Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol"— Sunum transkripti:

1 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
DERS 4 VEKTÖRLER Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

2 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
VEKTÖR: Fen ve mühendislikte zaman, sıcaklık, kütle gibi bir çok niceliğin sadece büyüklüğü verildiğinde o nicelik hakkında yeterli bilgi verilmiş olur. Bu niceliklere SKALER büyüklükler denir. Hız, ivme, kuvvet gibi birçok niceliğin tam olarak belirtilebilmesi için büyüklüğünün yanında doğrultu ve yönünün de verilmesi gerekir. Bu gibi niceliklere VEKTÖREL büyüklükler denir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

3 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
B Tanım : Başlangıç noktası Bitim noktası AB Doğru parçası AB Yönlü doğru parçası Uç noktalarından biri başlangıç diğeri bitim noktası olarak seçilmiş doğru parçasına YÖNLÜ DOĞRU PARÇASI denir. Ve ile gösterilir. AB Yönlü doğru parçası d d doğrusuna yönlü doğru parçasının taşıyıcısı denir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

4 YÖNLÜ DOĞRU PARÇALARININ EŞLİĞİ:
AB ve CD yönlü doğru parçaları verilsin. aynı yönlü ise bu yönlü doğru parçaları EŞTİR denir ve yazılır. Eşlik bağıntısı yönlü doğru parçalarını denklik sınıflarına ayırır. Bu denklik sınıflarından her birine bir VEKTÖR denir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

5 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Denklik sınıfı bir temsilci elemanı ile gösterilebileceğinden yönlü doğru parçasına denk olan yönlü doğru parçalarının denklik sınıfı (vektör) ile veya AB,a,b,c gibi koyu yazılmış harflerle gösterilir. Bir denklik sınıfındaki sonsuz yönlü doğru parçalarının boyları aynıdır. Bu ortak sayıya a vektörünün boyu veya normu denir ve ile gösterilir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

6 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
noktaları verilsin. Böylece yönlü doğru parçası veya a vektörü verilmiş olur. B A a Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

7 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Eş yönlü doğru parçalarının denklik sınıfı (vektör), başlangıç noktası orijin olan ve yer vektörü ya da konum vektörü denen bir a vektörü ile gösterilir. O(0,0) a Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

8 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

9 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

10 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

11 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

12 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Konum vektörleri bitim noktalarının koordinatları ile gösterildiği gibi satır ya da sütün matrisleri ile de gösterilirler. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

13 Vektörler Kümesinde Toplama ve Çıkarma İşlemleri:
olsun. veya matris gösterimi ile olarak tanımlanır. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

14 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Örnek: verilsin. veya P(-1,4) A(1,3) B(-2,1) A(1,3) P(3,2) B(-2,1) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

15 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Paralelkenar Kuralı C(a+c,b+d) A(a,b) B(c,d) B(c,d) A(a,b) C(a-c,b-d) Bir önceki örneği paralelkenar kuralına göre çözelim. P(-1,4) A(1,3) B(-2,1) A(1,3) P(3,2) B(-2,1) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

16 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Paralelkenar Kuralı C(a+c,b+d) B(c,d) B(c,d) A(a,b) A(a,b) C(a-c,b-d) 16 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

17 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Bir sayı ile bir vektörün çarpımı: ve u = (a,b) ise ku = (ka,kb) olarak tanımlanır. Örnek: u=(-1,2) ise 3u=(-3,6) veya u=[-1 2] ise 3u=[-3, 6] a=(2,-3) ise -5a=(-10,15) veya -5a=-5[2 -3]=[ ] Bir konum vektörünün boyu (büyüklüğü): A(a,b) b a Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

18 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Birim vektör: Uzunluğu 1br olan vektöre birim vektör denir. 1 1 u vektörü doğrultusunda ve yönündeki birim vektör, dur. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

19 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
u vektörü doğrultusunda ve yönündeki birim vektör, dur Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

20 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Örnek: a=(2,1) ve b=(1,3) vektörleri veriliyor. a) a ve b vektörlerini çiziniz. b) a+b ve a-b vektörlerini bulunuz ve çiziniz. c) a ve b vektörleri yönünde ve doğrultusundaki birim vektörleri bulunuz ve çiziniz. Çözüm: b) a+b= (2,1)+(1;3)(2+1,1+3)=(3,4) a) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

21 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
a-b =(2-1,1-3)=(1,-2) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

22 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
c) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

23 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Ödev: 1. a=(-1,2) ve b=(2,3)vektörleri veriliyor. a) a ve b vektörlerini çiziniz. b) a+b ve a-b vektörlerini bulunuz ve çiziniz. c) a ve b vektörleri yönünde ve doğrultusundaki birim vektörleri bulunuz ve çiziniz. 2. a=(1,2) ve b=(2,1)vektörleri veriliyor. a) a ve b vektörlerini çiziniz. b) 2a+b ve a-3b vektörlerini bulunuz ve çiziniz. c) a ve b vektörleri yönünde ve doğrultusundaki birim vektörleri bulunuz ve çiziniz. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

24 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Lineer Bağımsızlık: paralel olmayan iki vektör ise bu vektörler lineer bağımsızdır denir. veya aynı şey demek olan ise vektörleri lineer bağımlıdır denir. Ya da m ve n sıfır olmamak şartıyla olabiliyorsa vektörleri lineer bağımlıdır denir. Örnek: olsun. paralel değillerdir. Dolaysıyla lineer bağımsızdırlar. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

25 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Veya için m = 0, n = 0 olduğundan paralel değillerdir. Dolaysıyla lineer bağımsızdırlar. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

26 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Lineer Birleşim: paralel olmayan (lineer bağımsız) iki vektör olsun. O zaman düzlemin herhangi bir vektörü vektörleri cinsinden biçiminde tek türlü yazılabilir. vektörüne ile vektörlerinin lineer birleşimi denir. vektörünü vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız. Örnek: = x(1,3)+y(-1,2)=(x,3x)+(-y,2y)= (x-y,3x+2y), 3=x-y ve 2=3x+2y buradan x = 8/5,y = -7/5 bulunur. Çözüm: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

27 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Örnek: u=(-1,3) vektörünü a=(1,2) ve b=(3,-2) vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız. Çözüm: u=xa+yb (-1,3)=x(1,2)+y(3,-2)=(-x,2x)+(3y,-2y) (-1,3)=(-x+3y,2x-2y) =-x+3y ve 3=2x-2y -1=-x+3y 3=2x-2y -2=-2x+6y 3=2x-2y 1=4y,y=1/4 -1=-x+3/4,x=7/4 u=7/4a+1/4b bulunur. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

28 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Örnek: vektörleri lineer bağımlımıdır? Gösteriniz vektörleri paralel değillerdir. Dolayısıyla lineer bağımsızdırlar. Çözüm: 2. mu+nv= (-m,3m)+(-2n+3n)= (-m-2n,3m+3n)=0 -m-2n= m=-2n n=-n n=0 3m+3n= m=-n m=0 mu+nv= m=0 ve n=0 olduğundan u ve v vektörleri lineer bağımsızdır. mu+nv=(0,0) eşitliğini sağlayan m≠0 ve n≠0 sayıları bulunabilseydi mu+nv=0 eşitliğinden u=-(n/m)v yazılabilirdi ki bu da u ile v vektörlerinin paralel olduklarını yani lineer bağımlı olduklarını gösterirdi. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

29 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Örnek: vektörünü vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız. Çözüm: w=(4,-3)=xu+yv=(-x,3x)+(-2y,3y)=(-x-2y,3x+3y) -x-2y= x=-2y y=-3 3x+3y= x=-y x=-4 w=-4u-3v Örnek: vektörlerinin lineer bağımsız olmaları için ne olmalıdır? Çözüm: olmalıdır. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

30 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Baz Vektörleri: Düzlemde (iki boyutlu uzayda, de) en çok iki vektör lineer bağımsız olabilir. Bir uzayın lineer bağımsız vektörleri kümesine bu uzayın bir bazı (tabanı) denir. Baz vektörleri ikişer ikişer dik iseler bu baza ortogonal baz denir. Ortogonal baz vektörleri aynı zamanda birim vektörler ise bu baza ortonormal baz denir. Uzayın herhangi bir vektörü baz vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazılabilir. Koordinat eksenleri doğrultusunda ve yönündeki birim vektörler kümesine bu uzayın standart bazı denir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

31 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Düzlemde (iki boyutlu uzayda) standart baz vektörleri i ve j ile gösterilir kümesine düzlemin standart bazı denir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

32 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
vektörlerinin lineer bağımsız olduklarını ve nin düzlemi gerdiğini (düzlemdeki vektörler kümesinin bir bazı olduğunu) gösteriniz. Örnek: Çözüm: Önce i ve j vektörlerinin lineer bağımsız olduklarını, dolaysıyla düzlemdeki vektörler kümesinin bir bazını oluşturduklarını gösterelim. nin bir bazıdır. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

33 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Düzlemde herhangi bir vektör olsun. Bu vektörün i ve j vektörleri cinsinden nasıl yazılabileceğini gösterelim. Dolaysıyla olarak yazılabilir. Örnek: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

34 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Örnek: a) vektörlerinin düzlemde bir baz oluşturduğunu gösteriniz ve bu baz vektörleri kümesini yazınız b) vektörünü vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız. a) vektörlerinin lineer bağımsız olduklarını , başka bir deyişle düzlemde bir baz oluşturduklarını göstermek için paralel olmadıklarını göstermek yeter Çözüm: vektörleri lineer bağımsızdır. Dolaysıyla düzlemde bir baz oluştururlar. T={u,v} kümesi düzlemdeki vektörler kümesinin bir bazıdır. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

35 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
b) w=(-2,5)=xu+yv=x(1,2)+y(-2,1)=(x,2x)+(-2y,y)=(x-2y,2x+y) x-2y= x=2y x=10-4x x=8/5 2x+y= y=5-2x y=5-(16/5) y=9/5 w=(8/5)u+(9/5)v olur. (8/5) ve (9/5) sayılarına w vektörünün T={u,v} bazına göre bileşenleri denir. Bir vektörün farklı bazlara göre bileşenleri farklıdır. Örnek: u=(3,2) vektörünü standart baz vektörleri cinsinden yazınız. Çözüm: Düzlemde standart baz vektörleri kümesi T={i,j} dır. Buna göre u=(3,2)=xi+yj=x(1,0)+y(0,1)=(x,0)+(0,y) =(x,y) u=(3,2)=(x,y) x=3 ve y= u=3i+2j olur. 3 ve 2 sayıları u=(3,2) vektörünün T={i,j} bazına göre bileşenleridir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

36 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
İki Vektörün Skaler Çarpımı (İç Çarpım): olsun. u ile v nin skaler çarpımı olarak tanımlanır. Matris gösterimi ile ve ise olur. Buradan olur. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

37 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
İki Vektör arasındaki açı: t h x Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

38 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Buradan, ise. Örnek: vektörleri arasındaki açıyı hesaplayınız. Çözüm: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

39 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Ödev: 1. u=(-1,3) ve v=(2,k) vektörlerinin düzlemde bir baz oluşturmaları ( lineer bağımsız olmaları) için k ne olmalıdır? 2. w=(-3,1) vektörünü u=(1,-2) ve v=(2,2) vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazınız. 3. u=(1,2) ve v=(-2,k) vektörlerinin lineer bağımlı olmaları için k ne olmalıdır? 4. w=(3,-4) vektörünün standart baz vektörleri cinsinden yazınız. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

40 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
5. u=(2,-4) ve v=(-1,k) vektörlerinin uzunluklarının eşit olması için k ne olmalıdır? 6. u=(3,4) ve v=(2,k) vektörlerinin birbirine dik olmaları için k ne olmalıdır? 7. u=(-1,1) ve v=(1,-1) vektörleri arasındaki açının ölçüsünü bulunuz? 8. u=(x,1) ve v=(3,5) vektörlerinin paralel olmaları için x ne olmalıdır? 9. u=(x,1) ve v=(3,y) vektörleri veriliyor. 3u=2v olması için x ve y ne olmalıdır? 10. u=(1,2) ve v=(3,1) vektörleri arasındaki açının ölçüsünü bulunuz? Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

41 Bir Vektörün (yönlü doğru parçasının) Taşıyıcı Doğrusunun Denklemi:
olsun. taşıyıcı doğrusunun denklemi nin taşıyıcı doğrusu A ve B noktalarından geçen doğrudur vektörüne AB doğrusunun doğrultman vektörü denir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

42 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
vektöründe denirse olur. Burada vektörü AB doğrusunun doğrultman vektörü dür. doğrusu verilsin. Örnek: d doğrusu A(1,-2) noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğrudur. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

43 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Örnek: yönlü veriliyor doğru parçasının taşıyıcı doğrusunun denklemini ve doğrulman vektörünü yazınız. B(1,3) X(x,y) A(-1,2) Çözüm: Doğru üzerinde değişken bir nokta .X(x,y) olsun. Örnek: vektörü doğrultusunda olup P(2,1) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. P(2,1) X(x,y) Çözüm: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

44 Bir Vektörün bir doğru üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu:
Örnek: vektörünün taşıyıcı doğrusunun denklemini yazınız.. (4,3) (x,y) Çözüm: (0,0) Bir Vektörün bir doğru üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu: Doğrunun doğrultman vektörü v olsun. H h Diğer taraftan;. t olur. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

45 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Örnek: vektörünün -2x+3y=0 doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Doğru üzerinde bir nokta, örneğin A(3,2) noktasını alalım. Çözüm: Doğrultman vektörü olur. (3,2) l br Doğru üzerinde (6,4) noktasını almış olsaydık; br Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

46 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Örnek: vektörünün üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. vektörü br Çözüm: Örnek: vektörünün x+y=1 doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: x+y=1 doğrusunun doğrultman vektörünü bulalım. Bunun için x+y=1 doğrusu üzerinde herhangi iki nokta alalım. A(0,1),B(1,0) olsun. AB doğrusunun doğrultman vektörü dir. br Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

47 Bir Vektörün bir doğru üzerindeki izdüşüm vektörü
Doğrunun doğrultman vektörü v olsun.İzdüşüm vektörünün Boyu doğrultusu ve yönü v vektörünün doğrultusu ve yönü aynıdır. Buna göre H h t olur. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

48 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Örnek: vektörünün -2x+3y=0 doğrusu Üzerindeki izdüşüm vektörünü bulunuz. Doğru üzerinde bir nokta, örneğin A(3,2) noktasını alalım. Çözüm: Doğrultman vektörü olur. (3,2) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

49 Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol
Ödev: 3. u=(4,3) ve v=(6,8) ise (u+v).(u-v)=? 4. u ile v vektörleri arasındaki açı 120 derecedir. olduğuna göre ; a) b) c) d) 5. 6. a) u=(-1,3) ile v=(2,1) vektörleri veriliyor. T={u,v} kümesinin düzlemde bir baz oluşturduğunu gösteriniz. b) w=(6,-9) vektörünü u=(-1,3) ile v=(2,1) vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol


"Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol" indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları