + A B C' + A B C = B C + A (1) C + A B C' + A B C = B C + A C + A B (C' + C) = B C + A C + A B (1) = B C + A C + A B

11 Lojik Devreleri 11 Lojik İfadeler Lojik ifade, değişkenlerin, sabitlerin ve işlemlerin sonlu kombinezonudur. X= (x 1, x 2,.... x n ), Her x i  {0,1} olmak üzere E(X) şeklinde gösterilir. E 1 ve E 2 lojik ifade ise, E 1 ', E 2 ', E 1 + E 2, E 1  E 2 gibi tüm kombinezonlar da birer lojik ifadedir. Özel Lojik İfadeler: Monoform ifadelerde değişkenlerin sadece kendileri ya da sadece tümleyenleri bulunur. Biform ifadeler belli bir x değişkenine göre tanımlanırlar. x'e göre biform bir ifadede hem x hem de tümleyeni bulunur. Monom ifadeler, değişkenlerin sadece lojik çarpımlarından oluşurlar. Örnek: ab'cd Monal ifadeler, değişkenlerin sadece lojik toplamlarından oluşurlar. Örnek: a'+b'+c+d Monom böleni, bir monomdan bir ya da daha fazla değişken kaldırıldığında elde edilen monomdur. Örnek: ab'cd nin bazı monom bölenleri: a, b',c,d,ab', b'c, acd,b'd

12 Lojik Devreleri 12 İfadelerin yazılma şekilleri:  : Monomların "veya"lanması ya da lojik çarpımların lojik toplamı bc'+ad+a'b gibi  : Monalların "ve"lenmesi ya da lojik toplamların lojik çarpımı (a+b+c')(a+d)(a'+b) gibi Biform kareler: E 1 ve E 2 içinde x 1 olmayan iki ifade olsun. E 1 (x 2,.... x n ) ve E 2 (x 2,.... x m ) E=x 1 E 1 +x 1 'E 2 ve düali E * = (x 1 +E 1 )(x 1 '+E 2 ) ifadeleri x 1 in biform kareleridir. Örnek: x 1 (x 2 +x 3 ')+x 1 '(x 3 +x 4 ) ve (x 1 +x 2 +x 4 ')(x 1 '+x 3 +x 4 ) x 1 'in biform kareleridir. Lojik ifadenin değeri:E(X) ifadesi X=(x 1,.... x n ) vektörünün her değeri için B kümesinden bir değer üretir. Bu değerler ifadenin doğruluk tablosunu oluşturur.

13 Lojik Devreleri 13 x 1 x 2 x 3 E(X) Örnek: E(X) =x 1 x 2 +x 3 ifadesinin doğruluk tablosu Sıra bağıntısı: B'nin elemanları arasında şu sıra bağıntısı tanımlanır: 0  1 0, 1'den "önce gelir" ya da "küçüktür" diye okunur. Buna göre X vektörleri arasında da bir sıra bağıntısı tanımlanabilir. Eğer X1 vektörünün tüm elemanları X2 vektörünün aynı sıradaki elemanlarından yukarıda tanılmandığı anlamda "küçük"se (önce geliyorsa) ya da eşitse X1  X2 sıralaması geçerlidir.

14 Lojik Devreleri 14 İfadeler üzerinde sıra bağıntısı: E 1 (X)  E 2 (X) yazılışı, X'in tüm kombinezonları E 1 'in alacağı değerlerin E 2 'nin alacağı değerlere eşit ya da küçük olduğunu belirtir. Örnek : x 1 x 2 x 3 E 1 (X) E 2 (X) E1E1 E2E2 E 1 (X)  E 2 (X) ise E 1 (X), E 2 (X)'nin içerenidir

15 Lojik Devreleri 15 E2E2 E1E1 E 1 ve E 2 lojik ifadeler olmak üzere, E 1 E 2  E 1  E1+E2 ve E 1 E 2  E 2  E1+E2 eşitsizlikleri her zaman geçerlidir. E+EF = E Yutma özellikleri: Kanıt: E(E+F) = EE+EF = E+EF = E(1+F) = E E(E+F) = E ve düali E+E'F = E+F Kanıt: E+E'F = (E+E')(E+F) = 1(E+F) = E+F E(E'+F) = EF ve düali

16 Lojik Devreleri 16 Konsansüs: xE 1 + x'E 2 biform karesinde E 1 E 2 kesişimine konsansüs adı verilir. Düal olarak (x+E 1 )(x'+E 2 ) biform karesinde E 1 +E 2 toplamı düal konsansüstür. Teorem: Biform kareler konsansüslerini yutarlar. xE 1 + x'E 2 + E 1 E 2 = xE 1 + x'E 2 (x+E 1 )(x'+E 2 )(E 1 +E 2 ) = (x+E 1 )(x'+E 2 ) Teorem: Biform kareler arasında dönüşme özelliği vardır. xE 1 + x'E 2 = (x+E 2 )(x'+E 1 )

17 Lojik Devreleri 17 Lojik fonksiyonlar B n kümesi (n elemanlı 2'li kodların kümesi) üzerinde tanımlanırlar ve üçe ayrılırlar: Yalın fonksiyonlar: Çok girişli bir çıkışlı Lojik Fonksiyonlar: f x 1 x 2 x 3 y x1x1 x2x2 x3x3 y

18 Lojik Devreleri 18 Genel fonksiyonlar: Çok girişli, çok çıkışlı f x 1 x 2 x 3 y 1 y x1x1 x2x2 x3x3 y1y1 y2y2

19 Lojik Devreleri 19 Bu girişler için devrenin (fonksiyonun) çıkışlarının alacağı değer belirsizdir. Belirsiz değerleri göstermek için X yerine  sembolü de kullanılır. Tümüyle tanımlanmamış fonksiyonlar: Bazı giriş kombinezonları için fonksiyonun alacağı değer belirsizdir. Örnek BCD sayıları 1 arttıran fonksiyon: I8I4I2I1O8O4O2O XXXX 1011XX XX 1100XXXX 1101XXXX 1110XXXX 1111XXXX O1 O2 O4 O8 I1 I2 I4 I8

20 Lojik Devreleri 20 Yalın Lojik Fonksiyonlar:  X 0  B n ;  ! y 0  B ; y=f(X) B n kümesinden değer alan X 0 komninezonuna f fonksiyonu uygulandığında B kümesinden değer alan bir y 0 değeri elde edilir ve bu değer tektir. Yalın lojik fonksiyonlar B n kümesinin kombinezonlarını 2 sınıfa ayırırlar: a) Doğru kombinezonlar sınıfı. f(X) in 1 değeri karşı düşürdüğü kombinezonlardan oluşur. b) Yanlış kombinezonlar sınıfı. f(X) in 0 değeri karşı düşürdüğü kombinezonlardan oluşur. n girişli 2**(2**n) adet yalın lojik fonksiyon vardır. İki girişli 16 adet yalın lojik fonksiyon vardır: f x y

21 Lojik Devreleri 21 XY F0F1F2F3F4F5F6F7F8F9F10F11F12F13F14F X VE Y X Y X VEYA Y Y' X' 1 X YA DA Y X TVEYA Y (X VEYA Y)' X = Y X TVE Y (X VE Y)' 2 girişli 16 adet yalın lojik fonksiyon (F0–F15)

22 Lojik Devreleri 22 Lojik Fonksiyonların Gösterilişi Aynı lojik fonksiyon farklı yöntemler ile gösterilebilir. Bu fonksiyona ilşkin devre tasarlanırken bu gösterilimlerden uygun olanı kullanılır. Doğruluk Tablosu İle Gösterilim Tüm giriş kombinezonları için çıkışın (veya çıkışların) alacağı değerler tablo halinde yazılır. Sayısal Gösterilim Girişi kombinezonları 2'li sayılarla kodlandığına göre her kombinezona 10 tabanında bir numara verilir. Fonksiyon hangi giriş kombinezonları için lojik "1" değeri (ya da lojik "0") üretiyorsa o kombinezonların numaraları listelenir.

23 Lojik Devreleri 23 Örnek: Tümüyle tanımlanmış, yalın bir fonksiyonun gösterilimi: No x 1 x 2 y y=f(x 1,x 2 )=  1 (0,2) Aynı fonksiyon lojik 0 üreten kombinezonlar ile de gösterilebilir. y=f(x 1,x 2 )=  0 (1,3) Örnek: Tümüyle tanımlanmış, genel bir fonsiyonun gösterilimi: Her çıkış için yukarıdaki gösterilim uygulanır. No x 1 x 2 y 1 y Aynı fonksiyon lojik 0 üreten kombinezonlar ile de gösterilebilir. y 1 =f(x 1,x 2 )=  1 (0,2) y 2 =f(x 1,x 2 )=  1 (0,1) y 2 =f(x 1,x 2 )=  0 (2,3) y 1 =f(x 1,x 2 )=  0 (1,3)

24 Lojik Devreleri 24 Örnek: Tümüyle tanımlanmamış, genel bir fonksiyonun gösterilimi: Bu durumda sadece lojik "1" veya lojik "0" üreten çıkışları göstermek yeterli değildir. No x 1 x 2 y 1 y  210   y 1 =f(x 1,x 2 )=  1 (0)+  0 (1,3) veya y 1 =  1 (0)+   (2) veya y 1 =  0 (1,3)+   (2) y 2 =f(x 1,x 2 )=  1 (0)+  0 (2) veya y 2 =  1 (0)+   (1,3) veya y 2 =  0 (2)+   (1,3)

