Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER."— Sunum transkripti:

1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER

2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER DERS DÜZENİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır.

3 DERS HAKKINDA Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. x y a b 0 y=f(x) a b 0 y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur.

4 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER a b 0 y x y=f(x) a b 0 y x Burada a, b arasında üç kök vardır Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur

5 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. y x y=f(x) aıaı a b a b 8 y x soldan yaklaşınca 8 sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

6 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER LİNEER OLMAYAN BİR DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ Lineer olmayan bir denklem takımının çözümü için izlenecek yöntem: 1.Birkaç veya bütün köklerin bulunmasına 2.Köklerin gerçek ya da sanal olmasına 3.Kökler için yaklaşık değer bulunup, bulunmadığına bağlı olarak seçilir. Bazı yöntemler tek bir denklemin, bazıları da bir denklem takımının çözümüne daha uygundur.

7 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Kullanılacak yöntemler: 1.Basit iterasyon yöntemi 2.Newton-Raphson yöntemi İterasyon Yöntemleri 3.Yarıya bölme yöntemi 4.Regula-Falsi yöntemiEnterpolasyon yöntemi 5.Sekant Yöntemi 6.Grafik yöntemi

8 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) Bu yöntemde kökün bulunması için bir formül kullanılır. f(x)= 0 şeklinde verilen denklem; x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda x k+1 = g(x k ) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I g ı (x o ) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Denklemin asıl kökü (r) için I g ı (r) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I g ı (x o ) I > 1 olursa yaklaşım zordur. İterasyona, | ε t | < ε k şartı sağlandığında son verilir. ε t =(x k+1 - x k ) / x k+1

9 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK f(x)= x 3 -x-1=0 denkleminin x o =1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre, gerçek kökü ε k = hassasiyetle basit iterasyon yöntemiyle bulunuz. Bu denklemin x o =1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre önce şartları sağlayıp sağlamadığına bakalım. Çözüm: Denklemi; x=g(x) şeklinde yazılım. (Yani x=g(x) dönüşümü yapılır) a) x=x 3 -1  g(x)= x 3 -1 ve g ı (x)=3x 2 olur. | g ı (x o ) | = | 3x 2 | = 5.07 > 1 olduğu için yaklaşım çok zordur. Yani kök yoktur.

10 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER b) f(x) = x( x 2 - 1) -1 =0’ dan c) x 3 =x+1 ’ den Olduğu için yaklaşım vardır. Yani köke ulaşılır. c) şıkkı yakınsama şartını yerine getirdiğinden iterasyon bu şekilde başlatılır. X k+1 = g(x k ) yaklaşımıyla köke ulaşılmaya çalışılır. X 1 =g(x o ) olacaktır. | g ı (xo) | = 5.46 > 1 olduğu için yaklaşım çok zor.

11 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER k=0 için x1= g(x o )= (x+1) 1/3 = (1.3+1) 1/3  x1= Mutlak hata E t = x 1 –x o = – 1.3 = | ε t | < ε k şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir. Bağıl hata ε t = E t / x 1 = / =  % 1,5156

12 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER k= 1 için  x 2 = g(x 1 ) = (x 1 +1) 1/3 = ( ) 1/3 = E t = x 2 –x 1 = – = ε t = E t / x 2 = / = | ε t | < ε k şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir k= 2 için  x 3 = g(x 2 ) = (x 2 +1) 1/3 = ( ) 1/3 = E t = x 3 –x 2 = – = ε t = E t / x 3 = | ε t | < ε k şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir

13 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 9 iterasyon sonunda hassasiyetle köke yaklaşılmıştır. İterasyonu sonlandırmak için | ε t | < ε k şartına bakılır (ε k daha önce anlatılmıştı). ε k problemi çözen kişi tarafından belirlenen çok küçük bir sayıdır. Köke yaklaşma hassasiyeti ne ölçüde isteniyorsa ε k ona göre seçilir. k= 3 için x4= k= 4 için x5= k= 5 için x6= k= 6 için x7= k= 7 için x8= k= 8 için x9= EtEt εtεt

14 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK f(x)= 2x 4 -3x-2=0 fks.nun xo= 1.3 ve xo= -0.5 civarında kökleri olduğu bilindiğine göre ε k = hassayetle basit iterasyon yöntemiyle denklemin köklerini bulunuz y x x1x1 x2x2 Çözüm: Denklem; x=g(x) şeklinde yazılım. (Yani x=g(x) dönüşümü yapılır)

15 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Öncelikle x o = 1.3 civarındaki kökü arayalım. 1. Adım 3. Adım 2. Adım

16 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER x 0 = 1.3 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 7 = x 6 = x 7 = iterasyon sonucunda hassasiyetle kök bulunmuştur. | ε t |< ε k İterasyona son vermek için | ε t |< ε k şartı aranır. ε k problemi çözen tarafından saptanır. Ne kadar küçük olursa iterasyon sayısı o kadar artar. ε k seçiminde köke yaklaşma hassasiyetine göre karar verilir. X k+1 = g(x k ) yaklaşımıyla köke ulaşılmaya çalışılır. X 1 =g(x o ) olacak.

17 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER x o =-0.5 yakınlarındaki kök için 1) x 0 = -0.5 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = x 9 = x 11 = x 10 = x 11 = iterasyon sonucunda hassasiyetle kök bulunmuştur.

18 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV f(x) = x Sin(x) denkleminin x o =1.5 civarında bir kökünün olduğu bilindiğine göre kökü ε k = yaklaşımla basit iterasyon yöntemini kullanarak bulunuz. (x radyan alınacak)

19 Yakınsama ve Iraksama Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyondaki hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fonksiyon iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. f 1 (x) = f 2 (x) y 1 = f 1 (x), y 2 = f 2 (x) = g(x)

20 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK e -x –x = 0 x= e -x y 1 = x ve y 2 = e -x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. a)x ekseni kestiği yerdeki kök b)Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. x y a) y=e -x -x x y b) f 1 (x) =y 1 =x f 2 (x)=y 2 = e -x

21 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Basit iterasyonun yakınsamasının ve ıraksamasının gösterimi x y Yakınsak y 1 =x y 2 = g(x) Kök xoxo x1x1 x2x2 x y y 1 =x y 2 = g(x) Kök xoxo Iraksak Yakınsama ve ıraksama şartı y 1 = x  y | 1 = 1 (Eğim) y 2 = g(x)  | g | (x o ) | < 1 ise yakınsak | g | (x o ) | > 1 ise ıraksak Burada y 2 = g(x) fks.nun eğiminin mutlak değeri y 1 = x fks.nun eğiminden küçük olması halinde yakınsama olmaktadır.

22 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x 2 - x - 3 denkleminin x o = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x 2 – 3 ’ den y 1 = x y 2 = x 2 – 3 = g(x)  | g | (x o ) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır

23 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER b) y 1 = x x 2 = x + 3 ’ den y 2 = (x+3) 1/2 x ( x -1 ) – 3 = 0 ’ dan y 1 = x c) ol.dan yakınsaktır

24 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Başla x o, ε k x = x o y = f(x) |(y-x)/y| < ε k E Y Dur y = x H İterasyon yönteminin algoritması

25 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER

26 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER x0=0; es=1.2; n=0; Nmax=100; xkeski=x0; while (n

27 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV 1)f(x)= x·e 3x -5 kökünün basit iterasyon ile bulunuz. 2) f(x) = sinx + 2cosx -x ‘ in kökünü ε= hassasiyetle bulunuz. 3) f(x) = x 4 – x -8 = 0 kökünü bulunuz.


"Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları