KOORDİNAT HESAPLARI Küçük Nokta Hesabı Yan Nokta Hesabı

... konulu sunumlar: "KOORDİNAT HESAPLARI Küçük Nokta Hesabı Yan Nokta Hesabı"— Sunum transkripti:

1 KOORDİNAT HESAPLARI Küçük Nokta Hesabı Yan Nokta Hesabı
Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı) İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının Hesabı Kutupsal Alım Ölçülerinden Dik Koordinatların Hesabı Kutupsal Aplikasyon Elemanlarının Hesabı

2 KÜÇÜK NOKTA HESABI İki poligon noktasını birleştiren doğru üzerindeki noktalara küçük nokta denir. Poligon kenarı üzerinde bulunan küçük noktalar, genellikle ölçü doğrusu oluşturmak amacıyla tesis edilirler. Küçük noktaların koordinatlarının hesabı için, yalnızca bu noktalar arasındaki uzunlukların ölçülmesi yeterlidir. Bilinenler: Ölçülenler: İstenenler: A(Y,X) s (Y,X)=? B(Y,X) s (Y,X)=? . sb

3 KÜÇÜK NOKTA HESABI Y1 = a s1 X1 = b s1 Y2 = a s2 X2 = b s2
YB = a sb XB = b sb Y1 = YA + Y1 = YA + a s1 X1 = XA + X1 = XA + b s1 Y2 = Y1+ Y2 = Y1 + a s2 X2 = X1 + X2 = X1 + b s2 YB = Y2 + YB = Y2 + a sb XB = X2 + XB = X2 + b sb

4 KÜÇÜK NOKTA HESABI d = S - [s] Fd = [s] ölçülen s1, s2, sB kenarları; S / [s] oranı ile çarpılarak düzeltilmiş kenarlar bulunur ve küçük nokta hesabı, düzeltilen bu kenarlarla yapılır. Kontrol: YB - YA = [a s] XB - XA = [b s] s1 + s2 + sB = [s]

5 KÜÇÜK NOKTA HESABI ÖRNEK : Nokta Y X A 1151.46 m 928.29 m
İstenenler: 1, 2 ve 3 noktalarının koordinatları. d = S - [s] = = m = -1.7 cm Fd =  [s] =  = = m = 7.7 cm d < Fd ( 1.7 cm < 7.7 cm ) olduğu için kenarlara düzeltme getirilir.

6 KÜÇÜK NOKTA HESABI a = - 0.48492 b = + 0.87456 m = S / [s] = 0.99981 A
Nokta No Ölçülen Dik Ayakları Ölçülen Kenarlar s'n Düzeltilmiş Kenarlar sn=m * s'n Y = a * sn X = b * sn Y X A 0.00 m 928.29 13.55 -6.57 11.85 1 940.14 33.23 33.22 -16.11 29.05 2 46.78 969.19 19.02 - 9.22 16.64 3 65.80 985.83 25.84 25.83 -12.53 22.59 B 91.64 [s’]=91.64 [s]=91.62 [∆Y]= [∆X]=

7 YAN NOKTA HESABI İki poligon noktası arasında, fakat bu iki noktayı birleştiren doğru üzerinde bulunmayan noktalara yan nokta denilir. Yan nokta hesabı, özellikle prizmatik olarak ölçülen detay noktalarının koordinatlarının hesaplanmasında kullanılır. Bilinenler: Ölçülenler: İstenenler: A(Y,X) Dik ayakları P(Y,X)=? B(Y,X) Dik boyları

8 YAN NOKTA HESABI ADB ve PFC benzer üçgenleri yardımıyla YP -YC = b * h
XP -XC = a * h yazılır. YP = YA + a * s + b * h XP = XA + b * s - a * h Kontrol: [a * h] = [b * h] = 0 [a * sn] = YB –YA [b * sn] = XB -XA

9 YAN NOKTA HESABI Nokta Y X A 500.00 500.00 B 551.62 537.50 ÖRNEK:
d = S - [s] = = m = cm Fd =  S =  = = m = 6.8 cm d < Fd ( 3.7 < 6.8 )

10 YAN NOKTA HESABI a = + 0.80905 b = + 0.58775 m = S / [s] = 0.99942 A
Nokta No Ölçülen Uzunluklar Kenarlar s'n Düzeltilmiş Kenarlar sn=m * s'n h a * sn b * h b * sn -a * h Y=a *sn+b*h Y X=b*sn-a *h X Dik Ayakları Dik Boyları (h) A 0.00 m 500.00 12.47 12.46 -11.60 10.081 7.323 3.263 16.708 1 m -6.818 9.385 503.26 516.71 12.67 12.66 29.18 10.243 7.441 27.394 2 25.14 17.58 17.151 530.66 500.54 7.04 -3.23 5.696 4.138 3.798 6.751 3 32.18 14.35 -1.898 2.613 534.45 507.29 13.58 13.57 -23.92 10.979 7.976 -3.080 27.328 4 45.76 - 9.57 19.352 531.37 534.62 18.08 18.07 9.57 14.620 10.621 20.245 2.878 B 63.84 [s’]=63.84 [s]=63.80 5.625 -7.743 551.62 537.50 [a * sn]= [b * sn]= YB -YA= XB –XA=37.50 [b * h]= [-a * h]=

11 Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı)
Burada amaç, koordinatlarıyla bilinen noktaların, belirli bir doğruya göre dik ayak ve dik boylarının hesaplanmasıdır. Genellikle, koordinatlarıyla bilinen noktaların dik koordinat yöntemine göre aplikasyonunda kullanılır. Bilinenler : A, B ve P noktalarının koordinatları. İstenenler : s dik ayağı =? h dik boyu = ? s = AC = AF + FC s = Y sin  + X cos  h = EF – ED h = Y cos  - X sin 

12 Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı)
s = AC = AF + FC s = Y sin  + X cos  h = EF – ED h = Y cos  - X sin  s = a Y + b X h = b Y - a X

13 Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı)
ÖRNEK : Nokta Y X P m m P P1P2 ölçü doğrusuna göre 1,2,3 ve 4 noktalarının dik ayak ve dik boylarını hesaplayınız.

14 Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı)
Nokta sn = a Yn+b Xn hn = b Yn-a Xn No Y X Yn=Yn-Yn-1 X =Xn-Xn-1 sn = sn-1 + sn hn = hn-1 + hn P1 518.43 920.15 0.00 29.40 -7.59 20.40 22.49 1 547.83 912.56 -6.87 45.08 19.01 -41.45 2 540.96 957.64 39.41 -18.96 11.39 17.24 19.99 -8.15 3 552.35 974.88 58.40 -27.11 35.28 -26.78 14.78 41.75 4 587.63 948.10 73.18 14.64 4.71 20.61 15.25 -14.64 P2 592.34 968.71 [Y] = 73.91 [X] = 48.56 88.43 YP2-YP1= XP2-XP1=48.56

15 Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı)

16 KUTUPSAL ALIM ÖLÇÜLERİNDEN DİK KOORDİNATLARIN HESABI
Bilinenler : A, B, C noktalarının koordinatları. Ölçülenler : AB, AC, s1, s2, s3, ...,sn uzunlukları. rB, rC, r1, r2, r3, ...., rn doğrultuları. İstenenler : 1, 2, 3, ..., n noktalarının dik koordinatları.

17 KUTUPSAL ALIM ÖLÇÜLERİNDEN DİK KOORDİNATLARIN HESABI
(AC) = (AB) + rC - rB = (AB) -rB + rC (AB) - rB =  (0, aletin sıfır doğrultusunun açıklık açısı olmaktadır.) (AC) = 0 + rC (AC) açıklığının koordinatlardan hesaplanan değeri ile karşılaştırılır. Bu iki değer arasındaki fark kabul edilebilir bir değer ise, yani ölçümlerde bir hata olmadığı anlaşıldıktan sonra, A noktasından 1, 2, 3, ..., n noktalarına olan açıklık açıları,

18 KUTUPSAL ALIM ÖLÇÜLERİNDEN DİK KOORDİNATLARIN HESABI
1 = (A1)= (AB)+r1-rB = (AB) - rB + r1 = 0 + r1 2 = (A2)= (AB)+r2-rB = (AB) - rB + r2 = 0 + r2 . n =(An) = (AB)+rn-rB = (AB)- rB + rn = 0 + rn hesaplandıktan sonra, birinci temel ödevden 1, 2, 3, ..., n noktalarının koordinatları, Y1 = YA + s1 * sin1 X1 = XA + s1 * cos1 Y2 = YA + s2 * sin2 X2 = XA + s2 * cos2 . . Yn = YA + sn * sinn Xn = XA + sn * cosn hesaplanır.

19 KUTUPSAL ALIM ÖLÇÜLERİNDEN DİK KOORDİNATLARIN HESABI
ÖRNEK: P1 noktasında durularak, P2, P3 poligonlarına ve 1, 2, ...,9 detay noktalarına bakılarak doğrultu açıları ve uzunluklar ölçülmek suretiyle kutupsal alım yapılmıştır. Bakılan 1, 2,..., 9 detay noktalarının koordinatları bulunacaktır. Nokta Y X P m m P P

20 KUTUPSAL ALIM ÖLÇÜLERİNDEN DİK KOORDİNATLARIN HESABI
0 =367g.5442 Durulan Bakılan Yatay Y. Doğrultu Açıklık Açısı Nokta Uzunluk rn n = 0 + rn Y X Y X P1 P2 (985.64 ) 65.35 m 18g.3510 385g.8952 -14.96 63.75 985.64 P3 ( ) ( ) 83.18 55.95 61.56 1 41.16 -38.12 -15.54 961.88 984.46 2 47.39 -47.38 0.76 952.62 3 31.13 -26.29 16.66 973.71 4 28.64 2.1530 -13.12 25.46 986.88 5 48.73 6.1587 4.71 48.50 6 41.20 7.27 40.55 7 42.75 11.75 41.10 8 35.63 14.92 32.36 9 49.81 26.61 42.11 Not : Parantez içinde italik olarak yazılan değerler, ölçülerden hesaplanmış olup kontrol amacıyla gösterilmiştir. Bilinen koordinatlar ve bilinen koordinatlardan hesaplanmış değerler, kırmızı olarak yazılmıştır.

21 KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI
Bilinenler : A, B, C, 1, 2, 3,..., n noktalarının koordinatları İstenenler : s1, s2, ..., sn uzunlukları 1, 2, ..., n doğrultuları

22 KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI
(AB), (AC), 1, 2, ..., n açıklık açıları ile AB, AC, s1, s2, ..., sn uzunlukları hesaplanır.

23 KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI
2 = 2 - 0 . n = n - 0 Alet A noktasına kurularak, B noktasına sıfırla bakılırsa, diğer noktalara i doğrultu açısıyla bakılarak bu doğrultu üzerinde si uzunluğu kadar işaretlenerek istenen noktaların yerleri belirlenmiş olur.

24 KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI
ÖRNEK : Koordinatlarıyla verilen 1, 2, ..., 9 noktalarının, bölgede bulunan P2, ve P3 poligonları yardımıyla P1 noktasından kutupsal olarak aplikasyonu yapılacaktır. Gerekli olan açıları ve uzunlukları hesaplayınız. Nokta Y X P1 m 4 986.88 P2 985.64 5 P3 6 1 961.88 984.46 7 2 952.62 8 3 973.71 9

25 KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI
İkinci temel ödevden üzerine alet kurulacak P1 noktasından diğer noktalara olan, açıklık açıları ve uzunluklar hesaplanır. P1P2 doğrultusu sıfır alınarak P1 noktasından, P3 noktası ile diğer 1, 2, ..., 9 noktalarına olan doğrultu açıları i ler hesaplanır. Hesaplanan açıklık açılarını, i doğrultu açılarını ve uzunlukları ve bir çizelge üzerinde gösterelim.

26 KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI
Durulan Nokta ( P1 ) Y= X= 0=(P1P2)= 385g.8952 DN BN Bakılan Nokta Koord. Y X Y=Yi-Y1 (m) X=X i-X1 Açıklıklar i = ( P1 i ) Doğrultular βi =i - 0 Kenar S P1 P2 985.64 -14.36 63.75 385g.8952 0g.0000 65.35 m P3 55.95 61.55 83.18 1 961.88 984.46 -38.12 -15.54 41.17 2 952.62 -47.38 0.76 47.39 3 973.71 -26.29 16.66 31.12 4 986.88 -13.12 25.46 28.64 5 4.71 48.50 6.1631 48.73 6 7.27 40.55 41.20 7 11.75 41.10 42.75 8 14.92 32.36 35.63 9 26.61 42.11 49.81

27 KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI
1, 2, ..., 9 noktalarının aplikasyonu için alet, P1 noktasına kurulur ve P2 noktasına yöneltilerek doğrultu açısı sıfıra ayarlanır. Alet döndürülerek P3 açısı kadar döndürülerek, bu doğrultu üzerinde P1P2 uzunluğu kadar işaretlenir. İşaretlenen bu noktanın bilinen P3 noktası ile aynı olması gerekir. Bilinen bu noktanın aplikasyonu işlem kontrolü için yapılmıştır. Eğer, bilinen P3 noktasının üzerine birkaç cm hata ile yaklaşılamıyorsa, işlem hatalıdır. Diğer noktalar işaretlenmeden önce, hatanın bulunması ve düzeltilmesi gerekir. Burada hata, hesaplamada olabileceği gibi, hesaplama doğru fakat alet kurulan nokta ya da başlangıç doğrultusunun sıfırlandığı nokta yerine başka bir nokta kullanılmış olabilir. P3 noktası üzerine birkaç cm ile yaklaşılmışsa, diğer noktaların işaretlenmesine devam edilir. 1, 2, ..., 9 noktalarının arazide işaretlenmesi için alet, hesaplanan i doğrultusuna yöneltilir ve bu doğrultu üzerinde si uzunluğu kadar alınarak noktalar işaretlenir.

28 KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI
i açıları hesaplanmadan doğrudan i açıklık açılarına göre de aplikasyon yapılabilir. Bunun için alet, P1 noktasına kurulur ve P2 noktasına yöneltilerek doğrultu açısı 0 ra ayarlanır. Diğer noktaların aplikasyonu için alet, hesaplanan i açıklık açısı kadar döndürülür ve bu doğrultu üzerinde si kadar işaretlenerek diğer noktaların aplikasyonu yapılır. Yine burada da P3 noktasına bakılarak kontrol işleminin öncelikle yapılması gerekir.

29 İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının Hesabı
Bir doğrunun genel denklemi: Y = m X + n m : doğrunun eğimi, n : doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. AB doğrusunun denklemi Y = m1 X + n1 (1) CD doğrusunun denklemi Y = m2 X + n2 (2) AB ve CD doğrularının kesim noktasının koordinatları, (1) ve (2) nolu eşitlikleri sağlayacağı için, Yk = m1 Xk + n1 = m2 Xk + n2 (3) yazılabilir.

30 İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının Hesabı
Yk = m1 Xk + n1 = m2 Xk + n (3) m1 Xk+n1 = m2 Xk+n2  Xk (m1-m2) = n2-n1  Xk = (n2-n1) / (m1-m2) (4) Xk bulunduktan sonra bu değer, (3) eşitliğinde yerine konularak Yk kontrollü olarak elde edilir. Uygulamada genellikle m ve n değerleri değil de, doğruların uç noktalarının koordinatları verilir. Böyle durumlarda, öncelikle m ve n sabitlerinin hesaplanması gerekir. n1 ve n2 değerleri ise, YA = m1 XA + n1 n1 = YA - m1 XA YC = m2 XC + n2 n2 = YC - m2 XC m1, m2, n1 ve n2 değerleri hesaplandıktan sonra, AB ve CD doğrularının kesim noktalarının koordinatları için, önce (4) eşitliğinden Xk sonra da (3) eşitliğinden Yk hesaplanır.

31 İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının Hesabı
ÖRNEK : Nokta Y X A B C D İstenen : AB ve CD doğrularının K kesim noktasının koordinatları YA = m1 XA + n1  n1 = YA - m1 XA = * = = YC = m2 XC + n2  n2 = YC - m2 XC = ( ) * = =

32 İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının Hesabı
YK = m1* XK+ n1 = * = = m Kontrol : YK = m2 *XK + n2 = * = = m XK = m YK = m