Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

KT1 VEKTÖRLER. KT2 Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler: Skaler büyüklük: sadece bir sayısal değeri tanımlamakta.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "KT1 VEKTÖRLER. KT2 Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler: Skaler büyüklük: sadece bir sayısal değeri tanımlamakta."— Sunum transkripti:

1 KT1 VEKTÖRLER

2 KT2 Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler: Skaler büyüklük: sadece bir sayısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif veya negatif olabilir. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça kullanılan skalerlerdir. Vektörel büyüklük: Şiddet, doğrultu ve yön ile belirtilen fiziksel bir büyüklüktür. Kuvvet, moment, konum vektörel birer büyüklüktür. Vektör, yönlenmiş bir doğru parçasıyla temsil edilir.

3 KT3 Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir. Bu şekilde gösterilen vektörün şiddeti “A” ile ifade edilir.

4 KT4 Vektörel İşlemler Vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü bir vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü, yine aynı vektör doğrultusunda yeni bir vektör verir. Bu vektörün şiddeti, skaler ile mevcut vektörün şiddetinin çarpımına eşittir

5 KT5 Vektörlerin Toplamı Vektörler paralelkenar ilkesi kullanılarak birbiriyle toplanır. A ve B vektörleri başlangıç noktalarında birleştirilir. Her bir vektörün ucundan diğer vektöre çizilen paralel doğrular paralelkenarı oluşturur. R bileşkesi A ve B’nin başlangıcından doğruların kesiştiği noktaya çizilen doğrudur. R bileşkesi paralelkenarın köşegenidir.

6 KT6 Vektörlerin Toplamı A ve B vektörlerini paralelkenar ilkesinin özel bir uygulaması olan “üçgen ilkesi”ne göre de toplayabiliriz. A vektörünün ucuna B vektörü eklenir, A’nın başlangıcı ile B’nin ucu birleştirilir ve R bileşke vektör elde edilir. Vektör toplamı komutatif’tir, vektörler herhangi bir sırada toplanabilir.

7 KT7 A ve B vektörü aynı etki çizgisine sahipse paralelkenar kuralı cebirsel (skaler) toplama indirgenir. Vektörlerin Toplamı R= A+B (şiddetlerin toplamı)

8 KT8 Vektör Çıkarması A ve B vektörlerinin çıkarılması için paralelkenar veya üçgen kuralı kullanılabilir. A ve B vektörleri arasındaki fark bileşke vektörü: Vektör toplamı için uygulanan kurallar vektör çıkarması için de kullanılmaktadır.

9 KT9 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Kuvvetler, belli bir büyüklük, doğrultu ve yöne sahiptir ve vektörel bir büyüklük olduğu için paralelkenar kuralına göre toplanır. Statikteki iki genel problem: –Bileşenlerden bileşke kuvvet bulmak –Bilinen bir kuvveti bileşenlerine ayırmak

10 KT10 Bir kuvvetin bileşenlerine ayrılması Bir noktaya etkiyen bir tek vektör yerine aynı etkiyi yapacak iki veya daha fazla vektör koymak mümkündür.Bunlara vektörün bileşenleri denir. Bu bileşenleri bulabilmek için: –İki bileşenden düzlemde biri, uzayda ise üç bileşenden ikisi bilinmelidir. –Bileşenlerin tesir çizgileri bilinmelidir.

11 KT11 İkiden fazla kuvvetin toplanması İkiden fazla kuvvet toplanacaksa, bileşke kuvveti bulmak için paralelkenar kuralı birden fazla uygulanabilir.

12 KT12 Paralelkenar kuralı Trigonometri Analizde izlenecek yol

13 KT13 Örnek 1 F 1 ve F 2 kuvvetlerinin bileşkesini ve yönünü bulunuz. Çözüm:

14 KT14 Kosinüs teoremi’nden: Sinüs teoreminden: Örnek 1

15 KT15 Örnek 2 Bu iki kuvvetin bileşkesinin y ekseni üzerinde olması için F kuvvetinin şiddetini bulunuz. 200 N

16 KT16 ödev Ödev1: 600N’luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. Ödev2: F 2 kuvvetinin şiddetini, yönünü ve bileşke kuvveti bulunuz. (bileşke kuvvet x ekseni üzerinde, F 2 kuvveti ise minimum şiddette olsun) 600 N Ödev1: 600N’luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N Ödev2: F 2 kuvvetinin şiddetini, yönünü ve bileşke kuvveti bulunuz. (bileşke kuvvet x ekseni üzerinde, F 2 kuvveti ise minimum şiddette olsun)

17 KT17 Düzlemsel kuvvetlerin toplanması (Kartezyen Koordinatlar) Eğer bir kuvvet x ve y eksenlerindeki bileşenlerine ayrılırsa, bu bileşenlere “kartezyen bileşenler” denir. x ve y eksenleri pozitif ve negatif yönler belirttiklerinden, bir kuvvetin dik bileşenlerinin büyüklüğü ve yönü cebirsel skalerlerle ifade edilebilir. Skaler gösterim:

18 KT18 F vektörünün yönü,  açısı yerine küçük eğim üçgeni ile de gösterilebilir. F y vektörünün yönü negatif y ekseninde olduğundan y bileşeni negatiftir, bu nedenle hesaplamalarda (-) işareti kullanılmalıdır.

19 KT19 Kartezyen vektör gösterimi Bir kuvvetin bileşenleri, kartezyen birim vektörler cinsinden ifade edilebilir. x ve y eksenlerinin doğrultularını belirtmek için sırasıyla i ve j kartezyen birim vektörleri kullanılır. Bu vektörler, boyutsuz birim uzunluktadır ve yönleri (ok ucu), pozitif veya negatif x ve y eksenini işaret etmesine bağlı olarak, artı veya eksi işareti ile gösterilir.

20 KT20 Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri Bir kuvvetin bileşenlerini göstermede kullanılan iki yöntem de çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini belirlemek için de kullanılabilir. Bunun için, her bir kuvvet önce x ve y bileşenlerine ayrılır ve sonra karşılıklı bileşenler aynı doğru üzerinde bulunduklarından skaler cebir kullanılarak toplanır.

21 KT21 Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri VEKTÖREL TOPLAM SKALER TOPLAM

22 KT22 İkiden fazla kuvvetin toplanması Herhangi bir sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesinin x ve y bileşenleri, bütün kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin cebirsel toplamıyla bulunabilir.

23 KT23 Bileşkenin bileşenleri belirlendikten sonra, şekildeki gibi, x ve y eksenleri boyunca çizilebilir. Bileşke kuvvet vektör toplamından belirlenebilir. Bileşkenin büyüklüğü ve yönü ise şu şekilde bulunabilir.

24 KT24 Örnek 3: Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini birim vektörleri kullanarak bulunuz

25 KT25 Örnek 3:

26 KT26 Ödev 3-4 Etkiyen kuvvetlerin bileşkesinin y ekseni boyunca olması ve şiddetinin de 800 N olması için F 1 kuvvetinin şiddetini,  açısının ne olması gerektiğini bulunuz Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini birim vektörleri kullanarak bulunuz Etkiyen kuvvetlerin bileşkesinin y ekseni boyunca olması ve şiddetinin de 800 N olması için F 1 kuvvetinin şiddetini,  açısının ne olması gerektiğini bulunuz Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini birim vektörleri kullanarak bulunuz

27 KT27 Kartezyen Vektörler Vektör işlemleri, üç boyutlu problemlerin çözümüne uygulanırken vektörler kartezyen vektör formunda ifade edilirse işlem basitleşir. Sağ El Koordinat Sistemi: –Vektör cebri işlemlerinde sağ el koordinat sistemi kullanılacaktır.

28 KT28 Bir vektörün kartezyen bileşenleri Bir A vektörünün x, y, z koordinat eksenlerinde bileşenleri olabilir. Paralelkenar kuralını iki kez ard arda uygulayarak;

29 KT29 Kartezyen birim vektörler Üç boyutlu uzayda, i, j, k kartezyen birim vektörleri sırasıyla x, y, z eksenlerinin doğrultusunu göstermek için kullanılır. Şekilde verilen vektörler, pozitif birim vektörlerdir.

30 KT30 Kartezyen vektör gösterimi Vektörleri kartezyen bileşenler cinsinden yazmak önemli bir avantaj sağlar. Her bir bileşen vektörün şiddeti ve yönünü belirtir.

31 KT31 Kartezyen vektörün büyüklüğü Kartezyen vektör formunda ifade edilen bir A vektörünün şiddetini bulmak için:

32 KT32 Kartezyen vektörün yönleri A vektörünün doğrultusu, A’nın başlangıç noktası ve bu noktada yer alan pozitif x, y, z eksenleri arasında ölçülen  (alfa),  (beta),  (gama) doğrultu açıları ile tanımlanır. Bu açılar 0  ile 180  arasındadır. ,  ve  ’yı belirlemek için A’nın x, y, z eksenleri üzerindeki izdüşümleri kullanılır.