25 Lojik Devreleri 25 Grafik Gösterilim Girişi kombinezonları B n kümesinin elemanları olduklarına göre n boyutlu uzaydaki bir hiperkübün köşelerini oluştururlar. Fonkisyonun doğru noktalarını üreten kombinezonlar küp üzerinde işaretlenir. Fonksiyonun giriş sayısı kübün boyutunu belirler. n giriş  n boyutlu küp Boole Küpleri: 1-boyutlu X 01 2-boyutlu X Y boyutlu X Y Z boyutlu W X Y Z

26 Lojik Devreleri 26 ABF ABF A B Örnek: ABCF ABCF A B C

27 Lojik Devreleri 27 Karnaugh Diyagramları Boole küplerinin düzlem üzerindeki iz düşümleri olarak düşünülebilir. ABF ABF A B B A A B veya Tabloların gözleri Gray koduna göre düzenlenir. Yan yana gözlere ait kombinezonların bitişik olması sağlanır BC A B C BC A

28 Lojik Devreleri CD AB A B C Örnek: No AB CF BC A girişli bir fonksiyona ilişkin Karnaugh diyagramı:

29 Lojik Devreleri 29 ABCFF' Minterimlerin Toplamı: F = F' = A'B'C' + A'BC' + AB'C' "Doğru" değer üreten kombinezonlar: F = A'BC+ AB'C+ ABC' + ABC A'B'C Cebirsel Gösterilim  şeklindeki gösterilime 1. kanonik açılım,  şeklindeki gösterilime ise 2. kanonik açılım, denir. 1. Kanonik Açılım: Çarpımların Toplamları  şeklindeki gösterilim fonksiyonun "doğru" noktalarına ilişkin monomların toplamından oluşur. Bu monomlara minterim denir. Fonksiyonun tümleyeni de benzer şekilde "yanlış" noktalardan hareket edilerek yazılır:

30 Lojik Devreleri 30 ABCminterimler 000A'B'C'm0 001A'B'Cm1 010A'BC'm2 011A'BCm3 100AB'C'm4 101AB'Cm5 110ABC'm6 111ABCm7 Minterimlerde her değişkenin ya kendisi ya da tümleyeni yer alır (İkisi aynı anda olamaz). Kanonik açılım fonksiyonun en basit cebirsel ifadesi değildir. Çoğunlukla kanonik açılımlar indirgenebilir (basitleştirilebilir). 3 değişkenli minterimlerin simgesel gösterilimi F nin Kanonik açılımı : F(A, B, C)=  m(1,3,5,6,7) = m1 + m3 + m5 + m6 + m7 = A'B'C + A'BC + AB'C + ABC' + ABC Kanonik açılımın basitleştirilmesi F(A, B, C)= A'B'C + A'BC + AB'C + ABC + ABC' = (A'B' + A'B + AB' + AB)C + ABC' = ((A' + A)(B' + B))C + ABC' = C + ABC' = ABC' + C = AB + C

31 Lojik Devreleri 31 ABCFF' "Yanlış" değer üreten kombinezonlar: F = Maksterimlerin Çarpımı: F = F' = (A + B + C') (A + B' + C') (A' + B + C') (A' + B' + C) (A' + B' + C') (A + B + C)(A + B' + C) (A' + B + C)  şeklindeki gösterilim fonksiyonun "yanlış" noktalarına ilişkin monalların çarpımından oluşur. Bu monallara maksterim denir. 2. Kanonik Açılım: Toplamların Çarpımı

32 Lojik Devreleri 32 F nin kanonik açılımı: F(A, B, C)=  M(0,2,4) = M0 M2 M4 = (A + B + C) (A + B' + C) (A' + B + C) İndirgeme F(A, B, C)= (A + B + C) (A + B' + C) (A' + B + C) = (A + B + C) (A + B' + C) (A + B + C) (A' + B + C) = (A + C) (B + C) ABCmaksterimler 000A+B+CM0 001A+B+C'M1 010A+B'+CM2 011A+B'+C'M3 100A'+B+CM4 101A'+B+C'M5 110A'+B'+CM6 111A'+B'+C'M7 3 değişkenli maksterimlerin simgesel gösterilimi Maksterimlerde her değişkenin ya kendisi ya da tümleyeni yer alır (İkisi aynı anda olamaz). Kanonik açılım fonksiyonun en basit cebirsel ifadesi değildir. Çoğunlukla kanonik açılımlar indirgenebilir (basitleştirilebilir).


"Lojik Devreleri 1 LOJİK DEVRELER Temel Elektonik Ders Notları Dr. Feza BUZLUCA İstanbul Teknik Üniversitesi Bilgisayar Müh. Bölümü" indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları