Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

1 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol. VEKTÖR: Fen ve mühendislikte zaman, sıcaklık, kütle gibi bir çok niceliğin sadece büyüklüğü verildiğinde o nicelik hakkında.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "1 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol. VEKTÖR: Fen ve mühendislikte zaman, sıcaklık, kütle gibi bir çok niceliğin sadece büyüklüğü verildiğinde o nicelik hakkında."— Sunum transkripti:

1 1 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

2 VEKTÖR: Fen ve mühendislikte zaman, sıcaklık, kütle gibi bir çok niceliğin sadece büyüklüğü verildiğinde o nicelik hakkında yeterli bilgi verilmiş olur. Bu niceliklere SKALER büyüklükler denir. Hız, ivme, kuvvet gibi birçok niceliğin tam olarak belirtilebilmesi için büyüklüğünün yanında doğrultu ve yönünün de verilmesi gerekir. Bu gibi niceliklere VEKTÖREL büyüklükler denir. 2 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

3 3 Tanım : AB Uç noktalarından biri başlangıç diğeri bitim noktası olarak seçilmiş doğru parçasına YÖNLÜ DOĞRU PARÇASI denir. Başlangıç noktası Bitim noktası d doğrusuna yönlü doğru parçasının taşıyıcısı denir. Ve ile gösterilir. AB Doğru parçası AB Yönlü doğru parçası d

4 4 YÖNLÜ DOĞRU PARÇALARININ EŞLİĞİ: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol AB ve CD yönlü doğru parçaları verilsin. aynı yönlü ise bu yönlü doğru parçaları EŞTİR denir ve yazılır. Eşlik bağıntısı yönlü doğru parçalarını denklik sınıflarına ayırır. Bu denklik sınıflarından her birine bir VEKTÖR denir.

5 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol 5 yönlü doğru parçasına denk olan yönlü doğru parçalarının denklik sınıfı (vektör) ile veya AB,a,b,c gibi koyu yazılmış harflerle gösterilir. Bir denklik sınıfındaki sonsuz yönlü doğru parçalarının boyları aynıdır. Bu ortak sayıya a vektörünün boyu veya normu denir ve ile gösterilir. Denklik sınıfı bir temsilci elemanı ile gösterilebileceğinden

6 6 A B Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol noktaları verilsin. Böylece yönlü doğru parçası veya a vektörü verilmiş olur. a

7 7 Eş yönlü doğru parçalarının denklik sınıfı (vektör), başlangıç noktası orijin olan ve yer vektörü ya da konum vektörü denen bir a vektörü ile gösterilir. O(0,0) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol a

8 8 O(0,0)

9 9 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol O(0,0)

10 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol 10 O(0,0)

11 11 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol O(0,0)

12 12 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Konum vektörleri bitim noktalarının koordinatları ile gösterildiği gibi satır ya da sütün matrisleri ile de gösterilirler.

13 13 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Vektörler Kümesinde Toplama ve Çıkarma İşlemleri: olsun. veya matris gösterimi ile olarak tanımlanır.

14 14 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: verilsin. B(-2,1) A(1,3) P(-1,4) B(-2,1) A(1,3) P(3,2) veya

15 15 Paralelkenar Kuralı A(a,b) B(c,d) C(a+c,b+d) A(a,b) B(c,d) C(a-c,b-d) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol B(-2,1) A(1,3) P(-1,4) B(-2,1) A(1,3) P(3,2) Bir önceki örneği paralelkenar kuralına göre çözelim.

16 16 Paralelkenar Kuralı C(a+c,b+d) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol B(c,d) A(a,b) C(a-c,b-d) B(c,d) A(a,b)

17 17 Bir konum vektörünün boyu (büyüklüğü): A(a,b) a b Bir sayı ile bir vektörün çarpımı: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol ve u = (a,b) ise ku = (ka,kb) olarak tanımlanır. Örnek: u=(-1,2) ise 3u=(-3,6) veya u=[-1 2] ise 3u=[-3, 6] a=(2,-3) ise -5a=(-10,15) veya -5a=-5[2 -3]=[-10 15]

18 Birim vektör: Uzunluğu 1br olan vektöre birim vektör denir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol u vektörü doğrultusunda ve yönündeki birim vektör, dur.

19 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol 19 u vektörü doğrultusunda ve yönündeki birim vektör, dur

20 20 Örnek: a) a ve b vektörlerini çiziniz. b) a+b ve a-b vektörlerini bulunuz ve çiziniz. c) a ve b vektörleri yönünde ve doğrultusundaki birim vektörleri bulunuz ve çiziniz. a=(2,1) ve b=(1,3) vektörleri veriliyor. Çözüm: a) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol b) a+b= (2,1)+(1;3)(2+1,1+3)=(3,4)

21 21 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol a-b =(2-1,1-3)=(1,-2)

22 22 c) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

23 23 Ödev: a) a ve b vektörlerini çiziniz. b) a+b ve a-b vektörlerini bulunuz ve çiziniz. c) a ve b vektörleri yönünde ve doğrultusundaki birim vektörleri bulunuz ve çiziniz. 1. a=(-1,2) ve b=(2,3)vektörleri veriliyor. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol a) a ve b vektörlerini çiziniz. b) 2a+b ve a-3b vektörlerini bulunuz ve çiziniz. c) a ve b vektörleri yönünde ve doğrultusundaki birim vektörleri bulunuz ve çiziniz. 2. a=(1,2) ve b=(2,1)vektörleri veriliyor.

24 24 Lineer Bağımsızlık: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol paralel olmayan iki vektör ise bu vektörler lineer bağımsızdır denir. veya aynı şey demek olan ise vektörleri lineer bağımlıdır denir. Ya da m ve n sıfır olmamak şartıyla olabiliyorsa vektörleri lineer bağımlıdır denir. Örnek: olsun. paralel değillerdir. Dolaysıyla lineer bağımsızdırlar.

25 25 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Veya için m = 0, n = 0 olduğundan paralel değillerdir. Dolaysıyla lineer bağımsızdırlar.

26 26 Lineer Birleşim: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol paralel olmayan (lineer bağımsız) iki vektör olsun. O zaman düzlemin herhangi bir vektörü vektörleri cinsinden biçiminde tek türlü yazılabilir. vektörüne ile vektörlerinin lineer birleşimi denir. Örnek: Çözüm: vektörünü vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız. = x(1,3)+y(-1,2)=(x,3x)+(-y,2y)= (x-y,3x+2y), 3=x-y ve 2=3x+2y buradan x = 8/5,y = -7/5 bulunur.

27 27 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: u=(-1,3) vektörünü a=(1,2) ve b=(3,-2) vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız. u=xa+yb (-1,3)=x(1,2)+y(3,-2)=(-x,2x)+(3y,-2y) (-1,3)=(-x+3y,2x-2y) -1=-x+3y ve 3=2x-2y Çözüm: -1=-x+3y 3=2x-2y -2=-2x+6y 3=2x-2y 1=4y,y=1/4 -1=-x+3/4,x=7/4 u=7/4a+1/4b bulunur.

28 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol 28 Örnek: Çözüm: vektörleri lineer bağımlımıdır? Gösteriniz vektörleri paralel değillerdir. Dolayısıyla lineer bağımsızdırlar. 2. mu+nv=0 (-m,3m)+(-2n+3n)=0 (-m-2n,3m+3n)=0 mu+nv=0 m=0 ve n=0 olduğundan u ve v vektörleri lineer bağımsızdır. mu+nv=(0,0) eşitliğini sağlayan m≠0 ve n≠0 sayıları bulunabilseydi mu+nv=0 eşitliğinden u=-(n/m)v yazılabilirdi ki bu da u ile v vektörlerinin paralel olduklarını yani lineer bağımlı olduklarını gösterirdi. -m-2n=0 m=-2n -2n=-n n=0 3m+3n=0 m=-n m=0

29 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol 29 Örnek: vektörünü vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız. Çözüm: w=(4,-3)=xu+yv=(-x,3x)+(-2y,3y)=(-x-2y,3x+3y) -x-2y=4 x=-2y-4 y=-3 3x+3y=-3 x=-y-1 x=-4 w=-4u-3v Çözüm : olmalıdır. Örnek: vektörlerinin lineer bağımsız olmaları için ne olmalıdır?

