Eukleides Dışı Geometriler

... konulu sunumlar: "Eukleides Dışı Geometriler"— Sunum transkripti:

1 Eukleides Dışı Geometriler
Onur Satıcı

2 Eukliedes geometrisi doğru, çember, paralel doğrular, açılar, benzer üçgenler, düzgün çokgenler, düzlemler, …vs gibi konuları inceleyen geometridir. Bu isimle anılmasının nedeni yaklaşık olarak M.Ö. 300 yıllarında bu geometrinin temellerinin İskenderiyeli Eukliedes(Öklid) tarafından sistematik olarak 13 kitap halinde işlenmiş olmasındandır.

3 Bu geometri üç temel kavrama dayandırılmıştır: tanımlar, aksiyomlar ve postülatlar.
Tanımlar, alışılan anlamda, yani kendine özgü bir takım özellikleri olan geometrik nesneleri belirlemek ya da diğerlerinden ayırmak için onlara kısaca ad vermekten ibarettir. Bununla birlikte Öklid’in orijinal tanımlarında oldukça çok eksiklikler ve belirsizlikler vardır. Örneğin doğruyu tanımlayan “çizgi genişliği olmayan bir uzunluktur.” ve “doğru bir noktada kendisinin aynı kalan bir çizgidir.” şeklinde tanımlamalar kullanılmıştır.

4 Aksiyomlar, doğruluğundan şüphelenmeksizin ispatsız olarak kabul edilen temel önermelerdir.
Postülatlar da aksiyomlar gibi ispatsız kabul olunan ama doğruluklarına o zamanki anlayışa göre aksiyomlar kadar kesin gözle bakılmayan temel önermelerdir. Günümüzde bu çeşit temel önermeler arasında ayrım yapılmamaktadır.

5 Öklid geometrisinin aksiyomları şunlardır:
1- Aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittirler. 2- Eğer eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, elde edilenler de eşit olur. 3- Eğer eşit miktarlardan eşit miktarlar çıkartılırsa, eşitlik bozulmaz. 4- Birbirine çakışan şeyler birbirine eşittir. 5- Bütün, parçadan büyüktür.

6 Öklid geometrisinin postülatları ise şunlardır.
1- İki yol arasını birleştiren en kısa yol, doğrudur 2- Doğru olarak sonsuza kadar uzatılabilir. 3- Bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri çemberdir. 4- Bütün dik açılar birbirine eşittir. 5- İki doğru bir üçüncü doğru tarafından kesilirse, içte meydana gelen açıların toplamının 180 dereceden küçük olduğu tarafta bu iki doğru kesişir. 6- Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. 7- Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir.

7 Eukleides aksiyomlarının kesinliği, XIX. yy
Eukleides aksiyomlarının kesinliği, XIX. yy .dan itibaren tartışılmağa başladı. Alman matematikçisi Riemann ve Rus matematikçisi Lobaçevski, Eukleides aksiyomlarının tam karşıtı olan aksiyomlardan işe başladılar. Böylece ilk bakışta hiç bir pratik yararı yokmuş gibi görünen değişik geometriler (Eukleides dışı geometriler) doğdu. Ve bu yeni geometriler o zamandan beri birçok alanda (nükleer fizik, astronotik v.b.) işe yaradı (Einstein bunlar sayesinde bağıllık kuramını kurabildi).

8 Lobaçevski ve Riemann Eukliedes’in 7
Lobaçevski ve Riemann Eukliedes’in 7. aksiyomunu değiştiren uzaylar tanımladılar. Riemann’ın pozitif bükülmüş uzayında paralel doğrular çizilemezken, Lobaçevski’nin uzayında sonsuz sayıda paralel doğru çizilebiliyor.

9

10 Üçten fazla boyutlu bir uzayın üç boyutlu manifoldu (solda)

11

12 Riemann Geometri ve matematiksel çözümleme alanlarındaki önemli buluşları 20. yüzyıl matematiğini derinden etkilemiş, ortaya koyduğu n boyutlu eğri uzay geometrisi modern kuramsal fiziğin gelişmesinde önemli rol oynamış, görelilik kuramının kavram ve yöntemlerinin temellerini oluşturmuştur. “Grundlagen für eine allegemeine Theorie der Functionen einer veranderlichen complexen Grösse”(Karmaşık Değişkenli Fonksiyonların Genel Kuramının Temelleri) adlı bir tez, karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisini alt üst etti; kendi adıyla anılan ünlü yüzeylerden yararlanarak, bu teori çerçevesinde, bir biçimli olmayan fonksiyonları kolaylıkla incelemeyi başardı.

13 Yalnızca cebirsel hesaba dayanmak yerine geometrik kavramları temel alan ve karmaşık değişkenli çok değerli bir fonksiyonun bir değerli olarak ele alınmasına olanak sağlayan çok katmanlı yüzeyi de buldu. (bu yüzey sonradan “Riemann Yüzeyi” olarak adlandırılmıştır.) “Riemann Yüzeyi” kavramı, topoloji alanında yeni yöntemlerin yetiştirilmesine katkıda bulundu. Riemann 1853’te fonksiyonların trigonometrik serilerle gösterilişine ilişkin doçentlik tezini çalıştığı üniversiteye sundu.

14

15 Tezin kabul edilmesinin ardından vermesi gereken deneme dersi için önerdiği üç konu arasından, Gauss kendisinin de üzerinde yoğun çalışmalar yapmış olduğu “Geometrinin Temellerini Oluşturan Varsayımlar” konusunu seçti. Riemann Eukleidesçi Geometrinin yetersizliklerinin belirliyordu ve bugün “Riemann Geometrisi” olarak bilinen n boyutlu eğri uzayların diferansiyel geometrisini ortaya koyuyordu. Riemann’ın çok genel bir biçimde kurduğu bu geometri, özel durumlar olarak Eukleidesçi Geometriyle birlikte Nikolay Lobaçevski’nin 1829’da, Janos Bolyai’nin de 1832’de yayınlamış oldukları Hiperbolik Geometriyi ve “dar anlamda Riemann Geometrisi” olarak adlandırılacak olan eliptik geometriyi de içeriyordu.

16 Eliptik geometri, bir doğruya dışındaki bir noktadan hiçbir paralel çizilemeyeceği postulatına dayanır. Aynı çalışmada ileri sürdüğü, fiziğin temellerinin de geometriye dayandırılabileceği görüşü altmış yıl sonra Einstein’in ortaya koyduğu genel görelilik kuramıyla (İzafiyet Teorisi) doğrulanacaktı. Bu kuramla, kütle çekimi, dört boyutlu bir eğri uzay zaman geometrisine indirgeniyordu.

17

18 1857’de yayımladığı Abel Fonksiyonlarına ilişkin dört makalesiyle fonksiyonlar kuramına önemli katkıda bulunan Riemman 1859’da Berlin Akademisine sunduğu “Über die Anzahle der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” (Verili bir sayıdan Küçük Asal Sayıların Sayısına İlişkin İnceleme) başlıklı ünlü makalesinde de sayılar kuramı alanında önemini günümüzde de koruyan görüşler ileri sürdü. Günümüzde Riemman Zeta Fonksiyonu olarak adlandırılan fonksiyon da bu makalede ele alınıp ayrıntılı olarak inceleniyordu.

19 Riemman Geometrisi, Riemman Yüzeyleri cebirsel fonksiyonlara ilişkin Riemman-Roch Teoremi, Riemman gönderim teoremi, Riemman integrali, trigonometrik serilerle ilgili Riemman Yöntemi, Abel Fonksiyonları konusundaki Riemman matrisleri, hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan Riemman Yöntemi, Riemman-Lebesgue Teoremi, Riemman eğriliği, Riemman-Liouville integralleri ve günümüzde hala kanıtlanamamış olan Riemman varsayımı gibi kendi adıyla anılan kavram, yöntem ve teoremlerin sayısı, çalışmalarını anlatmaya yeterlidir.

20

21 Riemann Zeta Fonksiyonu
Sayılar kuramında, asal sayıların özelliklerinin incelenmesinde yararlanılan fonksiyondur. Simgesi (x)olan zeta fonksiyonu, başlangıçta (x)=1+(1/2) +(1/3) +(1/4) biçimindeki sonsuz seri olarak tanımlanmıştı. Bu seri, x=1 için harmonik fonksiyon olarak adlandırılır ve ıraksaktır; x>1 için belirli bir sonlu değere yakınsar, x<1 için yine ıraksak olur. Bu fonksiyon ilk kez Leonhard Euler tarafından incelenmişti. Adını fonksiyonun özelliklerini 1859’da ayrıntılı biçimde ortaya koyan Alman matematikçi Bernhard Riemman’dan alır.

22

23 Riemman bu fonksiyonu tanım bölgesi x değişkeninin karmaşık değerlerini de içerecek biçimde genelleştirmiştir. Bu fonksiyon, x’in 1’den büyük gerçek değerleri için yukarıda verilen seriye eşittir; gerçek kısmı 1’den faklı olan karmaşık x değerleri için de sonlu değerler alır.

24 Gerçek x değerleri için, x=-2, -4, -6,
Gerçek x değerleri için, x=-2, -4, , olduğunda fonksiyon sıfıra eşit olmaktadır; gerçek kısmı sıfır ile 1arasında olan karmaşık x değerleri için fonksiyonun sonsuz sayıda sıfırı olduğu da bilinmektedir, ama bu sıfırların x’in hangi değerlerine karşılık geldiği bilinmemektedir. Riemman bu sıfırların, gerçek kısmı 1/2’ye eşit olan bütün karmaşık x değerlerinde ortaya çıktığı varsayımını yapmıştır. Matematik tarihinde önemli bir yeri olan ve Riemman varsayımı olarak adlandırılan bu varsayım henüz kanıtlanamamıştır.

25

26 Riemman Geometrisi(Eliptik Geometri)
Eukleides’in 7. postulatını tümüyle reddeden ve ikinci postulatı üzerinde değişiklikler yapan, Eukleides’çi olmayan geometridir. Eukleides’in 7. postulatı, bir doğruya, dışındaki bir noktadan geçen ancak tek bir paralel doğru çizilebileceğini ifade eder. Buna karşılık eliptik geometride, verili doğruya paralel olan hiçbir doğru yoktur. Eukleides’in ikinci postulatı, sonlu uzunluktaki bir düzgün doğrunun sürekli olarak istenildiği kadar uzatılabileceği biçimindedir. Bu durum eliptik geometri için de geçerlidir ama burada bütün düzgün doğrular eşit uzunluktadır. Eukleides’in öteki üç postulatı ise, eliptik geometrinin ilkelerine uygun düşer.

27

28 Eukleides geometrisinde bir üçgenin iç açılarının toplamı iki dik açıya eşittir, eliptik geometride ise iç açıların toplamı iki dik açıdan daha büyüktür. Eukleides geometrisinde, alanları farklı çokgenler birbirinin benzeri olabilir; eliptik geometride ise alanları farklı benzer çokgenler yoktur.

29

30 Doğru parçasının konumunu değiştirerek yönünü değiştirmek.

31 Topoloji Topoloji, matematiğin bir dalı olarak XIX. yüzyılın sonlarında ünlü Fransız matematikçi Henri Poincaré'nin çalışmaları ile sistematik oluşumuna başlamaıştır. Aslında, topoloji alanındaki araştırmaların başlangıcı G. Riemann'ın XIX. yy. ortalarına rastlayan fonksiyonlar teorisi ile ilgili çalışmaları olarak alınabilir. Fakat ilk topolojik kavramları ortaya atıp üzerine derin bir teoriyi kuran Poincaré'dir. Ba Poincaré’nin topoploji (o zamanlar analysis situs deniyordu) tanımı: “Analysis situs, geometrik şekillerin, sadece alışılmış uzayda değil, üçten fazla boyutlu uzaylarda da niteliklerini öğrenmemizi sağlayan bir bilimdir. Üç boyutlu uzayda analysis situs, bizim için neredeyse sezgisel bir bilgidir. Üçten fazla boyutlu uzaylarda ise, analysis situs karşmıza çok büyük zorluklar çıkarır, üstesinden gelmeye çalışmak için ise, bireyin bu bilimin büyük önemine inanmış olması gerekir. Eğer bu önem herkes tarafından anlaşılmamış ise, demek ki herkes yeterince üzerine düşünmemiştir.”

32 Moebius Dönüşümü Denklem grafiklerinin düzlemlerinin veya konumlarının değiştirilmesidir. 3 boyutlu bir uzayı 2 boyutlu hale de getirebilir, 3’e 4’luk bir dikdörtgeni 2 birim de kaydırabilir.

33 Üç boyutlu moebius değişiminin sonucu ve uygulanan formül

34 Küresel düzlemde i*2pi formülünün uygulanarak düzleme aktarılması.

35 Moebius dönüşümü Topolojik bir yöntemdir ve bu örnekte Riemann küresinin düzleme aktarılma sistemi gösterilmektedir.

36

37 Nikolai Lobachevsky Nizhny Novgorod, Rusya doğumlu matematikçi
Eukleides’in 7. postulatına uymayan bir uzay tanımlamıştır. Hyperboloid olan bu uzayda bir doğruya sonsuz sayıda paralel doğru çizilebilir.

38

39 Lobacevski geometrisinde üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür.

40 Hyperboloid, negatif eğimli bir uzaydır.
Üçgenlerin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür. Bu uzayda, çemberlerin çevrelerinin çaplarına oranı pi sayısından büyüktür.

41 Negatif bükülme Öklid uzayı Riemann küresi

42

43 Birden çok odak noktalı hiperboloid ve tek odak noktalı pozitif bükümlü uzay.

44 Lobacevsky uzayı hollandalı ressam Escher tarafından resmedilmiştir.

45 Moebius Şeridi . Geometrik olarak, uzunca bir şeridin bir ucunu 180 derece büküp diğer ucu ile birleştirirsek elde edilen şeride Möbius şeridi denir

46 Moebius şeridinin temel çokgeni
Şekilde de görülebileceği gibi AD üzeindeki L(0,x) ve BC üzerindeki L'(1,1-x) noktaları yapıştırma sonucunda aynı noktalar olacaktır

47 P noktasından bir böcek yola çıksın
P noktasından bir böcek yola çıksın. BC sınırına gelen böcek, BC AB ile yapıştırıldığından karşılık gelen yerden duraksamadan, hiçbir değişiklik hissetmeden yoluna devam eder. Böceğin BC'yi geçince simetrisini görürüz. Möbius'un, bu şeridin yönlendirilemez olduğunu demesi bundan ibarettir, böcek AD be BC'nin orta noktalarını birleştiren doğru üzerinde gezseydi, başlangıç konumuna tekrar vardığında sınırları aşmamasına rağmen, önceden sırtı bize yönelmişken, bu sefer karnı bize yönelmiş olur.

48 Klein Şişesi Möbius şeridi gibi tek yüzlü olan Klein şişesi, kapalı bir yüzeydir. Bir silindirin sınır çemberlerini farklı yönlerde birleştirirsek elde edeceğimiz şekil bir Klein şişesidir.

49 Klein şişesinin temel çokgeni şekildeki gibidir.
AD üzerindeki (0,x) noktası BC üzerindeki aynı hizalı (1,x) noktasıyla, AB üzerindeki (x,0) noktası ise DC üzerindeki (1-x,1) noktası ile birleşir. Üç boyutlu Öklid uzayında bu şişeyi gösterebilmek için silindirin kendi kendisini kesmesi gerekmektedir.

50 Klein şişesi, Möbius şeridi içerir
Klein şişesi, Möbius şeridi içerir. Bu, Klein şişesini basit kapalı bir eğri ile keserek gösterilebilir.

51 Kesilip tekrar yerleştirildiğinde Klein şişesinin içerisinde iki tane moebius şeridi olduğu görülür.
İki moebüus şeridini yan yana yapıştırabilmek mümkün olsaydı öklid uzayında klein şişesi elde edebilirdik.

52 Henri Poincare 1912 yılında ölümüne dek Sorbonne Üniversitesi'nde profesörlük görevinde bulundu. Poincaré, her yıl çok değişik konularda çok parlak dersler vermiştir; bunlar arasında, potansiyel kuramı, ışık, elektrik, ısının iletilmesi, elektromagnetizma, hidrodinamik, gök mekaniği, termodinamik gibi matematiksel fizik konuları ile olasılık teorisi gibi matematik konuları bulunmaktadır.

53 Poincaré vermiş olduğu derslerin yanı sıra, yazmış olduğu çok sayıdaki yapıtla da etkili olmuştur. Türkçe'ye de çevrilen "Bilimin Değeri" ve "Bilim ve Varsayım" gibi bilim felsefesiyle ilgili kitapları bunlardan sadece birkaçıdır. Matematiğin temelleriyle ilgili olarak, matematiksel düşünmenin gerçek aracının matematiksel indüksiyon olduğunu düşünmüş ve bu yöntemin sezgisel olarak daha basit bir yönteme indirgenebileceğine ihtimal vermemiştir.

54 Poincaré Sanısı her noktası çevresinde yerel olarak üç boyutlu Öklit uzayına benzeyen topolojik uzaylara ilişkin bir önerme ifade etmektedir. Eğer bu uzayın içine atılmış her çember uzayın içinde kalarak bir noktaya büzülebiliyorsa (deliği yoksa), Poincaré sanısına göre bu uzay dört boyutlu Öklit uzayında yatan üç boyutlu bir küre olmalıdır. Toruslarda (simit gibi) bu büzülmeden bahsedilemez.

55 Kürede, çemberlerin bir noktaya büzülebilmesi.

56 Poincaré sanısına göre bir yüzey için, üzerindeki delik sayısı tanımlayıcı bir unsurdur ve böyle iki yüzey arasında sadece delik sayıları aynı olduğu müddetçe bire bir, düzgün bir topolojik karşılaştırmadan söz edilebilir. Bu "topolojik karşılaştırma" problemi, daha yüksek boyutlarda çok daha zordur. Henri Poincaré, muhtemelen 3-boyutlu manifoldlar üzerinde benzer bir çalışmayı yürüten ilk kişidir.

57 Bunun en basit örneği, her bir noktanın merkeze birim uzaklıkta olduğu, üç boyutlu birim küredir. Poincaré, bir dairede her bir kapalı çevrimin, daireyi terk etmeden, bir noktaya kadar büzülebileceğine dikkat çekip, aynı soruyu 3-boyut için tekrarlamıştır. Daha matematiksel bir şekilde; Poincaré sanısını "düzgün, 3 boyutlu bir manifold (manifold karmaşık cisimlerin  algılanmasında çok yardımcı olan soyut matematiksel bir kavramdır; bir cisme yeterince yakından baktığımızda gördüğümüz biçimidir, örneğin biz dünya küre olsa da onu iki boyutlu olarak algılarız veya çembere yakından baktığımızda bir doğruyu andıracaktır) , üzerindeki her bir kapalı eğrinin (örneğin paket lastiğinin) tek bir noktaya kadar büzülebilme özelliğine sahipse, 3 boyutlu manifold, 3 boyutlu küreye homeomorfik (koparmadan, kırmadan sadece büzerek, eğip bükerek birbirlerine dönüşebilir) midir?" sorusuyla ifade edebiliriz. Poincaré bu soruyu, büyük bir ileri görüşlülükle "bizi çok meşgul edecek" diye yorumlamıştır.

58

59 Poincaré sanısı şu ana kadar çözülen tek milenyum problemidir.
İspatlayan Grigori Parelman ise 1 milyon dolarlık ödülü ve matematiğin nobeli olarak kabul edilen Fields ödülünü reddetmiştir.

60 teşekkürler