33 KT33 Yön kosinüsleri

34 KT34 A vektörünün doğrultu kosinüslerini elde etmenin kolay bir yolu, A doğrultusunda bir birim vektör oluşturmaktır. ** Eğer bir vektörün şiddeti ve yön kosinüsleri biliniyorsa, A vektörü kartezyen koordinatlarda ifade edilebilir. u A ’nın büyüklüğü 1 olduğundan;

35 KT35 Kartezyen vektörlerin toplanması

36 KT36 Örnek 4 F kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz. F x (+x) yönünde olduğu için  60° olmalı

37 KT37 Ödev 5 F kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz ve F kuvvetinin yön kosinüslerini bulunuz

38 KT38 Pozisyon (Konum) Vektörleri Pozisyon vektörü uzaydaki herhangi iki nokta arasında yönelen bir kartezyen kuvvet vektörünü formüle etmek açısından önemlidir. r pozisyon vektörü, bir noktanın uzaydaki konumunu diğer bir noktaya göre belirleyen sabit bir vektördür.

39 KT39 Daha genel bir halde, pozisyon vektörü uzaydaki A noktasından B noktasına da yönelebilir. Vektör toplamı

40 KT40 r konum vektörü, i, j, k bileşenleri, vektörün başlangıcının koordinatları A (x A, y A, z A ), ucuna karşı gelen koordinatlardan B (x B, y B, z B ) çıkartılarak bulunabilir. Ayrıca, bu üç bileşenin uç uca eklenmesi r’yi verir. A’dan başlıyarak B’ye ulaşılıyor.

41 KT41

42 KT42 Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü Üç boyutlu statik problemlerinde, bir kuvvetin doğrultusu genellikle etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir. Şekildeki F kuvveti buna bir örnektir. Doğrultusu A’dan B’ye olan F kuvveti kartezyen vektör şeklinde ifade edilebilir.

43 KT43 Bir doğru boyunca yönelen veya iki nokta arasında uzanan kuvvet vektörü

44 KT44 Örnek 5 Şekilde gösterilen çatı, AB ve AC zincirleriyle taşınmaktadır. A noktasına etki eden bileşke kuvveti kartezyen vektör olarak ifade edin.

45 KT45

46 KT46 Ödev 6 A noktasına etki eden kuvveti kartezyen vektör olarak ifade edin.

47 KT47 Nokta (Skaler) Çarpım Statikte bazen iki doğru arasındaki açının, veya bir kuvvetin bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması gerekir. İki boyutlu problemlerde trigonometri ile çözülebilir, ancak 3 boyutluda çözüm için vektör yöntemleri uygulanmalıdır. Skaler çarpım, iki vektörün çarpımı için özel bir yöntemdir. A ve B vektörlerinin skaler çarpımı, A  B şeklinde yazılır ve A skaler çarpım B diye okunur. A ve B’nin büyüklükleri ile iki vektör arasındaki açının kosinüsünün çarpımı olarak tanımlanır.

48 KT48 Bu çarpıma skaler çarpım veya nokta çarpım da denir. Bu işlemin kuralları : –Değişme özelliği (komütatiflik ) –Skaler ile çarpım –Dağılma kuralı (distributiflik)

49 KT49 Kartezyen vektör formülasyonu Formülünü kullanarak kartezyen birim vektörlerin çarpımını bulmak için kullanılabilir. Örneğin:

50 KT50 Uygulamalar Skaler çarpımın mekanikte iki önemli uygulama alanı vardır: –1) İki vektör veya kesişen doğrular arasındaki açı

51 KT51 Uygulamalar 2) Bir vektörün bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması: A a : a-a doğrultusundaki A vektörünün bileşeni. A’nın izdüşümü de denir. a-a’nın doğrultusu u a birim vektörüyle belirlenmişse, A a vektörünün şiddeti skaler çarpımla bulunabilir.

52 KT52 A vektörünün dik bileşeni:

53 KT53 ÖRNEK 6 Şekilde verilen F kuvvetinin AB çubuğuna paralel ve dik bileşenlerini bulunuz. A (0; 0; 0) B (2; 6; 3)

54 KT54


"KT1 VEKTÖRLER. KT2 Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler: Skaler büyüklük: sadece bir sayısal değeri tanımlamakta." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları