Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Serhat YILMAZ, 2008 1 4. DURUM DEĞİŞKENi MODELLERİ Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Serhat YILMAZ, 2008 1 4. DURUM DEĞİŞKENi MODELLERİ Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme."— Sunum transkripti:

1 Serhat YILMAZ, DURUM DEĞİŞKENi MODELLERİ Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Bölümü

2 Serhat YILMAZ, DURUM DEĞİŞKENLERİ MODELİ Diferansiyel denklemlerle betimlediğimiz fiziksel sistemleri daha önce Laplace dönüşümlerini kullanarak karmaşık düzlemde n. dereceden bir transfer fonksiyonuyla modelleme yoluna gitmiştik. Sistemleri doğrusal ve zamanla değişmeyen kabul etmek ve alt sistemleri blok şemalar halinde ifade edip birleştirmek oldukça pratik bir yöntemdir Diferansiyel denklemlerle betimlediğimiz fiziksel sistemleri daha önce Laplace dönüşümlerini kullanarak karmaşık düzlemde n. dereceden bir transfer fonksiyonuyla modelleme yoluna gitmiştik. Sistemleri doğrusal ve zamanla değişmeyen kabul etmek ve alt sistemleri blok şemalar halinde ifade edip birleştirmek oldukça pratik bir yöntemdir

3 Serhat YILMAZ, n. dereceden bir sistemi zaman düzleminde n tane 1. dereceden diferansiyel denklem ile ifade etmek de alternatif bir modelleme yöntemi olarak kullanılabilir; n. dereceden bir sistemi zaman düzleminde n tane 1. dereceden diferansiyel denklem ile ifade etmek de alternatif bir modelleme yöntemi olarak kullanılabilir;

4 Serhat YILMAZ, Durum değişkeni adını vereceğimiz bu gösterim zaman düzlemi yöntemlerini kullandığı için, ek işlemler gerektirmediğinden ve gerçek zamanda işlem yaptıkları için bilgisayarda programlanmaya, bilgisayar çözümlerine oldukça elverişlidir. Ayrıca zaman düzlemi yöntemleri doğrusallaştırma, dönüşüm gerektirmediğinden, transfer fonksiyonu gibi tek girişe karşılık tek bir çıkış arasındaki bağıntıyı belirlemekle sınırlı kalmadıklarından, lineer olmayan, zamanla değişen veya çok değişkenli sistemlerde de eş zamanlı olarak kullanılabilirler. Kontrol sistemlerinin zaman düzleminde gösterimi, bu düzlemdeki analizler üzerine kurulmuş olan modern kontrol kuramı ve optimal kontrol kuramı için oldukça önemlidir. Durum değişkeni adını vereceğimiz bu gösterim zaman düzlemi yöntemlerini kullandığı için, ek işlemler gerektirmediğinden ve gerçek zamanda işlem yaptıkları için bilgisayarda programlanmaya, bilgisayar çözümlerine oldukça elverişlidir. Ayrıca zaman düzlemi yöntemleri doğrusallaştırma, dönüşüm gerektirmediğinden, transfer fonksiyonu gibi tek girişe karşılık tek bir çıkış arasındaki bağıntıyı belirlemekle sınırlı kalmadıklarından, lineer olmayan, zamanla değişen veya çok değişkenli sistemlerde de eş zamanlı olarak kullanılabilirler. Kontrol sistemlerinin zaman düzleminde gösterimi, bu düzlemdeki analizler üzerine kurulmuş olan modern kontrol kuramı ve optimal kontrol kuramı için oldukça önemlidir.

5 Serhat YILMAZ, Dinamik sistemlerin durum değişkenleri Kontrol sistemlerinin zaman düzleminde analizi ve tasarımı, sistemin durumunu bilmekten yola çıkılarak yapılır. Kontrol sistemlerinin zaman düzleminde analizi ve tasarımı, sistemin durumunu bilmekten yola çıkılarak yapılır. Eğer bir giriş karşısında sistemin her bir durumunun dinamik davranışının ne olacağını betimleyen denklemleri önceden elde etmişsek ve değişkenlerin şu anki durumunu biliyorsak bir giriş karşısında bir sonraki durumlarının ne olacağını kestirebiliriz. Eğer bir giriş karşısında sistemin her bir durumunun dinamik davranışının ne olacağını betimleyen denklemleri önceden elde etmişsek ve değişkenlerin şu anki durumunu biliyorsak bir giriş karşısında bir sonraki durumlarının ne olacağını kestirebiliriz. Bu değişkenlerden hangisini çıkış olarak gözlemlemek istiyorsak da onu mercek altına alıp sistemin gelecekteki yanıtını (y(t)=v(t) veya y(t)=x(t)…gibi) çözebiliriz. Bu gerçekten zaman düzleminde yapabileceğimiz iyi bir modelleme şeklidir. Bu değişkenlerden hangisini çıkış olarak gözlemlemek istiyorsak da onu mercek altına alıp sistemin gelecekteki yanıtını (y(t)=v(t) veya y(t)=x(t)…gibi) çözebiliriz. Bu gerçekten zaman düzleminde yapabileceğimiz iyi bir modelleme şeklidir.

6 Serhat YILMAZ, Şekildeki dinamik sistemin (x1, x2,….xn) durum değişkenleri kümesi, bu değişkenlerin başlangıç değerleri [ x1(t0), x2(t0), …xn(t0) ] ve tt0 zamanında uygulanan u1(t), u2(t) gibi girişleri bilindiğinde değişkenlerin ve dolayısıyla ilgilendiğimiz çıkış veya çıkışların gelecekteki değerlerini belirlemek mümkündür Şekildeki dinamik sistemin (x1, x2,….xn) durum değişkenleri kümesi, bu değişkenlerin başlangıç değerleri [ x1(t0), x2(t0), …xn(t0) ] ve tt0 zamanında uygulanan u1(t), u2(t) gibi girişleri bilindiğinde değişkenlerin ve dolayısıyla ilgilendiğimiz çıkış veya çıkışların gelecekteki değerlerini belirlemek mümkündür örnek olarak lambanın açma-kapama düğmesi veya tükenmez kalem ucu gibi elemanların iki konumlu durumunu verebiliriz. Eğer düğmenin başlangıçtaki (t0) durumunu (konumunu) bilirsek düğmeye basıldığında gelecekteki durumunun açık mı yoksa kapalı mı olacağını tespit edebiliriz. örnek olarak lambanın açma-kapama düğmesi veya tükenmez kalem ucu gibi elemanların iki konumlu durumunu verebiliriz. Eğer düğmenin başlangıçtaki (t0) durumunu (konumunu) bilirsek düğmeye basıldığında gelecekteki durumunun açık mı yoksa kapalı mı olacağını tespit edebiliriz.

7 Serhat YILMAZ, Peki durum değişkenleri nasıl seçilebilir? Bu konuda belirli tek bir kural yok Kaç tane durum değişkeni seçmemiz gerekir? Sistemimiz kaçıncı dereceden ise o kadar sayıda 1. dereceden durum denklemiyle modellememiz gerekir. Çözüm için denklem sayısı kadar da durum değişkeni tanımlamamız gerekir. İhtiyacımızdan fazla durum değişkeni tanımlamaktan kaçınmalıyız. Sistemimiz kaçıncı dereceden ise o kadar sayıda 1. dereceden durum denklemiyle modellememiz gerekir. Çözüm için denklem sayısı kadar da durum değişkeni tanımlamamız gerekir. İhtiyacımızdan fazla durum değişkeni tanımlamaktan kaçınmalıyız. kütle-yay-sönümleyiciyi hatırlarsanız sistem davranışı ;

8 Serhat YILMAZ, denklemiyle ifade edilmişti. Bu denklem 2. dereceden bir denklemdir. Oysa durum denklemleri 1. dereceden doğrusal iki tane durum denklemine ihtiyacımız var. denklemiyle ifade edilmişti. Bu denklem 2. dereceden bir denklemdir. Oysa durum denklemleri 1. dereceden doğrusal iki tane durum denklemine ihtiyacımız var. Kütlenin konumu ve hızından oluşan bir durum değişkeni kümesi (x1, x2) bu sistemin dinamik davranışını betimlemek için yeterli olacaktır. Kütlenin konumu ve hızından oluşan bir durum değişkeni kümesi (x1, x2) bu sistemin dinamik davranışını betimlemek için yeterli olacaktır. Çünkü böylece 1. denklemi zaten kendiliğinden oluşturmuş oluruz. Çünkü böylece 1. denklemi zaten kendiliğinden oluşturmuş oluruz. (Denklem.1)

9 Serhat YILMAZ, Asıl denklemde de yerine koyarak (yani yerine koyarak ) yine 1. dereceden diğer denklemi elde etmiş oluruz. Asıl denklemde de yerine koyarak (yani yerine koyarak ) yine 1. dereceden diğer denklemi elde etmiş oluruz. Buradan; Buradan; ’yi çekersek 2.dif. denklem elde edilir; ’yi çekersek 2.dif. denklem elde edilir; Böylece sistemin davranışını temsil eden durum denklemi takımı; Böylece sistemin davranışını temsil eden durum denklemi takımı; olur. olur.

10 Serhat YILMAZ, Hangi değişkenleri seçmeliyiz? Enerji depolayan elemanlara ait değişkenleri seçmeliyiz. Çünkü bunların değerleri enerji depolanırken ve tekrar boşaltılırken tanımlı olduğu diferansiyel denkleme göre değişir. Güç harcayan direnç elemanlarındaki akım gibi değerler ise formülden de görüleceği gibi, değişken değil sabit değere sahiptir. Enerji depolayan elemanlara ait değişkenleri seçmeliyiz. Çünkü bunların değerleri enerji depolanırken ve tekrar boşaltılırken tanımlı olduğu diferansiyel denkleme göre değişir. Güç harcayan direnç elemanlarındaki akım gibi değerler ise formülden de görüleceği gibi, değişken değil sabit değere sahiptir. Örnek olarak RLC devresini ele alalım; Örnek olarak RLC devresini ele alalım;

11 Serhat YILMAZ, Durum değişkeni sayısı sistemde bulunan bağımsız enerji depolayıcı eleman sayısı kadardır. Sistemin durumu (x1,x2) durum değişkeni kümesiyle tanımlanabilir. Durum değişkeni sayısı sistemde bulunan bağımsız enerji depolayıcı eleman sayısı kadardır. Sistemin durumu (x1,x2) durum değişkeni kümesiyle tanımlanabilir. Enerjiler kondansatör ve indüktans üzerinde toplanacağından, sitemin toplam enerji denklemi; Enerjiler kondansatör ve indüktans üzerinde toplanacağından, sitemin toplam enerji denklemi; ’dir. Bu nedenle; ’dir. Bu nedenle; x1: vc(t) kondansatör gerilimi ve x2: iL(t) indüktans akımı olarak alınır x1: vc(t) kondansatör gerilimi ve x2: iL(t) indüktans akımı olarak alınır 1. denklemi Kirschoff’un akım yasasından 1. denklemi Kirschoff’un akım yasasından ’yi çekerek oluşturalım; ’yi çekerek oluşturalım;

12 Serhat YILMAZ, denklem de gerilim yasasından; çekilerek elde edilir. Sonuç olarak durum denklemleri;

13 Serhat YILMAZ, Diferansiyel Denklem Takımları, Matrisel Gösterimleri, Dinamik Davranışı Modellemek için Oluşturulan Sistemin Dinamik Denklemleri şeklindedir ki çıkışta neyi gözlemlemek istiyorsak çıkış denklemimizide ona göre yazabiliriz. şeklindedir ki çıkışta neyi gözlemlemek istiyorsak çıkış denklemimizide ona göre yazabiliriz.

14 Serhat YILMAZ, Sistemin Dinamik Denklemleri Durum denklemlerini oluşturan dif. denklem takımları bu şekilde yazılabildiği gibi, bilgisayar ortamına aktarmaya uygun olsun diye matrisel formda da yazılabilir. Durum denklemlerini oluşturan dif. denklem takımları bu şekilde yazılabildiği gibi, bilgisayar ortamına aktarmaya uygun olsun diye matrisel formda da yazılabilir. A ve B; katsayı matrisleri, X ; bilinmeyenler (veya durum) vektörü, U ise giriş vektörüdür. Her bir durumda meydana gelen yeni değişiklik (dxi/dt) girişler ve önceki durumlar tarafından belirleniyordu. A ve B; katsayı matrisleri, X ; bilinmeyenler (veya durum) vektörü, U ise giriş vektörüdür. Her bir durumda meydana gelen yeni değişiklik (dxi/dt) girişler ve önceki durumlar tarafından belirleniyordu. Bu durumda sistemin dinamik denklemleri durum ve çıkış denklemleri çiftinden oluşur. Bu durumda sistemin dinamik denklemleri durum ve çıkış denklemleri çiftinden oluşur.

15 Serhat YILMAZ, Kısaca sistemin dinamik davranışını, bu iki denklemi aynı anda incelersek anlayabiliriz. Benzer şekilde C ve D; katsayı matrisleri, y; tek ise çıkış değişkeni, birden fazla ise Y; çıkış vektörü’dür. Kısaca sistemin dinamik davranışını, bu iki denklemi aynı anda incelersek anlayabiliriz. Benzer şekilde C ve D; katsayı matrisleri, y; tek ise çıkış değişkeni, birden fazla ise Y; çıkış vektörü’dür. Sistemin dinamik denklemlerinden oluşan bu modele durum uzayı gösterimi (veya durum değişkeni) gösterimi adı verilir. Sistemin dinamik denklemlerinden oluşan bu modele durum uzayı gösterimi (veya durum değişkeni) gösterimi adı verilir.

16 Serhat YILMAZ, Örnek\ Kütle-yay- sönümleyici sisteminin durum değişkeni modeli ile matrisel formda gösterimi: Örnek\RLC devresinin sisteminin durum değişkeni modeli ile matrisel formda gösterimi:

17 Serhat YILMAZ, Durum Geçiş Matrisi Durum denkleminin çözümü, 1. dereceden adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümüne benzer bir yöntemle de çözülebilir. Durum denkleminin çözümü, 1. dereceden adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümüne benzer bir yöntemle de çözülebilir. Birinci dereceden dif denklemin =ax+bu şeklinde olduğunu düşünelim. ( : 1.türev, x(t) ve u(t) zamanın skaler (!) fonksiyonları olsun. Sonuçta eat şeklinde exponansiyel bir çözüm bulacağız. Denklemin Laplace dönüşümünü alacak olursak; Birinci dereceden dif denklemin =ax+bu şeklinde olduğunu düşünelim. ( : 1.türev, x(t) ve u(t) zamanın skaler (!) fonksiyonları olsun. Sonuçta eat şeklinde exponansiyel bir çözüm bulacağız. Denklemin Laplace dönüşümünü alacak olursak; ve buradan; ve buradan; sX(s)-x(0)=aX(s)+bU(s)

18 Serhat YILMAZ, X(s)= veya X(s)= X(s)= veya X(s)= olur. Tekrar ters Laplace’nı alırsak olur. Tekrar ters Laplace’nı alırsak Eğer bu değişkenler skaler değil de vektörel olsaydı a’da A gibi bir matris çıkacaktı. 1 de I birim matrisine dönüşecektir. Eğer bu değişkenler skaler değil de vektörel olsaydı a’da A gibi bir matris çıkacaktı. 1 de I birim matrisine dönüşecektir. Benzer şekilde denklemin çözümü de; Benzer şekilde denklemin çözümü de; olacaktır. olacaktır. Denklemin Laplace dönüşümünü alırsak benzer şekilde; Denklemin Laplace dönüşümünü alırsak benzer şekilde; X(s)= bulunur. X(s)= bulunur.

19 Serhat YILMAZ, Dikkat edilirse gerek önceki durumlardan, şimdiki durumlara geçiş, gerekse girişlerle şimdiki durumlar arasındaki geçiş bağıntısı zaman düzleminde eAt, s düzleminde ise eAt’nin Laplace karşılığı olan ile ya da bilinen adıyla durum geçiş matrisi ile sağlanmaktadır. Bu nedenle gördüğümüz yere eat veya eAt gördüğümüz yerlere de Dikkat edilirse gerek önceki durumlardan, şimdiki durumlara geçiş, gerekse girişlerle şimdiki durumlar arasındaki geçiş bağıntısı zaman düzleminde eAt, s düzleminde ise eAt’nin Laplace karşılığı olan ile ya da bilinen adıyla durum geçiş matrisi ile sağlanmaktadır. Bu nedenle gördüğümüz yere eat veya eAt gördüğümüz yerlere de yazabiliriz. Örneğin ; yazabiliriz. Örneğin ; Zorlamasız (u=0) sistemlerde integralli terim ortadan kalkacağından çözümler şu şekilde olacaktır; Zorlamasız (u=0) sistemlerde integralli terim ortadan kalkacağından çözümler şu şekilde olacaktır;

20 Serhat YILMAZ, Durum geçiş matrisi oluşturulurken her bir i. durumun diğer tüm önceki durumlar sıfırken bir önceki j. duruma yanıtları olan tüm geçişleri sırasıyla bulunur. Tıpkı durumlar arasında oluşturulmuş birer transfer (geçiş) fonksiyonu gibi. Bunların tümü, durum geçiş matrisini, yani olası tüm bir önceki durumlarla, bir sonraki durumlar arasındaki bağıntıyı verir. İlk koşullar sıfır olursa bu denklem karmaşık düzlemde de geçerlidir. Durum geçiş matrisi oluşturulurken her bir i. durumun diğer tüm önceki durumlar sıfırken bir önceki j. duruma yanıtları olan tüm geçişleri sırasıyla bulunur. Tıpkı durumlar arasında oluşturulmuş birer transfer (geçiş) fonksiyonu gibi. Bunların tümü, durum geçiş matrisini, yani olası tüm bir önceki durumlarla, bir sonraki durumlar arasındaki bağıntıyı verir. İlk koşullar sıfır olursa bu denklem karmaşık düzlemde de geçerlidir.

21 Serhat YILMAZ, Zaman yanıtının sayısal yöntemlerle yaklaşık çözümleri Durum denklemi çözümleri de ayrık zaman yaklaşımı kullanılarak çözülebilir. Ayrık zaman yaklaşımı, zaman eksenini yeteri kadar küçük dilimlere ayırarak, ardışıl zaman aralıklarında değişkenleri hesaplamaya dayanmaktadır (t=0, T, 2T, 3T,…). Böylece her =T zaman artımında bir önceki değer ve durum geçiş matrisini kullanarak, bir sonraki durumu bulabiliriz. Durum denklemi çözümleri de ayrık zaman yaklaşımı kullanılarak çözülebilir. Ayrık zaman yaklaşımı, zaman eksenini yeteri kadar küçük dilimlere ayırarak, ardışıl zaman aralıklarında değişkenleri hesaplamaya dayanmaktadır (t=0, T, 2T, 3T,…). Böylece her =T zaman artımında bir önceki değer ve durum geçiş matrisini kullanarak, bir sonraki durumu bulabiliriz. Bunu istediğimiz süre boyunca yaparak durumların zamana göre değişimini, yani dif. denklemin çözümünü buluruz. Bunu istediğimiz süre boyunca yaparak durumların zamana göre değişimini, yani dif. denklemin çözümünü buluruz. Eğer zaman artımı, sistemlerin zaman sabitlerine göre yeterince küçük olursa, ayrık zamanda sayısal çözüm, gerçek çözüme oldukça yakın çıkabilir. Eğer zaman artımı, sistemlerin zaman sabitlerine göre yeterince küçük olursa, ayrık zamanda sayısal çözüm, gerçek çözüme oldukça yakın çıkabilir.

22 Serhat YILMAZ, Bu iteratif işlemi Euler yöntemi olarak görmüştük.Eğer t zamanı:bilgisayar tarafından belirlenen bir T adımının katları (t=kT) olarak tanımlanacaksa formülü: Bu iteratif işlemi Euler yöntemi olarak görmüştük.Eğer t zamanı:bilgisayar tarafından belirlenen bir T adımının katları (t=kT) olarak tanımlanacaksa formülü: Burdan; Burdan; (Vektör olduğu için 1 verine I var) (Vektör olduğu için 1 verine I var) Türevin tanımını biliyoruz:, çok küçük =T zaman artımları için türevin sayısal yaklaşımını alabiliriz. Bunu durum denkleminde yerine koyacak olursak;

23 Serhat YILMAZ, Transfer Fonksiyonu Modeli ile Durum Denklemi Modelinin Birbirine Dönüşümlerinde İşaret Akış Şeması veya Blok Şeması Gösterimlerinden Yararlanmak Sayısal işaretimizdeki bir önceki x(k) ile bir sonraki x(k+1) Sayısal işaretimizdeki bir önceki x(k) ile bir sonraki x(k+1) arasındaki durum geçiş matrisi ’e de sürekli durumdaki arasındaki durum geçiş matrisi ’e de sürekli durumdaki ‘den farklı bir sembol, örneğin diyelim; ‘den farklı bir sembol, örneğin diyelim; N. dereceden bir transfer fonksiyonuyla modellenebilen bir dinamik davranışı n tane 1. dereceden durum denklemiyle de modelleyebiliriz. Aynı sistemi modellediklerine göre bunlar arasında nasıl bir ilişki olabilir? N. dereceden bir transfer fonksiyonuyla modellenebilen bir dinamik davranışı n tane 1. dereceden durum denklemiyle de modelleyebiliriz. Aynı sistemi modellediklerine göre bunlar arasında nasıl bir ilişki olabilir?

24 Serhat YILMAZ, Gerektiğinde birbirleri arasında nasıl geçiş yapılabilir? Gerektiğinde birbirleri arasında nasıl geçiş yapılabilir? 1. DD’den TF’na Geçiş 1. DD’den TF’na Geçiş RLC devresinin transfer fonksiyonunu ikinci dereceden bir transfer fonksiyonuydu RLC devresinin transfer fonksiyonunu ikinci dereceden bir transfer fonksiyonuydu burada R,L ve C’nin burada R,L ve C’nin değerlerine bağlı katsayılar olsun değerlerine bağlı katsayılar olsun İşaret Akış Gerektiğinde birbirleri arasında nasıl geçiş yapılabilir? İşaret Akış Gerektiğinde birbirleri arasında nasıl geçiş yapılabilir?

25 Serhat YILMAZ, İşaret akış şemalarını Kullanarak DD’den TF’na Geçiş: İşaret akış şemalarını Kullanarak DD’den TF’na Geçiş: Aynı sistemi durum ve çıkış denklemleri ile de modellemiştik; Aynı sistemi durum ve çıkış denklemleri ile de modellemiştik; ve ve Bu durum ve çıkış denklemlerini sırasıyla işaret akış şeması üzerinde gösterelim. Bu durum ve çıkış denklemlerini sırasıyla işaret akış şeması üzerinde gösterelim. Durum denklemlerinden yola çıkarak elde ettiğimiz bu işaret akış şemasında Mason kazanç formülünü kullanırsak R, L ve C’ye bağlı 2. dereceden bir transfer fonksiyonu elde ederiz. Durum denklemlerinden yola çıkarak elde ettiğimiz bu işaret akış şemasında Mason kazanç formülünü kullanırsak R, L ve C’ye bağlı 2. dereceden bir transfer fonksiyonu elde ederiz.

26 Serhat YILMAZ, Durum Geçiş Matrisinden Yararlanarak DD’den TF’na geçiş: Durum Geçiş Matrisinden Yararlanarak DD’den TF’na geçiş: Amaç, sistemin dinamik denklemlerinden yararlanarak transfer fonksiyonu modeline geçiş için sistematik olarak kullanabileceğimiz bir formül bulmaktır. Amaç, sistemin dinamik denklemlerinden yararlanarak transfer fonksiyonu modeline geçiş için sistematik olarak kullanabileceğimiz bir formül bulmaktır. denkleminden(ilk koşulların hepsi sıfır); denkleminden(ilk koşulların hepsi sıfır);

27 Serhat YILMAZ, X(s) çıkış denkleminde yerine konursa; X(s) çıkış denkleminde yerine konursa; Sağ tarafı U(s) parantezine alırsak; Sağ tarafı U(s) parantezine alırsak; Buradan giriş ile çıkış arasındaki bağıntı bulunur; Buradan giriş ile çıkış arasındaki bağıntı bulunur; Örnek: RLC Devresinin Transfer Fonksiyonu Örnek: RLC Devresinin Transfer Fonksiyonu

28 Serhat YILMAZ, bulunur. bulunur. ‘dir ‘dir bulunur. bulunur.

29 Serhat YILMAZ, Ama daha çok tercih edilen yol transfer fonksiyonunu bulup, buradan durum denklemlerine geçmektir. Ama daha çok tercih edilen yol transfer fonksiyonunu bulup, buradan durum denklemlerine geçmektir. 2. TF’dan DD’e Geçiş 2. TF’dan DD’e Geçiş Bir transfer fonksiyonunun en genel şekli; Bir transfer fonksiyonunun en genel şekli; Buradan n tüm katsayılar gerçel sayılardır. Pay ve paydayı s-n ile çarparsak; Buradan n tüm katsayılar gerçel sayılardır. Pay ve paydayı s-n ile çarparsak; Denklem bu haliyle Mason kazanç formülüne benzemiştir.Mason kazanç formülünün payı ve paydası; Denklem bu haliyle Mason kazanç formülüne benzemiştir.Mason kazanç formülünün payı ve paydası;

30 Serhat YILMAZ, = = = = Denklemin payda kısmına (1-döngüler) determinant ( ) adını veriyorduk. Denklemin payda kısmına (1-döngüler) determinant ( ) adını veriyorduk. k. ileri yol ( ) kaldırıldığında geriye kalan yolların determinantına (1-kaldıysa* geriye kalan döngüler) da k. yolun kofaktörü ( ) adını veriyorduk. k. ileri yol ( ) kaldırıldığında geriye kalan yolların determinantına (1-kaldıysa* geriye kalan döngüler) da k. yolun kofaktörü ( ) adını veriyorduk. * : Transfer fonksiyonunun yapısı ve bizim onu işaret akış şemasına aktarış biçimindeki tercihimiz gereği, döngüler bir diğerine değecek ve bütün ileri yollar da bu döngülere değdiğinden, ilgili ileri yol kaldırıldığında döngüler ortadan kalkacak ve kofaktörler =1-0=1 olacaktır. Bu nedenle transfer fonksiyonumuzu Mason kazanç formülünün özel bir durumu gibi düşünebiliriz;

31 Serhat YILMAZ, Faz Değişkeni Kanonik Biçim: Fazları (durumları) girişe ve çıkışa bildirir Transfer fonksiyonlarını farklı şekilde durum denklemi biçimiyle gösterebiliriz. Bunlardan belli başlıları; faz değişkeni kanonik biçimi ve girişleri ileri bildiren kanonik biçim modelleridir. Burada kanonik; uygun, kabul görmüş anlamındadır. Ayrıca sistemlere ait fiziksel değişkenleri baz alarak yapılan alternatif gösteriş biçimleride bulunmaktadır. Transfer fonksiyonlarını farklı şekilde durum denklemi biçimiyle gösterebiliriz. Bunlardan belli başlıları; faz değişkeni kanonik biçimi ve girişleri ileri bildiren kanonik biçim modelleridir. Burada kanonik; uygun, kabul görmüş anlamındadır. Ayrıca sistemlere ait fiziksel değişkenleri baz alarak yapılan alternatif gösteriş biçimleride bulunmaktadır. Örnek: Dördüncü dereceden bir transfer fonksiyonu

32 Serhat YILMAZ, Transfer fonksiyonundan durum denklemini bulmak için önce işaret akış şemasını elde etmeliyiz. Çünkü işaret akış şemalarında her bir düğümü bir durumu temsil edecek şekilde kurgulayabiliriz. Transfer fonksiyonundan durum denklemini bulmak için önce işaret akış şemasını elde etmeliyiz. Çünkü işaret akış şemalarında her bir düğümü bir durumu temsil edecek şekilde kurgulayabiliriz. Bunun için transfer fonksiyonunun payındaki ileri yolları ve paydasındaki döngüleri, birbirinin 1. dereceden türevleri (s) veya integralleri (s-1) formuna sokmamız gerekir. Denklemin pay ve paydasını s4’e bölersek payda Mason kazanç formülündeki gibi 1+…şeklini alır; Bunun için transfer fonksiyonunun payındaki ileri yolları ve paydasındaki döngüleri, birbirinin 1. dereceden türevleri (s) veya integralleri (s-1) formuna sokmamız gerekir. Denklemin pay ve paydasını s4’e bölersek payda Mason kazanç formülündeki gibi 1+…şeklini alır; = olur. = olur. Sistem 4. dereceden olduğu için 4 tane durum değişkeni (x1, x2, x3, x4) ve dolayısıyla 4 tane durum denklemimiz olacaktır; Sistem 4. dereceden olduğu için 4 tane durum değişkeni (x1, x2, x3, x4) ve dolayısıyla 4 tane durum denklemimiz olacaktır;

33 Serhat YILMAZ, dx1/dt=….., dx2/dt=….., dx3/dt=….., dx4/dt=….. dx1/dt=….., dx2/dt=….., dx3/dt=….., dx4/dt=….. dx/dt’leri diğer gösteriş biçimi olan ile temsil edelim. dx/dt’leri diğer gösteriş biçimi olan ile temsil edelim. Çıkışın arasına bu türevleri, bunların bir integral (s-1) ilerilerine de integrallerini yani kendilerine ait durum değişkenlerini yerleştirelim.Durumları temsil eden gerçek düğümleri yuvarlak ile, bunların türevlerini ise kare ile gösterelim. Çıkışın arasına bu türevleri, bunların bir integral (s-1) ilerilerine de integrallerini yani kendilerine ait durum değişkenlerini yerleştirelim.Durumları temsil eden gerçek düğümleri yuvarlak ile, bunların türevlerini ise kare ile gösterelim. i) Önce ileri yolunu yerleştirelim: U(s)’ten Y(s)’e ileri yol ardı ardına 4 tane s-1 =s-4 ile büyük ölçüde oluşturulmuş. Düğümleri bir etki oluşturmaksızın birbirine 1 kazancıyla bağlayabiliriz. Bir de en başa veya en sona b0 kazancını eklersek ileri yol oluşur. i) Önce ileri yolunu yerleştirelim: U(s)’ten Y(s)’e ileri yol ardı ardına 4 tane s-1 =s-4 ile büyük ölçüde oluşturulmuş. Düğümleri bir etki oluşturmaksızın birbirine 1 kazancıyla bağlayabiliriz. Bir de en başa veya en sona b0 kazancını eklersek ileri yol oluşur.

34 Serhat YILMAZ, U(s) U(s) ii) Payda kısmı olan (1+….)’ da: 1- (negatif geribildirimler toplamı şeklinde oluşturulabilir) 1-(-a3 s-1+ -a2s-2…..) gibi. Burada da örneğin –a3s-1 döngüsü başta veya sonda olabilir.

35 Serhat YILMAZ, Her durum (faz-evre) değişkeninden giriş veya çıkışlara doğru bir bilgi akışı varsa, bu tür modellere faz değişkeni modeli denir. Her durum (faz-evre) değişkeninden giriş veya çıkışlara doğru bir bilgi akışı varsa, bu tür modellere faz değişkeni modeli denir. Her bir durum denklemi şu şekilde oluşturulur: denklemin bulunduğu düğüm (örneğin dx4/dt=…) değişkenlere ve girişlere hangi katsayılarla bağlıysa bu ilişki ister doğrudan yazılarak ister matrisel formda yazılarak kurulur. Burada dx4/dt, x1’e –a0 katsayısıyla, x2’ye –a1 katsayısıyla….., u(t) girişine 1 katsayısıyla ….vs. bağlıdır. Benzer şekilde diğer durum denklemleri de hangi değişkenlerden etkileniyor,örneğin dx1/dt ye nereden geliş var (sadece x2’den) ona bakıyoruz. Her bir durum denklemi şu şekilde oluşturulur: denklemin bulunduğu düğüm (örneğin dx4/dt=…) değişkenlere ve girişlere hangi katsayılarla bağlıysa bu ilişki ister doğrudan yazılarak ister matrisel formda yazılarak kurulur. Burada dx4/dt, x1’e –a0 katsayısıyla, x2’ye –a1 katsayısıyla….., u(t) girişine 1 katsayısıyla ….vs. bağlıdır. Benzer şekilde diğer durum denklemleri de hangi değişkenlerden etkileniyor,örneğin dx1/dt ye nereden geliş var (sadece x2’den) ona bakıyoruz.

36 Serhat YILMAZ, Çıkış ise x1’e b0 ile bağlıdır (Çıkış x1’in o anki değerinin b0 katıdır) Çıkış ise x1’e b0 ile bağlıdır (Çıkış x1’in o anki değerinin b0 katıdır) Giriş İleri Bildirimli Kanonik Biçim: Girişten ve çıkıştan durum değişkenlerine bilgi akışı vardır. Giriş İleri Bildirimli Kanonik Biçim: Girişten ve çıkıştan durum değişkenlerine bilgi akışı vardır. Örnek.2: Dördüncü dereceden bir transfer fonksiyonu modelini durum uzayı modeline dönüştürelim. Örnek.2: Dördüncü dereceden bir transfer fonksiyonu modelini durum uzayı modeline dönüştürelim.

37 Serhat YILMAZ, Denklemin pay ve paydasını en yüksek terime bölerek düzenliyoruz. Denklemin pay ve paydasını en yüksek terime bölerek düzenliyoruz. İşaret akış şemasını elde ediyoruz. İşaret akış şemasını elde ediyoruz. Buradan da durum ve çıkış denklemlerini elde ediyoruz. Buradan da durum ve çıkış denklemlerini elde ediyoruz.

38 Serhat YILMAZ, transfer fonksiyonu karşılığında tek çıkış olduğundan transfer fonksiyonu karşılığında tek çıkış olduğundan Fiziksel değişkenleri temel alan gösteriş biçimleri Fiziksel değişkenleri temel alan gösteriş biçimleri Durum uzayı denklemlerine sistemin doğrudan fiziksel yapısından yararlanıp ta geçilebilir Durum uzayı denklemlerine sistemin doğrudan fiziksel yapısından yararlanıp ta geçilebilir

39 Serhat YILMAZ, DC Motora ait blok şema; DC Motora ait blok şema; Transfer fonksiyonlarını Mason kazanç formülü formatında düzenlersek; Transfer fonksiyonlarını Mason kazanç formülü formatında düzenlersek;

40 Serhat YILMAZ, Köşegen Kanonik Şekli (Ayrık Yanıt Kipi Modeli) Burada x1 değişkenimiz dx1/dt denkleminin bir integral arkasındaki y(t) hız değişkeni, x2 ; dx2/dt durum denkleminin bir integral ardındaki i(t) alan akımımızdır. X3; dx3/dt denkleminin bir integral ardındaki değişkenidir. Büyüklüğünü ölçebildiğimiz fiziksel değişkenleri durum değişkeni olarak almanın da bir yöntem olduğu burada görülmektedir. Burada x1 değişkenimiz dx1/dt denkleminin bir integral arkasındaki y(t) hız değişkeni, x2 ; dx2/dt durum denkleminin bir integral ardındaki i(t) alan akımımızdır. X3; dx3/dt denkleminin bir integral ardındaki değişkenidir. Büyüklüğünü ölçebildiğimiz fiziksel değişkenleri durum değişkeni olarak almanın da bir yöntem olduğu burada görülmektedir. Aynı transfer fonksiyonunu kısmi kesirlere ayırıp, her bir kutbun çıkış yanıtına ne kadar etki ettiğini ayrı ayrı gözlemleyebileceğimiz biçimde durum denklemlerine dönüştürebiliriz. Aynı transfer fonksiyonunu kısmi kesirlere ayırıp, her bir kutbun çıkış yanıtına ne kadar etki ettiğini ayrı ayrı gözlemleyebileceğimiz biçimde durum denklemlerine dönüştürebiliriz.

41 Serhat YILMAZ, Bunun için bulacağımız rezidüler hesaplanırken transfer fonksiyonu toplamlar şeklinde yazılacağından bunun işaret akış şemasındaki karşılığı paralel kollar olacaktır Bunun için bulacağımız rezidüler hesaplanırken transfer fonksiyonu toplamlar şeklinde yazılacağından bunun işaret akış şemasındaki karşılığı paralel kollar olacaktır Daha sonra paralel kollar birleştirilerek tüm sistemin durum uzayı modeli bulunur =>

42 Serhat YILMAZ, Köşegen Kanonik Modeli; Bu modele köşegen kanonik formu adı da verilmektedir. ss komutu, A, B, C, D katsayıları verilen bir sistemin durum uzayı modelini oluşturur Durum Değişkeni Modellerinin MATLAB ile İncelenmesi

43 Serhat YILMAZ, Sonuçlar; Sonuçlar; Benzer şekilde, tıpkı tf2ss (transfer funciton to state space, transfer fonksiyonu modelinden durum uzayı modeline) komutunun yaptığı gibi, verilen bir transfer fonksiyonunu durum uzayı modeline dönüştürür. Benzer şekilde, tıpkı tf2ss (transfer funciton to state space, transfer fonksiyonu modelinden durum uzayı modeline) komutunun yaptığı gibi, verilen bir transfer fonksiyonunu durum uzayı modeline dönüştürür. a = x1 x2 x3 x x x b = u1 x1 2 x2 0 x3 0 c = x1 x2 x3 y d = u1 y1 0 Continuous-time model.

44 Serhat YILMAZ, RLC devresinde MATLAB’ı kullanarak transfer fonksiyonundan durum uzay modeline geçelim. RLC devresinde MATLAB’ı kullanarak transfer fonksiyonundan durum uzay modeline geçelim. program kodları ve sonuçlar aşağıdaki program kodları ve sonuçlar aşağıdaki gibi olacaktır. gibi olacaktır. Aynı denklem olması nedeniyle sonuçlar aynıdır. Aynı denklem olması nedeniyle sonuçlar aynıdır. a = x1 x2 x3 x x x b = u1 x1 2 x2 0 x3 0 c = x1 x2 x3 y d = u1 y1 0 Continuous-time model.

45 Serhat YILMAZ, ss2tf komutu: benzer şekilde Durum Uzayı ifadesini Transfer fonksiyonuna dönüştürmek için oluşturduğumuz program ve çıktısı; ss2tf komutu: benzer şekilde Durum Uzayı ifadesini Transfer fonksiyonuna dönüştürmek için oluşturduğumuz program ve çıktısı; pay = payda = Transfer function: 2 s^2 + 8 s s^3 + 8 s^ s + 6

46 Serhat YILMAZ, Aşağıdaki kod satırları da aynı sonucu bulmak için kullanılabilir Aşağıdaki kod satırları da aynı sonucu bulmak için kullanılabilir Örnek. Aşağıdaki gibi bir sistem düşünelim Örnek. Aşağıdaki gibi bir sistem düşünelim a) tf fonksiyonunu kullanarak sistemin Y(s)/U(s) transfer fonksiyonunu bulunuz. a) tf fonksiyonunu kullanarak sistemin Y(s)/U(s) transfer fonksiyonunu bulunuz.

47 Serhat YILMAZ, b) Sistemin x(0) = başlangıç koşullarına yanıtını sn aralığı boyunca çizdirin. aralığı boyunca çizdirin. c) Matlab’taki üstel (exp) komutunun vektör ya da matris şeklindeki üstel ifadeleri tanımlamak için tanımlanan şekli şeklindeki üstel ifadeleri tanımlamak için tanımlanan şekli olan “expm” fonksiyonunu kullanarak, sistemin durum geçiş olan “expm” fonksiyonunu kullanarak, sistemin durum geçiş matrisini hesaplayın. matrisini hesaplayın. d) b’de verilen başlangıç koşullarını kullanarak x(t)’nin t=10sn. deki değerinibelirleyin. b’de elde ettiğiniz sistem yanıtının bu deki değerinibelirleyin. b’de elde ettiğiniz sistem yanıtının bu noktadaki sonucuyla karşılaştırın. noktadaki sonucuyla karşılaştırın.

48 Serhat YILMAZ,

49 Serhat YILMAZ, Programın sonuçları; Programın sonuçları;

50 Serhat YILMAZ, Transfer function: Transfer function: s^3 + 5 s^2 + 2 s + 3 s^3 + 5 s^2 + 2 s + 3 Phi = Phi = ans = (x_d (10. saniye) ) ans = (x_d (10. saniye) )


"Serhat YILMAZ, 2008 1 4. DURUM DEĞİŞKENi MODELLERİ Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları