ŞANSA BAĞLI BLOKLAR (TESADÜF BLOKLARI) DENEME PLANI

... konulu sunumlar: "ŞANSA BAĞLI BLOKLAR (TESADÜF BLOKLARI) DENEME PLANI"— Sunum transkripti:

1 ŞANSA BAĞLI BLOKLAR (TESADÜF BLOKLARI) DENEME PLANI
İki populasyondan (k=2) örnekler alındığı zaman eğer eşleşmiş gözlemler arasında kovaryans yoksa, örnek ortalamaları grup karşılaştırmalarından yada T.S.B.D.P. ile analiz edilebilir. T.S.B.D.P.'da elde edilen F grup karşılaştırma testindeki t2' ye eşittir. k>2 olduğunda gözlemler bağımsız ise T.S.B.D.P. kullanmak daha uygundur. Eğer eşleşmiş gözlemler arasında kovaryans varsa örnek ortalamaları eş yapma tekniği veya tesadüf blokları deneme planı ile karşılaştırılabilir. Tesadüf blokları desenindeki F değeri, eş yapma tekniğindeki t2' ye eşittir. Tesadüf blokları deneme planının k>3 düzeyindeki örnek ortalamaları sayısına ve bağımsız olmayan ölçümlere uygulamak daha uygundur. Özellikle çevre koşulları değişkenliği ve etkinlik göz önüne alındığında Tesadüf Blokları Deneme Planı (T.B.D.P.)' nın önemi daha iyi anlaşılır. Grup karşılaştırma testleri ve T.S.B.D.P.özellikle hataların tesadüfi örneklenmesi nedeniyle her örnekteki ölçümlerin diğerinden bağımsız olduğunda ikinci tip hatadan kaçınacak şekilde geliştirilmiştir. Bu şekilde örnekler (gruplarla) varyasyonun ölçümü birleştirilmiş varyansdır. Grup karşılaştırmasındaki t ve T.S.B.D.P.'daki F'i aşağıdaki gibi karşılaştıralım. Grup Karşılaştırması T.S.B.D.P. Xort 1 – Xort ∑(Xort 1 - Xort 2)2/ (k-1) t = F= √[s2p[(1/n1)+1/n2)] s2p

2 Her iki formülde paydada toplanmış varyansı (s2p) içerir
Her iki formülde paydada toplanmış varyansı (s2p) içerir. Örnekler (gruplar) içinde varyasyonu arttıran eşleştirilmiş gözlemler arasında kovaryans gibi herhangi bir faktör, testin etkinliğini azaltır.Artan toplu varyans değeri t ve F değerini azalttığından, diğer faktörler aynı kalır. Özellikle tarım denemelerinde gruplar içindeki ölçümler bir diğerinden yalnız şans faktörü nedeniyle değil, her değişkeni farklı çevre koşulunda büyüyen bitkiden elde edilmiş ölçümü yansıtması nedeniyle fark gösterecektir. Uzun zaman diliminde elde edilen veriler artan değişkenliğe konu olurlar. Veri toplama yöntemleri yanı sıra çevre koşulları da zaman içerisinde değişir. Yılın belli bir sezonunda serada büyüyen bir bitki, yılın başka bir mevsiminde farklı büyüme şartlarına maruz kalabilir. Toplu varyansın büyük değerleri daha az ihtimalle araştırıcının populasyon ortalamalarının farklı olduğu sonucuna doğru biçimde ulaşmasını sağlar. Dolayısıyla gruplar içinde değişkenliği arttıran faktörlerin kontrol edilmesi gerekir. Böyle bir amaca deneysel ve istatistiksel olarak yaklaşılabilir. Gruplar içi değişkenliğin deneysel olarak kontrolü denemelerin çevre ve diğer dış (extraneous) faktörlerin olabildiğince sabit tutulması ile mümkündür. Tarla ve sera denemelerinde bu tip faktörler; toprak, sıcaklık, ışık, su, gübre, rutubet gibi faktörlerdir.

3 Büyük serbestlik derecelerinin denemenin etkinliğine etkisi daha önce açıklanmıştır. (n) büyük olduğunda (σ2) tahmini büyük serbestlik derecelerine dayanır. Ancak (n)' ler artan değeri (σ2)' yi tahmin konusunda ters etkiye sahiptir. Ancak çevre koşullarının mesela seranın nispeten küçük bölmelerinde kendi içinde homojen kılmak nispeten daha kolaydır. Bir çok vakadan (n) arttığı zaman (σ2) tahmini de artar. Aynı tarlanın farklı kısımları mevcut su, gübre içeriği gibi faktörler bakımından daha değişken olduğu bilinen bir gerçektir. Büyük tarlalar küçük tarlalara nazaran daha çok heterojenite gösterir. Aynı seradaki koşullarda değişken olabilir. Seranın bir kısmı diğer kısmına nazaran daha iyi ışık alabilir. Seranın çeşitli kısımlarında ısınma koşullarında farklı olabilir. Bu yüzden bazı büyük denemelerde deneysel olarak gruplarla değişkenliği kontrol etmek yani homojenliği sağlamak güçtür. Söz konusu değişkenliğin istatistiki olarak kontrol konusunda en basit metot T.B.D.P.'dır. Bu planın T.S.B.D.P.'na nazaran avantajı (σ2) tahmini değeri içinden extraneous faktörlerden ileri gelen kısmı ayırmayı sağlamasıdır. Uygun kullanıldığı zaman T.B.D.P. oldukça faydalı ve etkin bir testtir. T.B.D.P.'nın başarısı, araştırıcının (σ2)'nin tahmini değerini arttıran faktörlerin varlığını teşhis edebilmeye bağlıdır. Tarımdaki tarla denemelerinde bu konuda uygulanan yöntem tarlayı bir seri bloğa bölmektir. Blok sayısı (n) olarak tespit edilir. Öncelikle dikkate alınan nokta blok içinde toprak ve diğer faktörlerin homojen olmasıdır. Bu nedenle blok sayısını sınırlamak tavsiye edilir.

4 Bu maksatla daha ziyade kare şeklindeki bloklar oluşturmak yoluna gidilir. Her blok eşit sayıda belli büyüklük ve şekilde parsellere bölünür. Eğer dört muamele varsa her blokta dört parsel oluşturulur. her muamele bir blokta yer almış olmalıdır. Her bloktaki muamele sayısı (k) ile belirlenir. Her bloktaki muamelelerin parsellere dağıtımında şansa bağlılık esasına uyulur.Eğer (n) blok varsa muamelelerin (n) kere tekrarlandığı anlaşılır. Dolayısıyla toplam parsel sayısı (nk) olacaktır. Tarla denemelerinde toprak bitki besin elementleri düzeyi bir istikamette değişiyorsa tarlada blok, parsel ve muamelelerin dağıtımı aşağıdaki gibi olacaktır. Burada bitki besin elementi içeriği bakımından en verimli kısmı tarlanın kuzeyi ve en az verimli kısmı ise güney farz edilmiştir.

5 Bu durumda altı blok ve dört muamele söz konusudur.
1.Blok B C A D 2.Blok D C B A 3.Blok B A D C 4.Blok D A C B 5.Blok C B A D 6.Blok A D B C Blokları ve parselleri yukarıdaki gibi düzenlemekle her blok içinde toprak bitki besin elementi içeriğinin sabit (homojen) kalması arttırılmış olur. Toprak verimliliği ise bloktan bloğa değişmektedir. Tarlada bir blok diğerine bitişik yer alabildiği gibi,başka bir yerde olabilir. Hayvancılıkta yapılan besleme denemelerinde ise hayvanlar ağırlıklarına yada diğer bazı faktörlere göre blok yerine konur. Böylece varyabiliteyi arttıran yani homojenliği bozan faktörlerin etkisi giderilir. Laboratuvar çalışmalarında ise zaman etkeni genellikle önemlidir. Bu yüzden zamanın etkisi tüm muamele kombinasyonlarının belli bir zaman periyodunda uygulanması suretiyle zamanın homojenliğini bozan etkisi giderilir. Sonra bu işlem daha sonraki zaman periyotlarında tekrar tekrar denenir. Bu durumda her zaman periyodu blok (tekrar) fonksiyonunu kazanmış olur.

6 9.1 Tesadüf Blokları Deneme Planı İle İlgili Bir Örnek
Bir bitki fizyoloğu dört farklı çöl bitkisi alt türünün tuza dayanıklılık özelliğini araştırmak istemektedir. Bu amaçla yapılan bir denemede araştırıcı %0.3'lük tuz solusyonunda hangi alt türün daha iyi büyüdüğünü araştırmıştır. Bu maksatla tohumlar uygun kaplara konmuş ve belli bir zaman sonra bitki büyümesi fırında kuru ağırlık (g) olarak belirlenmiştir. Deneme ışık ve sıcaklık koşullarının üniform olmadığı bir senede yürütülmüştür. Serada sınırlı yer sebebiyle seranın muhtelif bölgelerinde bloklar (tekerrürler) oluşturulmuştur. Bu amaçla on blok teşkil edilmiş, her bloğa muameleler şansa bağlı olarak dağıtılmıştır. Bir blok içinde sıcaklık ve ışık şartları bakımından olabildiğince homojenlik sağlanmıştır. Veriler tablo 9.1'de sunulmuştur. Tesadüf blokları deneme planında herhangi bir sıra ve sütundaki (i.ci sütun ve j.sıra) gözlem (xij) ile bunun karesi (xij2) gösterilerek tablo 9.2'de sıra ve sütun toplamları teşkil edilmiştir. Genel ortalama (xort) ile i.ci kolon j.inci sıradaki ölçümün farkı teşkil edilebilir. Söz gelişi 2.blokta D alt türe ilişkin gözlem D'nin değeri 1.69'dur. Bu ölçümle genel ortalamanın farkı; xij - xort = = 'dir. Toplam sapma iki kısma ayrılabilir.Bu kısımlardan biri, blok ortalaması ile genel ortalamanın farkı,diğeri ise D muamele ortalaması ile genel ortalamanın farkıdır. Bu ilişki aşağıdaki gibi gösterilir. (xort j - xort)+(xort i - xort) Bu durumda; (xort j - xort) = ( ) = 0.106 (xort i - xort) = ( ) = 0.050 Toplam = = 0.156 GKT = MAKT BAKT HKT

7 Bu iki kısım toplamı 0. 156 olup, toplam 0
Bu iki kısım toplamı olup, toplam 0.221' lik sapmaya eşit değildir. Aradaki ( = 0.065)'lik fark cebirsel olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir. (xij- xort )-(xort i-xort)-(xort j - xort) = (xij- xort i- xort j+ xort) ' Bu ifade de değerlerini yerine koyarsak; ( ) = 0.065' halini alır. Sonuç olarak toplam sapma üç kısma ayrılabilir; (xij- xort ) = (xort i- xort)+(xort j- xort)+(xij- xort i- xort j+ xort) Her iki tarafın karesini alırsak aşağıdaki sonuç elde edilir. (xij-xort)2=(xort i-xort)2+(xort j-xort)2+(xij-xort i-xort j+xort)2+2(xort i- xort)(xort j- xort) + 2(xort i- xort)(xij- xort i- xort j+ xort)+2(xort j- xort)(xij- xort i- xort j+ xort) 1'den (n)'e kadar ve 1'den (k)'ya kadar toplam teşkil edilirse; ∑(xij- xort)2 = n∑(xort i - xort)2+k∑(xort j - xort)2+∑(xij- xort i- xort j+ xort)2

8 Sonucu elde edilir. Yukarıdaki GKT, MAKT, BAKT ve HKT değerlerini elde etmek için aşağıdaki formüller daha uygundur. Bloklar A B C D ∑xij* ∑xij2** Xort j *** 1 1.28 1.42 1.40 1.43 5.32 7.6314 1.382 2 1.62 1.56 1.69 6.30 9.9590 1.575 3 1.29 1.49 5.63 7.9455 1.408 4 1.68 1.59 6.32 1.580 5 1.26 1.46 1.47 5.59 7.8401 1.397 6 1.39 1.58 6.09 9.2957 1.522 7 1.31 1.55 5.80 8.4404 1.450 8 1.37 1.60 1.51 5.99 8.9971 1.498 9 1.38 1.54 1.44 5.94 8.8460 1.487 10 1.27 5.57 7.7765 1.392 13.41 15.29 14.86 15.19 ∑∑xij = 58.75* ∑∑xij2= ** ∑Xort i*** 1.341 1.529 1.486 1.519 Xort =1.460*** ∑ ∑

9 Genel Kareler Toplamı (GKT) = ∑xij- (∑xij)2/n
Muameleler Arası Kareler Toplamı (MAKT) = ∑[(∑xij)2/n]-[(∑xij)2/nk] Bloklar Arası Kareler Toplamı (BAKT) = ∑[(∑xij)2/k]-[(∑xij)2/nk] Hata Kareler Toplamı (HKT) = (GKT)-(MAKT)-(BAKT) Formüllerinde (∑xij)2/nk ifadesini yer aldığı dikkat çekmektedir. Bu ifade düzeltme faktörü (DF) veya düzeltme terimi (DT) olarak adlandırılır. DF = (∑xij)2/nk = (58.75)2/40 = DF hesaplandıktan sonra diğer terimlerin hesaplanması daha kolaylaşır. GKT = ∑xij2-DF = = MAKT = ∑[(∑xij)2/n]-DF=[[(13.41)2+(15.29)2+(14.86)2+(15.19)2]/10]-DF = BAKT = = HKT = = Her varyasyon kaynağının serbestlik derecesi (SD) aşağıdaki gibi bulunur. Genel SD = nk-1 Muamele SD = k-1 Bloklar SD = n-1 Hata SD = (k-1)(n-1) Bu değerlerle varyans analiz tablosu aşağıdaki şekli alır.

10 Genel Kareler Toplamının unsurlarıda şekildeki gibidir.
V. A. T. VK SD KT KO Genel 39 - Alt Türler 3 Bloklar 9 Hata 27 Genel Kareler Toplamının unsurlarıda şekildeki gibidir.

11 Model : xij = µ + αi + αj + αij αi = i blokunun etki payı
Örnek : Sulu arazide yetiştirilen korunganın dönümüne atılan tohum miktarlarına göre açıkta kurutulmuş kuru ot verimleri alınmış ve deneme sonuçları aşağıda verilmiştir. Varyans analizi yaparak muamele etkisinin önemli olup olmadığını belirleyelim. Ekimde kullanılan tohum miktarlarına göre kuru korunga otu verimleri (Kg / parsel). Blok Muamele 1 2 3 4 Xj 6 Kg/Dönüm 8 " 10 " 14 " 18 " Xi 7.5 8.6 6.2 7.7 7.3 37.3 8.8 6.7 36.9 8.5 7.0 38.0 9.2 10.1 9.7 11.0 47.0 31.9 35.0 30.1 34.7 27.5 159.2 Model : xij = µ + αi + αj + αij αi = i blokunun etki payı αj = j muamelesinin etki payı αij = Hata i = 1,2,3,4 ; n = 4 ; j = 1,2,...5 ; r = 5

12 Çözüm : DT = (159.2)2 / 20 = Bloklar AKT = (1/r) ∑xi2 - DT = = 13.95 Muameleler AKT = (1/n)∑ xj2 - DT = = 10.01 Genel KT = ∑xij2 - DT = = 37.05 Blok x Muamele İnteraksiyonu (Hata) KT = GKT - (BAKT+MuAKT) = ( ) = 7.09 V. A. T. VK SD KT KO Bloklar 3 13.95 4.65** Muameleler 4 10.01 2.50* Hata 12 7.09 0.59

13 Hipotezini kontrol için F = 2. 50 / 0. 59 = 4. 23 tür
Hipotezini kontrol için F = 2.50 / 0.59 = 4.23 tür. Bu değer cetvelde 0.05 sütunundaki değerden büyük 0.01 sütunundaki değerden küçüktür. Şu halde sıfır hipotezi % 95 ihtimalle reddedilir. Muameleler arasındaki fark istatistik olarak önemlidir. Bloklar arasındaki farka ait H0 : σb2 = 0 hipotezini kontrol için F = 4.65 / 0.59 = 7.88 dir. Bu değer cetvelde 0.01 sütunundaki değerden büyüktür. Şu halde sıfır hipotezi % 99 dan daha büyük bir ihtimalle reddedilir. Bloklar arasındaki fark istatistik olarak çok önemlidir.

14 9.2 Sabit Modelde Tesadüf Blokları Deneme Planının Dayandığı Varsayımlar
Tesadüf blokları deneme tertibinde yürütülen bir denemeden elde edilen (xij) gözlem (n) sıra ve (k) sütunundan oluşan bir tabloya yerleştirilebilir. İ. sütununda yer alan (n) ölçüm aynı alt türe, varyeteye veya muameleye tabi olan bireylerden elde edilmiştir. J. sırada yer alan (k) ölçümü ise aynı blokta yer alan bireylerden elde edilir. Tabloyu (n) sıra ve (k) sütuna bölmekle (nk) adet gözlem elde edilir. Her gözde bir ölçüm (xi) yer alır. Eğer bu deneme sonsuz defa tekrarlansaydı herhangi bir gözdeki ölçümün beklenen değeri nedir diye düşünelim. Yani j. sıranın i.gözündeki ölçümler o gözün ortalaması olarak adlandırılabilecek µij sembolü ile gösterilen bir ortalamaya göre varyasyon gösterecektir. Bu değerler σ2 varyansı ile karakterize edilen bir normal dağılış gösterecektir. Her gözde gösterilen bir ölçüm, o göze ilişkin ölçümler populasyonundan çekilmiş örnektir. Bu yüzden tesadüf blokları deneme planında örnek büyüklüğü 1'dir. Sütunlardaki gözlerin ortalaması (µi) ile sıralardaki gözlerin ortalaması (µj) ile genel ortalama ise (µ) ile gösterilir.

15 µ = ∑µj/n=∑µi/k=∑µij/nk
µi = ∑µij/n; µj = ∑µij/k; µ = ∑µj/n=∑µi/k=∑µij/nk Göz ortalaması (µij), Sıra ortalaması (µj), Sütun ortalaması (µi) ve Genel ortalama (µ) aşağıdaki tabloda gösterilebilir. k=2 ve n=3 için varsayıma dayalı değerler verilmiştir. A B µj 49 53 51 48 52 50 47 µi=48 µ=50 Göz ortalaması sıra, sütun ve genel ortalama ile eklemeli bir şekilde ilişkilidir. µij = µ+T+B' Burada; µ = Genel ortalama T = Muamele (sütun) etkisi B = Blok (sıra) etkisidir.

16 İlk sıra ve sütundaki gözlem ortalaması genel ortalamadan +1 birim, blok etkisi ve -2 birim muamele etkisi nedeniyle sapar. Bu yüzden; µij = µ+T+B = 50+(-2)+(+1)=49' değeri elde edilir. Çevre koşulları bloktan bloğa sabittir. ve blok etkisi (B) olacaktır. i.ci sütun ve j.ci sırada year alan ölçüm göz ortalamasında (µij) hata etkisi (e) nnedeniyle sapar. Bu tesadüf değişkeninin değeri aşağıdaki eşitlikte verilmiştir. xij = µ+T+B+e' Burada; T = (µi-µ) B = (µj-µ) e = (xij-µij) Genel ortalama, muamele etkisi ve blok etkisi sabittir. Böylece; ∑(µi-µ) =∑(µj-µ) = 0' olur ve (xij-µij) tesadüf değişkenleri ortak varyans σ2 ve sıfır ortalama değerlerine sahip normal dağılış gösterir. Yukarıdaki varsayımlar gerçek oyduğunda T.B.D.P.' daki KO değerlerine ilişkin beklenen değerler aşağıdaki gibi elde edilir. 1-Muamele Kareler Ortalamasının Beklenen değeri; E[∑(xort i - xort )/(k-1)]=σ2+n/(k-1)∑(µi-µ)2 2- Blok Kareler Ortalamasının Beklenen Değeri; E[k∑(xort j - xort)2/(n-1)] = σ2+k/(n-1)∑(µj-µ)2 3- Hata Kareler Ortalamasının Beklenen Değeri; E[∑(xort ij- xort i – xort j – xort )2/(n-1)(k-1)] = σ2

17 T.B.D.P.'de (sabit modelde) farksızlık hipotezi muamele (sütun) ortalamalarını eşit olduğunu öngörür. (µ1=µ2=µ3= =µn) Bu işlemi aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. H0 : ∑(µi-µ)2 = 0 F testi ise aşağıdaki gibi yürütülür. Yukarıdaki denemede %0.3' lük tuz solüsyonunda büyütülen farklı alt türlere ilişkin farksızlık hipotezi aşağıdaki F testi ile kontrol edilir. F = / = 62.7 Tablodan F [3, 27 ;0.01]= 4.6 bulunur. Bu durumda H0 red edilir.Populasyon ortalamalarının güven aralıkları aşağıdaki formüllerle elde edilir. µi = xi± t 0.05 √(s2/n)' burada s2 = HKO' sıdır. s = √(s2/n) = √( /10) = Hata SD = 27 t0.05 = 2.05

18 Tablo 9.3 Populasyon ortalamalarının %95 Güven sınırları
Alt tür Örnek Ortalamaları (Xort i) µi =Xort i ± 2.05(0.0110) A 1.341 L1=1.318, L2=1.364 B 1.529 L1=1.506, L2=1.552 C 1.486 L1=1.463, L2=1.509 D 1.519 L1=1.496, L2=1.542 Örnek ortalamaları ve %95'lik güven sınırları grafikte gösterilebilir. Düşey hatlar örnek ortalamasını, yatay hatlar da güven aralıklarını göstersin. Üst üste çakışan ve çakışmayan %95'lik güven sınırlarını kriter olarak kullanarak µA≠µB=µC=µD sonucuna varılabilir. Ancak %95'lik güven sınırları µB ve µC için çok az çakışmaktadır. Üst üste çakışmak örnek ortalamalarının 0.05 düzeyinde önemli oranda farklı olması halinde görülmektedir. Bu yüzden daha etkin bir test gerekir.

19 Ortalamalar aşağıdaki gibi karşılaştırılabilir. a- C A
Ş.B.T.B.'de elde edilen örnek ortalamaları ÇKT veya eğer başlangıçta böyle tasarlanmışsa ve MAKO önemli ise MAKT ve SD' de kısımları parçalamakla karşılaştırılabilir. Çoklu karşılaştırma testleri burada uygun düşmekte, parçalama ise deneme başında planlanmadığından uygun değildir. q tablolarını 0.05 için kullanarak ÇKT' için gerekli değerler s = ve 27 SD için aşağıdadır. k 2 3 4 q 2.89 3.49 3.85 q*Sxort 0.0318 0.0384 0.0424 Ortalamalar aşağıdaki gibi karşılaştırılabilir. a- C A = >0.0318;H0 red c- B D = < ;H0 kabul b- D C = > ;H0 red d- B C = >0.0382;H0 red Sonuçlar aşağıda gösterilmiştir; A C D B

20 9.3 Tesadüf Blokları ve Tamamiyle Şansa Bağlı Deneme Planının Etkinlik Bakımından Karşılaştırılması
Tesadüf blokları deneme planının amacı σ2 tahminindeki çevre ve diğer faktörlerin oluşturduğu değişkenliği çıkarmaktır. Bu işlem bloklar kullanılarak gerçekleştirilir. T.Ş.B.D.P. ve T.B.D.P.' daki matematik modelleri karşılaştırmak uygun olacaktır. Aradaki fark sadece T.B.D.P.'daki blok etkisinin (µj-µ) mevcudiyetidir. Tamamiyle şansa bağlı deneme planında xij = µ+T+e Tesadüf blokları deneme planında xij = µ+T+B+e T.B.D.P.'deki matematik model gerçek çevre etkileri ihtimalini ve bloklar kullanımı ile bu etkilerin F testinde kullanılan σ2' den çıkartılmasın göz önüne alır.T.Ş.B.D.P. ise çevre faktörlerinin kontrolü için istatistik bir amaç sağlamaz. Bu yüzden deneysel olarak giderilmeyen çevresel değişkenlik varsa eğer T.Ş.B.D.P. yürütülüyorsa i. populasyondan alınan örnekteki ölçümler diğerinden şans etkisi kadar çevre etkileri nedeniyle sapacaktır. Dolayısı ile T.B.D.P.'daki σ2 tahmini yani (HKO) çevre etkilerini de içermektedir. T.Ş.B.D.P.'da T.B.D.P.'daki SD' leri ve KT'larını karşılaştırmak yararlı olacaktır. T.B.D.P. tarzında planlanmış bir deneme blokları ihmal ederek veriler, sanki deneme T.Ş.B.D.P. yürütülmüş gibi analiz edilebilir.

21 Ancak teknik olarak bloklar kullanımı ile belirlendiği kadar tam şansa bağlılık mevcut değildir. Eğer böyle yapılırsa iki deneme planı için KT 'leri ve SD‘ leri tablo 9.4'de gösterilmiştir. Tablo 9.4 her iki analizde genel ve muameleler KT‘ ları eşit olacaktır. Bu yüzden T.S.B.D.'deki HKT değeri ve T.B.D.P.'deki HKT ve BAKT değerlerinin toplamına eşit olur. Aynı şey SD'ler için geçerlidir. Eğer çevre ve diğer faktörler bloktan bloğa değişmemişse ve sabitse [∑(µj-µ)2=0] hata ve bloklar KO'ları her ikiside yukarıda beklenen değerlerin gösterdiği gibi σ2'nin tahmincisi olacaktır. Hata ve blok KT‘ ları ve SD‘ leri birleştirerek daha çok SD‘ sine dayanan birleştirilmiş σ2 tahmini elde edilir. Bu tahmin T.S.B.D.'deki HKO değerine eşik olacaktır. Ancak ∑(µj-µ) sıfıra eşit olmayacak ve T.B.D.P.' deki HKO hatanın tahmincisi, fakat BAKO ise σ2+k/(n-1)∑(µj-µ)2'nın tahmincisi olacaktır dolayısı ile birleştirilmiş tahmin T.S.B.D.P.'nın HKO'sına eşit olacaktır. Buda sonuç eğer ∑(µj-µ)2 değeri sıfıra eşit değilse T.B.D.P.'nin HKO'sını T.S.B.D.'deki HKO‘ dan daha küçük olacağını gösterir.

22 Tablo 9.4 Tamamiyle Şansa Bağlı Deneme Planı:
V . A . T Kaynak SD Kareler Toplamı Toplam nk-1 ∑(Xort ij - Xort )2 Muameleler k-1 ∑(Xort i - Xort )2 Hata k(n-1) ∑[∑(xort ij – xort i )2] Tesadüf Blokları Deneme Planı ∑(xort ij - xort )2 ∑(xort i - xort )2 Bloklar n-1 (n-1)(k-1) ∑(xij – xort i-xort j-xort)2 Bu olgu değişik varyasyon kaynakları için KO'ları tahminlerini göz önüne alarak iki deneme planı içinde matematiksel olarak ifade edilebilir.

23 Tablo 9.5 Tamamiyle Şansa Bağlı Deneme Planı
V . A . T . VK SD KO Muameleler (k-1) σ12+n/(k-1)∑(µi-µ)2 Hata k(n-1) σ12 Tesadüf Blokları Deneme Planı k-1 σ22+n/(k-1)∑(µi-µ)2 Bloklar n-1 σ22+k/(n-1)∑(µj-µ)2 (k-1)(n-1) σ22

24 T. S. B. D. P. 'daki HKO değeri σ12'nin tahmincisi ve T. B. D. P
T.S.B.D.P.'daki HKO değeri σ12'nin tahmincisi ve T.B.D.P.'deki HKO ise σ22'nın tahmincisi olsun. Her varyasyon kaynağı için KT değerlerini SD'lerine bölerek KO değerleri elde edildiğinden dolayı KT değerleri KO ile SD'lerin çarpımından elde edilebilir. Her iki deneme planı için GKT'leri eşit olduğundan aşağıdaki ilişkiler geçerlidir. [(k-1)[σ12+n/(k-1)∑(µi-µ)2]+k(n-1)σ12] = T.S.B.D.P'için GKT T.B.D.P.için GKT ise aşağıdaki gibidir. [(k-1)[σ22+n/(k-1)∑(µi-µ)2]+(n-1)[σ22+k/(n-1)∑(µj-µ)2]+(n-1)(k-1)(σ22) Bu eşitlikte gerekli kısaltmaları yapar σ22' yi çekersek; σ22 =σ12-k/(nk-1)∑(µj-µ)2 Bu ise ∑(µj-µ)2 değeri sıfıra eşit olduğu zaman σ2 terimi σ12' ye eşittir ve her iki HKO değeri aynı değerin tahmincisidir. ∑(µj-µ)2 sıfıra eşit olmadığı zaman σ22 değeri σ12 daha küçüktür. Dolayısı ile T.B.D.P.'deki HKO değeri T.S.B.D.P.'deki HKO değerinden daha küçük tahmincisidir.F değeri T.S.B.D.P.'daki F den büyük olacaktır. F = MAKO/HKO

25 Bu nedenle iki deneme planının etkinliği büyük ölçürde iki HKO değerine bağımlıdır. Ancak aşağıda gösterileceği gibi etkinlik ayrıca tahmininde yer alan SD'sinede bağlıdır. T.B.D.P. yürütüldükten sonra blok kullanmak süretiyle etkinliğin artıp artmadığı yada azalıp azalmadığı merak edilebilir. Bu sonuca ulaşmak için uygulanan metodlardan biri; Blok yerine tam şansa bağlılık kullanılsaydı bazı (n) ve (k) değerleri için HKO değerinin ne olacağını tahmin etmektir. T.S.B.D.P. için tahmini HKO değeri (E1) İle gösterilsin. T.B.D.P. için HKO ise (E2) ile gösterilsin. Tahmini HKO değerine ilişkin formül yukarıdaki eşitlikten türetilebilir. σ22 =σ12-k/(nk-1)∑(µj-µ)2; σ12'yı çekersek σ12 =σ22+k/(nk-1)∑(µj-µ)2= σ22+k(n-1)/(nk-1)*∑(µj-µ)2/(n-1)

26 Eğer T.B.D.P.'deki blok ve hata için KO'ları Eb ve E2 ile gösterilirse σ22 nin tahmini değeri (E2); σ22+k/(n-1)∑(µj-µ)2'nin tahmini değeri ise Eb olacaktır. Bu durumda; [σ22+k/(n-1)∑(µj-µ)2-σ22]/k= ∑(µj-µ)2/n-1'ın tahmini değeri (Eb-E2)/k olacaktır. Bu tahminleri eşitlikte yerine koyarsak; σ12= σ22+[k(n-1)/(nk-1)][∑(µj-µ)2/(n-1)] ve E1=E2+[k(n-1)/(nk-1)](Eb-E2)/k E1=n(k-1)E2+Eb(n-1)/(nk-1)' değeri elde edilir. E1/E2 oranı etkinlik testi olarak kullanılabilir . Ancak bu amaçla SD için bir düzeltme eklenmelidir. ∑(µj-µ)2 = 0 olduğundan her iki HKO terimi aynı değerin tahmincisi olduğu için böyle bir düzeltme gerekir. Ancak T.B.D.P.'deki HKO daha küçük SD'lerinde elde edilmiştir. Blokların kullanımı σ22 tahmini için mevcut SD sayısını düşürür. ∑(µj-µ)2 = 0 olduğunda T.B.D.P.'nin T.S.B.D.P.'na nazaran daha az etkin olduğu anlaşılır. σ2 tahmini için daha az SD mevcut kalacağından hesaplanan F değerlerinin oranının F tablolarının daha yukarı (daha az duyarlı) kısmınıda kontrol etmek gerekecektir.

27 Bu nedenle nisbi etkinlik söz konusu olduğunda her iki deneme planındaki σ2 tahmini değerleri yanı sıra SD leride göz önüne alınmalıdır. R.A.Fisher SD'lerini dikkate alan nisbi etkinlik (NE) formülü geliştirilmiştir. (SD2+1)(SD1+3) E1 NE = * (SD1+1)(SD2+3) E2 Burada SD2 değeri T.B.D.P'deki σ2 tahminine ilişkin SD'sidir, SD1 ise eğer aynı (n, k) değerlerini de T.S.B.D.P'de yürütülseydi elde edilecek aynı σ2 tahminine ilişkin SD'dir. Bu formülü daha önce incelediğimiz T.B.D.P'deki örneğe tatbik ederek; E1=n(k-1)E2+Eb(n-1)/(nk-1)= [(10)(3)( )]+[( )(9)/39] = olacaktır. Buna göre; (27+1)(36+3) NE = * = ( )(5.0496) = 4.97 (36+1)(27+3)

28 Bu sonuç T. B. D. P'nin aynı koşullar altında T. S. B. D. P'dan 4
Bu sonuç T.B.D.P'nin aynı koşullar altında T.S.B.D.P'dan 4.97 kat daha etkin olduğunu gösterir. NE değeri birden büyük olduğu zaman σ2 tahmininde yapılan eksikliğin bu tahmine ve eşlik eden SD'deki azalmayı telafi edecek düzeyde olduğunu gösterir. Buda T.B.D.P kullanımının doğruluğunu ortaya koyar. Yukarıdaki formülleri aşağıdaki gibi basitleştirmek mümkündür. (b-1)(BAKO)+b(m-1)(HKO) NE = (bm-1)HKO Formüldeki terimlerin anlamları şu şekildedir; b = Blok sayısı m = Muamele sayısı BAKO = Bloklar arası kareler ortalaması HKO = Hata kareler ortalaması Bu formülü aynı örneğe uygularsak; [9(0.2245)+(10)(3)( )/[(39)( )] = 5.05' gibi yaklaşık eşit değer elde edilmektedir. Bu formül diğer eşitliğin (E1/E2) kısmını vermektedir.

29 Örnek : 4 muamelenin 5 bloktaki sonuçlarına ilişkin V. A
Örnek : 4 muamelenin 5 bloktaki sonuçlarına ilişkin V.A.T su aşağıda verilmiştir. Tesadüf blokları tarzındaki bu denemenin Tamamıyle şansa bağlı deneme planına nazaran etkinliğini hesaplayalım. Çözüm : (b-1)(BAKO)+b(m-1)(HKO) (5.1)(5.3)+5(4-1)(2.19) NE = = = 1.30 (bm-1)HKO (5*4-1)(2.19) 1.30 = % 130 yani aynı deney T.Ş.B.D.P. da yapılsaydı % 30 daha düşük etkinlik elde edilirdi. V.A.T. VK SD KT KO Genel 19 182.17 - Muameleler 3 134.45 44.82** Bloklar 4 21.46 5.36 Hata 12 26.26 2.19

30 İki Yönlü Sınıflama T.B.D.P' da hem sıra hem sütunlar seçilmiş yada sabit muamelelere tekabül edebilir. Bu tip problemlerde bloklar çevresel değişkenliği kontrolde kullanılmaz. Ancak blloklar belli bir farksızlık hipotezini test edecek şekilde düzenlenir. Bu tipteki T.B.D.P'leri çoğunllukla iki yönlü sınıflama ile varyans analizi olarak adlandırılır. İki yönlü sınıflamada üç matematik model söz konusu olabilir. Kolonlar ve sıralar sabit olduğunda 1.model (varyans analiz metodu) söz konusudur. Eğer sıralar ve kolonlar şansa bağlı ise şansa bağlı model, 2.model (varyans unsurlarının Modeli) söz konusudur. Eğer kolonlar sabit, sıralar şansa bağlı yada kolonlar şansa bağlı sıralar sabit ise karışık model, 3. modelden söz edilir. Her üç modele ilişkin beklenen değerler tablo 9.6' da verilmiştir. İki yönlü sınıflama ile varyans analizi ile ilgili aşağıdaki örnekler verilecektir.

31 Tek Gözlemli Modeller Bir araştırıcı iki ilacın sığırlarda kan basıncı üzerine etkisini araştırmak istiyor. Test için tesadüfi ollarak 20 inek seçilmiş ve her inek A,B ve hiç ilaç verildikten sonra üç defa kan basıncı bakımından ölçülmüştür. Tablo 9.6 Sabit Model Şansa Bağlı Model VK SD Kolonlar ve sıralar sabit Kolon ve sıralar şansa bağlı Kolonlar k-1 σ2+n/(k-1)∑(µi-µ)2 σ2+nσ2µi Sıralar n-1 σ2+k/(n-1)∑(µj-µ)2 σ2+n/kσ2µj Hata (k-1)(n-1) σ2 Karışık Model Kolon sabit sıra şansa bağlı, kolon şansa bağlı sıra sabit

32 Söz konusu üç muamele tesadüfi olarak ineklere uygulanmıştır
Söz konusu üç muamele tesadüfi olarak ineklere uygulanmıştır. Muameleler arasında kalıntı etkisi olmaması için ardışık muameleler arasında bir hafta geçirilmiştir. Araştırıcı verilen bir muamelenin etkisinin sonraki dönemleri etkilemediğini bilmektedir. Araştırıcı ilaçların etkisini belirterek işlemekte ve üç muamele arasında önemli etki farkı olup olmadığı ve inekler arasında ilaca reaksiyon bakımından fark olup olmadığını bilmek istemektedir. Eğer muameleler sabit, inekler şansa bağlı seçilmişse o zaman iki hipotez söz konusudur. 1- H0: µ1=µ2=µ3 2- İnekler arasında ilaca reaksiyon bakımından fark yoktur. σ2µj= 0 Eğer ilk (H0) hipotaezi red edilirse araştırıcı, ÇKT yada MAKT ve muameleler arası SD'yi parçalayarak iki ilaç arasanda fark olup olmadığını belirleyecektir. Bu amaçla ilaçların bir grup olarak kontrolden farklı olup olmadığı araştırılacaktır. Eğer ikinci (H0) red edilirse araştırıcı (σ2µj) nın değerini belirleyecektir. Burada varyasyon kaynakları, serbestlik dereceleri ve kareler ortalamasının değerleri tablo 9.7'de verilmiştir.

33 Tablo 9.7 V . A . T . VK SD Kareler ortalamasının beklenen değerleri Genel 59 - Muameleler 2 σ2+n/(k-1)∑(µi-µ)2 İnekler 19 σ2+kσ2µj Hata 38 σ2 İlk farksızlık hipotezi MAKO'sının HKO'ya göre bölünmesiyle ikinci farksızlık hipotezi ise İAKO'sının HKO'ya bölünmesiyle test edilebilir. Eğer önemli bir fark bulunursa, ÇKT, parçalama ve σ2µj'nın değerinin tahmini yoluna gidilir.

34 9.4.2 Çok Gözlemli Modeller Tekerrürlü tesadüf blokları olarakta adlandırılan bu modellerde her alt grupta bir den fazla gözlem bulunur. Bu yöntemin sağladığı önemli bir farklılık iki değişken (İki faktör) arasındaki etkileşimin ölçülmesini sağlamasıdır. İnteraksiyon olarak adlandırılan bu etkileşimin ölçülmesi bazen gerekebilir. Bilindiği gibi interaksiyon bir faktörün haller arasındaki farkın (mesala aşağıdaki örnekte cinsiyet faktörünün erkek ve dişi hali) arasındaki farkın diğer faktörün hallerine göre (bu örnekte 4 ayrı fabrika) değişip değişmediğinin ölçümüdür.

35 Örnek : Dört ayrı firmada çalışan kadın ve erkek işçilerin yıllık gelirleri aşağıda verilmiştir.
Fabrika Cinsiyet A (j=1) B (j=2) C (j=3) D (j=4) ∑ 24 28 19 21 Erkek(i=1) 31 X ij=23.75 X12=24 30 X13=25.75 25 X14=23.5 388 ∑=95 ∑=96 ∑=103 27 ∑=94 26 23 18 17 Dişi(i=2) 20 X21=20.25 22 X22=22 X23=19.25 X24=19.75 325 ∑=81 ∑=88 ∑=77 ∑=79 176 184 180 173 713 Ana kitle ortalamaları arasında bir fark bulunup bulunmadığını, cinsiyetten bağımsız olarak fabrikalar arasında ücret farkı olup olmadığını, fabrikalardan bağımsız olarak cinsiyetler arasında ücret farkı olup olmadığını cinsiyet ile fabrıkalar arasında interaksiyon olup olmadığını test edelim.

36 Bu analiz iki şekilde yürütülebilir
Bu analiz iki şekilde yürütülebilir. Birinci şekil her fabrika ve her cinsiyetteki değerlerin (yani alt grubun) ortalamasını alarak Tesadüf blokları şeklinde analizi yürütülebilir. Bu durumda varyansın unsurları şu şekildedir. Bu yol interaksiyon araştırıcı için önem taşımıyorsa baş vurulacak yoldur.

37 İkinci yol ise alt gruplara göre analiz yapmaktır
İkinci yol ise alt gruplara göre analiz yapmaktır. Bu taktirde interaksiyon hesaplanabilir. Bu udurumda varyansın unsurları şunlardır ve varyansın unsurları şu şekilde hesaplanır.

38 DT = [(713)2/32] = 508369 /3 = 15886.53 olarak belirlenirse ;
GKT = ∑xij2-[(∑xij)2/n] GKT = [( )2/32] = DT = [(∑xij)2/n] DT = [(713)2/32] = /3 = olarak belirlenirse ; Alt gruplarAKT = [( )/4] - DT = Alt GruplarİKT = GKT - Alt gruplarAKT = = FabrikalarAKT = [( )/8] -DT = 8.6 Cinsiyetler AKT = [( )/16]-DT = (CinsiyetxFabrika) İnterak.AKT = Alt gr.AKT - (Fbr.AKT+Cin.AKT) = = 21.09 Böylece elde edilen değerler V.A.T' na geçirilirse; V . A . T VK SD KT KO Genel 31 468.47 - Alt gruplar 7 153.72 21.96 Fabrikalar 3 8.60 2.87 Cinsiyetler 1 124.03 (FabxCins.)İnteraksiyon 21.09 7.03 Alt gruplar İçi (Hata) 24 314.75 13.11

39 Buna göre hipotez kontrolleri şöyle yürütülür. V. A
Buna göre hipotez kontrolleri şöyle yürütülür. V.A.T' da araştırıcıyı ilgilendiren üç önemli varyasyon kaynağı vardır. Bunlar fabrikalar arası, cinsiyetler arası ve interaksiyondur. Her kaynağın ücretler dağılımındaki payı bu kaynaklardan her biri için yapılacak hipotez kontrolleri ile belirlenir. Böyle durumlarda önce interaksiyondan başlanır. H0: Değişkenler arasında etkileşim yoktur H1: Değişkenler arasında etkileşim vardır. Şeklinde belirlenirse ; F = İnteraksiyon KO/HKO = 7.03/13.11 = 0.536' dır. F[0.05(3.24)] = 3.01 olduğundan H0 hipotezi kabul edilir. Yani cinsiyet ve fabrikalar arasında ücret bakımından uygulama farkına yol açmıyor (interaksiyon yok denir). Eğer denenen fabrikalar ve cinsiyetler özel olarak seçilmiş ise sabit model varsa interaksiyondan sonraki varyasyon kaynaklarının (fabrikalar ve cinsiyet ) önem kontrolu hataya göre yapılır. Eğer şansa bağlı model söz konusu ise söz konusu fabrika ve cinsiyet varyasyon kaynaklarının önem kontrolu şayet interaksiyon önemli çıkmışsa, interaksiyona göre değilse hataya göre yapılır.

40 Fabrikalara ilişkin hipotez kontrolü:
F = Fabrikalar AKO/HKO = 2.87/13.11 = 0.22 Şeklini alır. F[0.05 (3.24)] = 3.01 olduğundan H0 kabul edilir. Yani fabrikaların ücret politikaları arasında fark yoktur. Cinsiyetlere ilişkin hipotez kontrolü ise : F = Cinsiyetler AKO/HKO = /13.11 = 9.46 olur. F[0.05 (3.24)] = 4.36 olduğundan H0 red edilir. Diğer bir deyişle %5 hata payı ile kadın ve erkek işçiler arasında yıllık ücret farkı vardır sonucuna varılır. İnteraksiyonun önemli bulunduğu hallerde çoklu karşılaştırma testleri birinci faktörün içi diğer faktörün halleri arasında yapılır. Bu örnekte böyle bir durum ortaya çıksaydı çoklu karşılaştırma testlerinin mesala erkekler için 4 fabrikadan ikili karşılaştırmada (1-2 ; 1-3; 1-4; 2-3 ; 2-4; 3-4 şeklinde) ve yine kadınlar için aynı karşılaştırmaların yapılması gerekirdi. Benzer şekilde 1. fabrika için erkek-dişi 2. fabreka için erkek-dişi ve giderek 4. fabrika için erkek-dişi karşılaştırması yapılması gerekirdi. İncelediğimiz örnekte hem interaksiyon ve hemde fabrikalara ilişkin etki önemsizdir. Bu durumda sadece cinsiyetlerin etkisi önemlidir. Cinsiyetlerin de iki hali olduğundan çoklu karşılaştırma testine gerek yoktur.

41 9.5 Tesadüf Blokları Deneme Planında Eksik Verilerin Tahmini
Denemelerde çeşitli nedenler ile de olsa veriler kaybedilebilir. Hayvan ve bitkiler deneme sırasında ölebilir. Verilerin kaydedilmesinde hata yapılabilir. Kayıp veriler T.S.B.D.P.'de önemli bir sorun oluşturmaz. Çünkü n1=n2= =nn zorunluluğu yoktur.Diğer bir deyişle farklı sayıda tekerrüre sahip verilerin analizi T.S.B.D.P.'ile mümkündür. Ancak T.B.D.P.'de ise böyle bir imkan yoktur. Her blok eşit (aynı) sayıda muameleye sahip olmalıdır. Bir ölçüm kayıp ise aşağıdaki iki yoldan birine göre hareket edilir. 1- Eksik verinin bulunduğu bloğun tümünü denemeden çıkarmak.Blok sayısı çok ise önemli bir etkinlik kaybına yol açmadığı için böyle davranılabilir. Ancak blok sayısı az ise böyle bir yol uygulanamaz. 2- Yukarıda belirtilen nedenlerle bazen eksik verinin tahmini yoluna gidilir. Eksik ölçümün tahmini aşağıdaki formülle elde edilir. kT+nB-S xij = (k-1)(n-1) Burada xij = Eksik ölçüm, k= Muamele sayısı, T= Kayıp muamele ile aynı eksik muamele toplamı, B = Kayıp ölçümle aynı eksik blok toplamı, S = Eksik genel toplam. n = Blok sayısı

42 xij elde edildikten sonra analiz daha önce belirtilen şekilde yrütülür
xij elde edildikten sonra analiz daha önce belirtilen şekilde yrütülür. Ancak SD'lerinde bir değişiklik yapılır. Genel SD ve hata SD'si bir düşürülür. Bu yönde MAKO'nın önemli çıkması lehine çok az bir sapmaya yol açabilir. Bu yüzden eğer yüklaşık bir F değeri istenmiyor, tam bir F değeri gerekiyorsa MAKT düzeltilmelidir. MAKT aşağıdaki formülle elde edilen miktar kadar düşürülür. [B-(k-1)xij]2 Düzeltme Değeri = k(k-1) Böylece yeni MAKT ve MAKO değeri elde edilir. Varyans analiz tablosunda GKT'de buna göre değişmelidir. İki yada üç muamele kayıp ise yukarıdaki yöntemlerin bir modifikasyonu gerekir. Çok defa fazla ölçüm kayıp ise denemeyi tekrarlamak en uygun yoldur.

43 Örnek : 4 muamelenin 5 blokta denendiği bir muamelede eksik veri oluşmuştur. Bu eksik veriyi tahmin edelim Blok Muamele I II III IV V ∑ A 32.3 34 34.3 35 36.5 172.1 B 33.3 33 36.3 36.8 173.9 C 30.8 35.3 35.8 168.5 D - 26 29.8 28 28.8 112.6 96.4 127.3 135.7 132.1 135.6 627.1 mT + bB - S 4(112.6)+5(96.4) x = = = 25.4 (m-1)(b-1) (4-1) (5-1) olarak bulunur.