30 30 Uzayın herhangi bir vektörü baz vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazılabilir. Koordinat eksenleri doğrultusunda ve yönündeki birim vektörler kümesine bu uzayın standart bazı denir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Düzlemde (iki boyutlu uzayda, de) en çok iki vektör lineer bağımsız olabilir. Bir uzayın lineer bağımsız vektörleri kümesine bu uzayın bir bazı (tabanı) denir. Baz vektörleri ikişer ikişer dik iseler bu baza ortogonal baz denir. Ortogonal baz vektörleri aynı zamanda birim vektörler ise bu baza ortonormal baz denir. Baz Vektörleri:

31 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol 31 Düzlemde (iki boyutlu uzayda) standart baz vektörleri i ve j ile gösterilir. kümesine düzlemin standart bazı denir.

32 32 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: Çözüm: Önce i ve j vektörlerinin lineer bağımsız olduklarını, dolaysıyla düzlemdeki vektörler kümesinin bir bazını oluşturduklarını gösterelim. vektörlerinin lineer bağımsız olduklarını ve nin düzlemi gerdiğini (düzlemdeki vektörler kümesinin bir bazı olduğunu) gösteriniz. nin bir bazıdır.

33 33 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Düzlemde herhangi bir vektör olsun. Bu vektörün i ve j vektörleri cinsinden nasıl yazılabileceğini gösterelim. Dolaysıyla olarak yazılabilir. Örnek:

34 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol 34 Örnek: b) vektörünü vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız. a) vektörlerinin düzlemde bir baz oluşturduğunu gösteriniz ve bu baz vektörleri kümesini yazınız Çözüm : a) vektörlerinin lineer bağımsız olduklarını, başka bir deyişle düzlemde bir baz oluşturduklarını göstermek için paralel olmadıklarını göstermek yeter vektörleri lineer bağımsızdır. Dolaysıyla düzlemde bir baz oluştururlar. T={u,v} kümesi düzlemdeki vektörler kümesinin bir bazıdır.

35 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol 35 w=(8/5)u+(9/5)v olur. (8/5) ve (9/5) sayılarına w vektörünün T={u,v} bazına göre bileşenleri denir. Bir vektörün farklı bazlara göre bileşenleri farklıdır. u=(3,2) vektörünü standart baz vektörleri cinsinden yazınız. Örnek: Çözüm : Düzlemde standart baz vektörleri kümesi T={i,j} dır. Buna göre u=(3,2)=xi+yj=x(1,0)+y(0,1)=(x,0)+(0,y) =(x,y) u=(3,2)=(x,y) x=3 ve y=2 u=3i+2j olur. b) w=(-2,5)=xu+yv=x(1,2)+y(-2,1)=(x,2x)+(-2y,y)=(x-2y,2x+y) x-2y=-2 x=2y-2 x=10-4x-2 x=8/5 2x+y=5 y=5-2x y=5-(16/5) y=9/5 3 ve 2 sayıları u=(3,2) vektörünün T={i,j} bazına göre bileşenleridir.

36 36 İki Vektörün Skaler Çarpımı (İç Çarpım): Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol olsun. u ile v nin skaler çarpımı olarak tanımlanır. Buradanolur. Matris gösterimi ile ve ise olur.

37 37 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol t h x İki Vektör arasındaki açı:

38 38 Buradan, Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol ise. Örnek: Çözüm: vektörleri arasındaki açıyı hesaplayınız.

39 39 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Ödev: 1. u=(-1,3) ve v=(2,k) vektörlerinin düzlemde bir baz oluşturmaları ( lineer bağımsız olmaları) için k ne olmalıdır? 2. w=(-3,1) vektörünü u=(1,-2) ve v=(2,2) vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazınız. 3. u=(1,2) ve v=(-2,k) vektörlerinin lineer bağımlı olmaları için k ne olmalıdır? 4. w=(3,-4) vektörünün standart baz vektörleri cinsinden yazınız.

40 40 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol 5. u=(2,-4) ve v=(-1,k) vektörlerinin uzunluklarının eşit olması için k ne olmalıdır? 6. u=(3,4) ve v=(2,k) vektörlerinin birbirine dik olmaları için k ne olmalıdır? 7. u=(-1,1) ve v=(1,-1) vektörleri arasındaki açının ölçüsünü bulunuz? 8. u=(x,1) ve v=(3,5) vektörlerinin paralel olmaları için x ne olmalıdır? 9. u=(x,1) ve v=(3,y) vektörleri veriliyor. 3u=2v olması için x ve y ne olmalıdır? 10. u=(1,2) ve v=(3,1) vektörleri arasındaki açının ölçüsünü bulunuz?

41 41 Bir Vektörün (yönlü doğru parçasının) Taşıyıcı Doğrusunun Denklemi: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol vektörüne AB doğrusunun doğrultman vektörü denir. Yönlü doğru parçasınınolsun. taşıyıcı doğrusunun denklemi. nin taşıyıcı doğrusu A ve B noktalarından geçen doğrudur

42 42Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol olur. vektöründe denirse Burada vektörü AB doğrusunun doğrultman vektörü dür. Örnek: doğrusu verilsin. d doğrusu A(1,-2) noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğrudur.

43 43 Örnek: yönlüveriliyor doğru parçasının taşıyıcı doğrusunun denklemini ve doğrulman vektörünü yazınız. Çözüm: Doğru üzerinde değişken bir nokta.X(x,y) olsun. Örnek: vektörü doğrultusunda olup P(2,1) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol B(1,3) X(x,y) A (- 1,2) P(2,1) X(x,y)

44 44 Örnek : vektörünün taşıyıcı doğrusunun denklemini yazınız.. Çözüm: (4,3) Bir Vektörün bir doğru üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu: t H h Diğer taraftan;. olur. (x,y) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Doğrunun doğrultman vektörü v olsun. (0,0)

45 45 Örnek: vektörünün -2x+3y=0 doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: (3,2) l Doğru üzerinde bir nokta, örneğin A(3,2) noktasını alalım. Doğru üzerinde (6,4) noktasını almış olsaydık; Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol br Doğrultman vektörü olur.

46 46 Örnek: Çözüm: vektörünün üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. vektörü Örnek: vektörünün x+y=1 doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: x+y=1 doğrusunun doğrultman vektörünü bulalım. Bunun için x+y=1 doğrusu üzerinde herhangi iki nokta alalım. A(0,1),B(1,0) olsun. AB doğrusunun doğrultman vektörü dir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol br

47 47 Bir Vektörün bir doğru üzerindeki izdüşüm vektörü t H h olur. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Doğrunun doğrultman vektörü v olsun.İzdüşüm vektörünün Boyu doğrultusu ve yönü v vektörünün doğrultusu ve yönü aynıdır. Buna göre

48 48 Örnek: vektörünün -2x+3y=0 doğrusu Üzerindeki izdüşüm vektörünü bulunuz. Çözüm: (3,2) Doğru üzerinde bir nokta, örneğin A(3,2) noktasını alalım. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Doğrultman vektörü olur.

49 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol 49 Ödev: 3. u=(4,3) ve v=(6,8) ise (u+v).(u-v)=? 4. u ile v vektörleri arasındaki açı 120 derecedir. olduğuna göre ; a) b)c) d) a) u=(-1,3) ile v=(2,1) vektörleri veriliyor. T={u,v} kümesinin düzlemde bir baz oluşturduğunu gösteriniz. b) w=(6,-9) vektörünü u=(-1,3) ile v=(2,1) vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız.


"1 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol. VEKTÖR: Fen ve mühendislikte zaman, sıcaklık, kütle gibi bir çok niceliğin sadece büyüklüğü verildiğinde o nicelik hakkında." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları