Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

 ORANTISAL DÜ Ş ÜNEB İ LME YETENE Ğİ  ORAN VE ORANTI  TOPLAMSAL VE ÇARPIMSAL İ L İŞ K İ LEND İ RME YAPAB İ LME YETENE Ğİ  N İ TEL MUHAKEME VE N İ.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: " ORANTISAL DÜ Ş ÜNEB İ LME YETENE Ğİ  ORAN VE ORANTI  TOPLAMSAL VE ÇARPIMSAL İ L İŞ K İ LEND İ RME YAPAB İ LME YETENE Ğİ  N İ TEL MUHAKEME VE N İ."— Sunum transkripti:

1

2  ORANTISAL DÜ Ş ÜNEB İ LME YETENE Ğİ  ORAN VE ORANTI  TOPLAMSAL VE ÇARPIMSAL İ L İŞ K İ LEND İ RME YAPAB İ LME YETENE Ğİ  N İ TEL MUHAKEME VE N İ CEL MUHAKEM  ORAN KAVRAMININ İ ÇERD İĞİ N İ TEL VE N İ CEL(KANTAT İ F) MUHAKEME ÇE Şİ TLER İ  ORAN KAVRAMININ OLU Ş TURULMASI SÜREC İ NDE KAR Ş ILA Ş ILAB İ LECEK MUHTEMEL KAVRAM YANILGILARI  ORAN KAVRAMININ OLU Ş TURULMASINDA KAR Ş ILA Ş ILAB İ LECEK MUHTEMEL Ö Ğ RENME ZORLUKLARI  ORAN KONUSUMDA KAVRAM YANILGILARI VE Ö Ğ RENME ZORLUKLARI ÜZER İ NE ÇÖZÜM ÖNER İ LER İ  SONUÇ VE DE Ğ ERLEND İ RME

3 Oran ve orantısal dü ş ünebilme yetene ğ i fen ve matematik bilimlerinin temel ta ş larından biri olup birçok temel matematiksel kavram ve konunun bel kemi ğ ini olu ş turur. Bunlar arasında en önemlileri ölçme, cebir, olasılık, trigonometri, istatistik ve geometridir. Ayrıca oran kavramı birçok yüksek matematiksel kavram ve konulara da taban te ş kil etmektedir. Oran kavramı ve orantısal dü ş ünebilme yetene ğ inin alt yapısında birçok nicel ve nitel muhakeme çe ş itleri yer almaktadır.

4 Ö ğ rencilerin kavram yanılgıları ve ö ğ renme zorlukları ile kar ş ıla ş malarının en önemli sebebi gerekli muhakeme çe ş itlerinin yeterince kavrayamamaları ve uygulayamamalarıdır. Bundan dolayı bu bölümde oran kavramı ve orantısal dü ş ünebilme yetene ğ inin anlamı ile alt yapısını olu ş turan muhakeme çe ş itlerine de yer verilecektir.

5 Matematik e ğ itimi alanında oran ve orantısal dü ş ünebilme yetene ğ i üzerine yapılan birçok çalı ş ma vardır. Bu çalı ş maların ço ğ u farklı ya ş gruplarının ö ğ rencilerin orantısal dü ş ünmeyi gerektiren durumlarda hangi stratejilere ba ş vurdukları üzerine yapılmı ş ken birkaçı da oran kavramı ve oran konusunun kavramsal olarak ö ğ renilmesi üzerine odaklanmı ş tır. Bu çalı ş malar arasında oran konusundaki kavram yanılgıları üzerine do ğ rudan odaklanan bir çalı ş ma yoktur. Bu ba ğ lamda, oran konusunda kavram yanılgıları ve ö ğ renme zorlukları üzerine konu ş urken, ş u ana kadar yapılmı ş çalı ş maların bulgularından faydalanılacak ve bu bulgular kavran yanılgısı perspektifinden özel olarak ele alınıp yorumlanacaktır. Öncelikle orantısal dü ş ünebilme yetene ğ i ele alınacak ve bu yetenek ı ş ı ğ ında, daha sonra ö ğ rencilerin oran kavramıyla ilgili kavram yanılgıları ve zorlukları üzerinde durulacaktır.

6 Genel bir ifade ile orantısal dü ş ünebilme yetene ğ i, farklı ya da aynı ölçme uzaylarına ait çoklukların(nesnelerin) kar ş ıla ş tırılabilmesi demektir. Çoklukların kar ş ıla ş tırılabilmesi nicel ve nitel muhakemelerle birlikte çok yönlü dü ş ünebilmeyi gerektirir. Ayrıca orantısal dü ş ünebilme yetene ğ i, kar ş ıla ş tırılan çoklukların aynı anda birbirlerine göre ba ğ ıl de ğ i ş imlerini göz önünde bulundurarak kar ş ıla ş tırmanın do ğ ası hakkında yorumlama yapabilme ve karar verebilme yetisini de içermektedir. Buradan hareketle orantısal dü ş ünebilme yetene ğ inin, oran ve orantı kavramını da içeren kapsamlı bir matematiksel dü ş ünce sistemi oldu ğ unu söyleyebiliriz.

7 Orantısal dü ş ünebilme yetene ğ inin merkezini te ş kil eden “kar ş ıla ş tırma”da öne çıkan bazı özelliklerin ve kar ş ıla ş tırmanın yapısının(içeri ğ inin) bilinmesi, orantısal dü ş ünebilme yetene ğ inin kazandırılmasında ve kavram yanılgılarının önlenmesinde önemli yer tutar. Dolayısıyla çoklukların kar ş ıla ş tırılmasında öne çıkan ve kar ş ıla ş tırmanın yapısını belirleyen özelliklerden ve oran kavramının içerdi ğ i nicel ve nitel muhakeme çe ş itlerinden bahsetmekte fayda görüyoruz.

8 Oran ve orantı kavramları birçok ara ş tırmacı tarafından tanımlanmı ş tır. Bunlar arasında Thompson (1914) oran kavramına ö ğ renenler açısından yakla ş mı ş ve ş u ş ekilde tanımlama yapmı ş tır: “Oran, farklı ölçme uzaylarına ait iki çoklu ğ un çarpımsal olarak kar ş ıla ş tırılması sonucu elde edilen bir ölçümdür.” Bu ölçümün genelle ş tirilmi ş halini ise lineer fonksiyon olarak ifade etmi ş tir. Vergnaud ise oranı ş u ş ekilde tanımlamı ş tır:”Aynı ölçme uzayına ait çoklukların çarpımsal olarak kar ş ıla ş tırılması sonucu elde edilen ölçüme (birimsiz) oran denir. Bu iki ara ş tırmacının yakla ş ımlarını incelerken göze çarpan, oran kavramının birimli ve birimsiz oran olarak de ğ erlendirilmi ş olmasıdır. Thompson’ın tanımında “birimli oran”dan bahsedilirken, Vergnaud’un tanımında “birimsiz oran” söz konusudur.

9 Bu iki yakla ş ım oran kavramının ö ğ renilmesinde önemlidir. Bu nedenle bu husus daha sonraki bölümlerde ele alınacaktır. Orantı kavramını ise Lamon “aynı ili ş kiyi gösteren iki oranın e ş itli ğ i” olarak tanımlanmı ş tır. Thompson’ın tanımından yola çıkarak “birimli oran”a bir örnek vermek gerekirse; 3 ölçek ş eker ile 2 ölçek saf su karı ş tırıldı ğ ında, çözeltinin yo ğ unlu ğ unu ya da ne kadar tatlı oldu ğ unu matematiksel olarak ifade eden de ğ er, 3/2=1,5 ş eker/su ş eklindedir. Bu de ğ erin adı orandır ve oran bu çözeltinin yo ğ unlu ğ unun ölçümüdür. Bu durumda oran birimlidir ve birimi ş eker/su’dur.

10 Vergnaud’un tanımından yola çıkarak “birimsiz oran” için bir örnek vermek gerekirse; 6 tane masa tenisi topunun fiyatı 2,4 TL dir. 15 tane topun fiyatı nedir? orantı sorusunu dü ş ünelim. Bu soruda 6 tane masa tenisi topu ile 15 tane masa tenisi topu ve 2,4 TL ile 6 TL nin kar ş ıla ş tırılması durumunda aynı ölçme uzayına ait çokluklar kar ş ıla ş tırılmı ş tır. Çünkü toplar kendi aralarında ve bu topların fiyatları olarak verilen TL ler de kendi aralarında kar ş ıla ş tırılmı ş tır. Bu durumda orantı 6/15=2,4/6 olur ve oranlar ( 6/15 ile 2,4/6 ) birimsizdir.

11 Öte yandan, 6 tane masa tenisi topu ile buna kar ş ılık gelen 2,4 TL kar ş ıla ş tırılır ise oran 6/2,4 olur. 15 tane masa tenisi topu ile bu kadar masa tenisi topuna kar ş ılık gelen 6 TL kar ş ıla ş tırılır ise oran 15/6 olur. Bu ş ekilde farklı ölçme uzayına ait çokluklar kar ş ıla ş tırılmı ş olur. Bu durumda orantı 6/2,4=15/6 olur ve oranlar, 6/2,4 ile 15/6, ve oran birimi ise top sayısı/TL olur.

12 Bu örnekte dikkat çeken nokta, ö ğ renciye bu iki tanımın farkındalı ğ ının kazandırılabilmesinin yanında bu iki kazanımın destekledi ğ i “bir orantıda içler/dı ş lar kendi aralarında yer de ğ i ş tirebilir” kuralının verilebilmesidir. Bu örnekte verilen orantıda yer alan 15 sayısal de ğ eri ile 2,4 sayısal de ğ eri yer de ğ i ş tirdi ğ inde orantı de ğ i ş memektedir. Aynı ş ekilde, birimli oran ve birimsiz oran tanımlarının farkındalı ğ ının önemli oldu ğ u di ğ er bir husus bu iki oranın hem kendi içlerinde farklı kavram anlamları içermeleri ve hem de taban te ş kil ettikleri fen ve matematik kavramlarının anla ş ılmasında önemli olmalarıdır.

13 Ayrıca, birimsiz oran mesela geometrik ş ekillerin benzerli ğ i veya ölçmede ön plana çıkarken, birimli oran yo ğ unluk, sıcaklık(Kelvin), hız gibi temel fen kavramlarında ön plana çıkmaktadır. Dolayısıyla, bu iki oran tanımının farkındalı ğ ının kazandırılması ö ğ rencilerin oran ve orantı kavramlarını içeren durumlara hakim olmalarını sa ğ layacaktır.

14 Bu alt bölümde, toplamsal ili ş ki ve çarpımsal ili ş kiyi dü ş ünebilme becerisinin ne oldu ğ u ifade edilecektir. Toplamsal ve çarpımsal ili ş kilendirme yapabilme yetene ğ ine yer vermek istememizin birinci sebebi, ilkö ğ retim seviyesindeki okullarımızda öncelikle toplama kavramının verilmesi ve daha sonra bu kavramı bir seviyeye kadar esas alan çarpım kavramının ö ğ retilmesidir. Bu ba ğ lamda, toplama kavramı, çarpımsal ili ş kilendirme gerektiren durumlar üzerinde dü ş ünürken ö ğ rencilerin do ğ al olarak ba ş vurdukları bir kavramdır. İ kinci önemli sebebi ise, oran kavramının çarpımsal ili ş kilendirme gerektiren bir kavram olu ş udur.

15 İ lkö ğ retim döneminde ö ğ rencilerin geçti ğ i ilk dü ş ünce sistemlerinden biri toplamsal ili ş ki kurabilme yetene ğ idir. Toplamsal ili ş ki kurabilme yetene ğ inin iki boyutu vardır. Bunlar kavramsal boyut ve sayısal i ş lem boyutudur. Aynı ölçme uzayına ait çoklukların bir araya getirilmesi, elde edilen miktarın toplam miktara e ş it olması ve elde edilen miktarın bile ş enlerinin birbirlerine göre mutlak ili ş ki içerisinde bulundu ğ unun bilinmesi kavramsal boyut ile ilgilidir. Elde edilen miktarın bile ş enler açısından sayısal olarak ifade edilebilmesi ise i ş lemsel boyut ile ilgilidir. Bu ba ğ lamda, aynı ölçme uzayına ait çokluklar somut çokluklardır ve bir araya getirilmeleri sonucunda elde edilen miktar yine aynı ölçme uzayına aittir.

16 Çok basit bir örnek üzerinden açıklayacak olursak, 3 bilye ile 5 bilye gösterilebilen somut çokluklardır ve bir araya getirilmeleri sonucunda olu ş an miktar yine aynı ölçme uzayına ait 8 bilyeye e ş it gelir. Bu üç çokluk arasındaki mutlak ili ş kilendirebilme yetene ğ i ise bu üç çoklu ğ un birbirlerine göre(eklenen) artan/azalan (çıkan) ili ş kilerinin de ğ erlendirilebilmesidir. 5 bilyenin 3 bilyeden 2 fazla oldu ğ u, 8 bilyenin 5 bilyeden 3 fazla ve 3 bilyeden 5 fazla olması gibi.

17 Ö ğ rencilerin ilkö ğ retim döneminde geçti ğ i ikinci dü ş ünce sistemi ise, çarpımsal ili ş kilendirme yapabilme yetene ğ idir. Çarpımsal ili ş kiyi dü ş ünebilme yetisi, çokluklar arsında göreceli yani ba ğ ıl bir ili ş ki oldu ğ unu kavramayı gerektirir. Yine bilye örne ğ ine dönecek olursak, çokluklar arasında ba ğ ıl bir ili ş ki oldu ğ unun kavranması 3 bilyenin 5 bilyenin 3/5 ini te ş kil etti ğ inin ve 5 bilyenin 3 bilyenin 5/3 katı oldu ğ unun dü ş ünülebilmesi demektir. Di ğ er bir deyi ş le, “5 bilye, 3 bilye cinsinden 1.666” veya “3 bilye 5 bilye cinsinden 0.6 dır” türünden bir ili ş ki oldu ğ unu kavramayı gerektirir. Çarpımsal ili ş kilendirme yetene ğ inin kazandırılması, bu dü ş ünce sisteminin gerekti ğ i yerlerde kullanılabilmesi açısından ö ğ rencilere gerekli donanımı sa ğ lamı ş olur. Bu ba ğ lamda oran kavramının olu ş turulmasında da kolaylık sa ğ lar.

18 Oran kavramı do ğ ası gere ğ i çarpımsal ili ş kilendirme kurulması gereken durumları içerir ve bu durumların farkındalı ğ ının geli ş tirilmesini gerektirir. Aksi takdirde kavram yanılgılarına zemin olu ş turabilir. Oran kavramının çarpımsal ili ş kilendirme ile ba ğ ıntısı daha sonraki alt ba ş lıklarda ele alınacaktır. Ancak burada bu örnekle toplamsal ili ş ki kurabilme yetene ğ i ile oran kavramının ili ş kisi üzerinde durmakta fayda görüyoruz. Daha sonra, kavram yanılgıları alt bölümünde yine toplamsal ili ş ki kurabilme ve oran kavramı arasındaki ili ş ki farklı örnekler verilerek incelenecektir.

19 Daha önce oran tanımları açısından inceledi ğ imiz “ 6 tane masa tenisi topunun fiyatı 2,4 TL dir. 15 tane topun fiyatı nedir?” sorusu üzerinden dü ş ünecek olursak, toplamsal ili ş kilendirme bu sorunun çözümü için ş u ş ekilde kullanılabilir: 6 top  12 top  15 top 2,4 TL  4,8TL  6 TL

20 ve toplamsal ili ş kilendirme ile açıklaması ş u ş ekilde gerçekle ş ebilir. 6 top 2,4 TL ise, 6 topa 6 top daha eklendi ğ inde 12 top elde edildi ğ i için, 2,4 TL ye 2,4 TL daha eklenmelidir ki 12 topa verilen ücret bulunabilsin. Daha sonra 12 topa eklenmesi gereken top sayısı 15 toptan çıkarılarak bulunur ve 3 top olarak hesaplanır. Bu ba ş langıçtaki 6 toptan 3 küçüktür (veya yarısı kadar küçüktür) ve böylece 3 topa verilmesi gereken TL miktarı da 2,4 TL den yarısı kadar eksik yani 1,2 olacaktır. 15 topa, 12+3 olarak eri ş ildi ğ inde; 4,8 TL’ye de 1,2 ekleyerek 6 TL ye ula ş ılır. Görüldü ğ ü üzere, toplamsal ili ş kilendirme kurarak dahi olsa, orantı sorusuna çözüm getirilebilmektedir.

21 Burada üzerinde durulması gereken küçük ama önemli bir nokta “yarısı” ifadesinin çarpımsal ili ş kilendirme gerektiren bir ifade olu ş udur. Bazı ara ş tırmacılar “yarısı” ifadesinin ilkö ğ retim döneminin çok daha öncesinden itibaren kullanılmasına ve ö ğ renciler için bu ifadenin yerle ş mi ş bir anlam ta ş ımasından dolayı otomatikle ş mi ş olmasına dikkat çekmektedir. Ayrıca önemli olan yarım ifadesinin kullanımından sonra yine toplam olarak çözüme ula ş ılması ve ö ğ rencinin sorunun çözümüne genel olarak toplamsal bir ili ş kilendirme kurarak gitmesidir.

22 Bu alt bölümde nitel muhakeme ve nicel muhakeme ifadelerinin hangi anlamlarda kullanıldı ğ ına açıklık getirilmektedir. Nitel muhakeme gücünden kasıt eldeki olayın incelenerek çokluklar arasında birbirlerine göre nasıl bir ili ş ki oldu ğ unun farkına varılmasıdır. Örne ğ in, “Dikdörtgen ş eklindeki bir bahçenin uzun kenarı 125 metre ve kısa kenarı 110 metredir. Bu bahçenin uzun kenarı ve kısa kenarı 2’ ş er metre uzatılıyor. Buna göre, a)Bahçenin çevresi kaç metre uzar? b)Bahçe daha fazla mı yoksa daha az mı kareye benzer?

23 Ö ğ renci, “a” seçene ğ inde uzunluk ile toplamda bir de ğ i ş imden bahsedildi ğ i ve dolayısıyla çokluklar arasında mutlak bir ili ş kilendirme söz konusu oldu ğ u gözlemine dayanarak, toplamsal bir ili ş kilendirme kurmak durumundadır. Öte yandan “b” seçene ğ inde, “alan kavramı” ile ilgilenildi ğ i için uzunlukların birbirlerine göre ba ğ ıl durumlarının incelenmesi ve dolayısıyla her iki uzunlu ğ un da aynı anda ele alınması gere ğ i dü ş ünülmelidir. Tüm bu gözlemler “nitel muhakeme gücü”ne örnek olarak gösterilebilir.

24 Nicel muhakeme gücü ise, eldeki olayın (yani üzerine dü ş ülen durumun) hangi sayısal de ğ erlendirme yapılarak incelenmesi (ölçülmesi) gerekti ğ ine karar verme yetisidir. Bahçe örne ğ i üzerinden dü ş ünecek olursak, nicel muhakeme yapabilmek iki ş ekilde gerçekle ş ir. Birincisi, bahçenin çevresinin 8 metre uzadı ğ ını, uzunluklara 2’ ş er metre ekleyerek ölçmektir. İ kincisi ise, orijinal durumdaki dikdörtgenin kenar uzunlukları arasında 110/125 ba ğ ıl ili ş kisinin oldu ğ unu ve yeni durumdaki dikdörtgenin kenar uzunlukları arasında ise 112/127 ba ğ ıl ili ş kisinin oldu ğ unu belirleyerek, hangi oranın 1’e daha yakın oldu ğ una dair bir kar ş ıla ş tırma yapabilmektir. Ancak bu kar ş ıla ş tırma sonucunda yeni ş eklin daha çok karesel ya da daha az karesel bir bölge olu ş turdu ğ u bulunabilir.

25 Bu alt bölümde orantısal dü ş ünebilme yetisinin bel kemi ğ ini olu ş turan “çoklukların kar ş ıla ş tırılması” ve “kar ş ıla ş tırmanın do ğ ası” üzerinde durulacaktır. Çoklukların kar ş ıla ş tırılması nitel ve nicel muhakeme gücü ile yakından ili ş kilidir. Oran kavramı ve orantısal dü ş ünebilme yetene ğ inin alt yapısını olu ş turan nitel muhakeme, yapısal benzerlik farkındalı ğ ı ekseninde ele alınacaktır. Nicel muhakeme ile çoklukların kar ş ıla ş tırılması konusu i ş lenirken, kovaryasyon, invaryasyon(de ğ i ş mezlik) ile transformasyon kavramları üzerinde durulacaktır.

26 Yapısal Benzerlik Farkındalı ğ ı Çoklukların kar ş ıla ş tırılmasında öne çıkan ve nitel muhakeme gerektiren özellik, yapısal benzerli ğ i fark edebilmektir. Yapısal benzerli ğ i fark edebilmek ş u ş ekilde açıklanabilir: Kar ş ıla ş tırılan çokluklar bir durumu (durumun bir özelli ğ ini) ifade eder ve orijinal durumu ifade eden bu özellik çoklukların sayısal de ğ erlerinden ba ğ ımsızdır. Bu ba ğ lamda, durumun özelli ğ i homojen bir yapıya sahiptir ve kar ş ıla ş tırılan çokluklar ne olursa olsun de ğ i ş mezlik gösterir.

27 Örne ğ in; bir otomobilin ortalama hızı 30 km/s olsun. Buradaki ölçüm (30 km/s) otomobilin hareketini ifade eder. Yolculuk süresi ve mesafesi ne olursa olsun, hareketin do ğ ası de ğ i ş mez ve ortalama hareket ölçümü 30 km/s olarak kalır. Ba ş ka bir örnek vermek gerekirse, bir limonatanın ne kadar ek ş i (limoni) oldu ğ u bu limonatanın farklı miktarlarına ba ğ lı olarak de ğ i ş im göstermez. Aynı limonatadan alınan küçük bir miktarın veya büyük bir miktarın tadı yine aynı ek ş ilikte olacaktır. Aynı ş ekilde bir kekin ne kadar tatlı olaca ğ ı veya bir çözeltinin ne kadar çözünür olaca ğ ı orijinal durumu olu ş turan çoklukların farklı de ğ erleri kar ş ısında de ğ i ş mezlik göstermek durumundadır. Yani kekten alınan farklı miktardaki örneklerin tadı veya orijinal çözeltiden alınan farklı örneklerin çözünürlü ğ ü yine aynı olacaktır.

28 Yapısal benzerlik nitel anlamda oldu ğ u gibi nicel anlamda da fark edilebilir. Daha önce de bahsedildi ğ i üzere, orantısal dü ş üncenin hakim oldu ğ u durumlar toplamsal de ğ il çarpımsal ili ş kilendirme gerektiren durumlarda ve üzerine dü ş ünülen durumun çarpımsal ili ş kilendirme mi yoksa toplamsal ili ş kilendirme mi gerektirdi ğ ini ki ş inin fark edebilmesi ş arttır. Ancak bu ş ekilde ki ş i, durum (ele alınan ve incelenen olay)hakkında do ğ ru matematiksel muhakeme geli ş tirebilir.

29 Ö ğ renciler öncelikle, oranı ifade eden çoklukları tekrarlı ekleme (tekrarlı toplama) yaparak, nitel anlamda yapıyı bozmadan yeni durumlar olu ş turabileceklerini kavrarlar. Örne ğ in; “3 kalem 7 TL ederse, 9 kalem kaç TL eder?” sorusunun çözümünü, yapısal benzerli ğ i nicel olarak tekrarlı ekleme yapacak ş ekilde fark eden ö ğ renciler, ş eklinde ifade ederler. Di ğ er bir deyi ş le, ö ğ renciler “her 3 kalem 7 TL eder” ili ş kisini ve bu ili ş kinin de ğ i ş mezli ğ ini (korunurlu ğ unu) kullanarak çözüme ula ş ırlar.

30 Kovaryasyon (Birlikte De ğ i ş im) Çoklukların kar ş ıla ş tırılabilmesinde öne çıkan nicel özelliklerden biri, çoklukların (nesnelerin) birbirine ba ğ ıl olarak (göreceli) de ğ i ş iminin göz önünde bulundurulabilmesidir. Bu durum literatürde kovaryasyon olarak bilinir. Çoklukların birbirine göreceli olarak de ğ i ş imi, çarpımsal ili ş kinin aynı anda de ğ i ş im gösteren çokluklara uygulanabilmesini içerir. Daha açık bir ifade ile, kovaryasyon, oranı gösteren kesirsel ifadenin faklı de ğ erler alması durumunda, çoklukların aynı anda de ğ i ş im (varyasyon) gösterdi ğ inin ve farklı de ğ erlerin çarpımsal bir ili ş ki ile birbirlerine ba ğ lı olduklarının kavranabilmesi demektir.

31 Örne ğ in; saatte 30 km hızla giden bir aracın, tüm yolculuk boyunca ortalama hızının 30 km/s oldu ğ unun kavranabilmesi, yolculu ğ un süresi ile alınan yol arasında birbirine ba ğ lı ve e ş zamanlı bir ili ş kilendirme oldu ğ unun anla ş ılmasını gerektirir. Di ğ er bir deyi ş le, her 100 metrenin 0.2 dakikada veya 500 metrenin 1 dakikada alındı ğ ının bilinmesini gerektirir. Daha net bir ifade ile, yolculu ğ un süresi kendi içinde ve alınan yol kendi içinde miktar olarak çarpımsal bir ili ş ki içindedir ve bu ili ş ki e ş zamanlı bir ş ekilde yolculu ğ un süresi ile alınan yol arasında da kaydedilir.

32 Aracın saatte ortalama 30 km hızla gitti ğ inin kavranması, dolayısıyla, yolculuk süresinin ve alınan yolun sonsuz küçük parçalarına da aynı ili ş kinin (çarpımsal) yayıldı ğ ının (difüzyon) anla ş ılmasını gerektirir. 100 metre 500 metre 5,000 metre 15 km 30 km 0.2 dakika 1 dakika 10 dakika 30 dakika 60 dakika

33 De ğ i ş mezlik Oran kavramının kavramsal olarak anla ş ılması noktasında önemli olan di ğ er bir nicel dü ş ünce çe ş idi de ğ i ş mezliktir. Orantısal dü ş ünce gerektiren durumlarda iki çe ş it de ğ i ş mezlik söz konusudur. Birincisi, daha önce yapısal benzerlik bölümünde de bahsedildi ğ i üzere, oranın ifade etti ğ i durumun özelli ğ inin de ğ i ş mezli ğ idir ve bu özelli ğ i ölçen matematiksel ifadenin (de ğ erin) oran oldu ğ udur.

34 Örne ğ in; duvara dayanan bir merdivenin e ğ iminin (rampasının) ölçümü, merdivenin farklı noktalarında de ğ i ş im göstermez. Aynı ş ekilde, bir çözeltideki tuz yo ğ unlu ğ u çözeltinin miktarı ile de ğ i ş im göstermez, aynı kalır. Yani, aynı çözeltiden alınan farklı örneklemelerde miktar de ğ i ş mesine ra ğ men, tuz yo ğ unlu ğ u aynı olacaktır ve bu yo ğ unlu ğ u ölçen matematiksel ifade orandır. Ba ş ka bir örnek verecek olursak, bir miktar i ş i belirli bir sürede bitiren bir i ş çi, aynı i ş in daha az bir miktarını daha az bir sürede tamamlayacaktır ama çalı ş ma hareketinin do ğ ası (yani hızı) de ğ i ş meyecektir.

35 İ kinci de ğ i ş mezlik ise, oranı ifade eden de ğ erlerin birbirlerine göre ba ğ ıl durumlarıdır. Yani, oranı gösterirken kullanılan kesirsel ifadenin pay ve paydasının birbirine bölümünün sonucunda olu ş an bölüm (yani oran), pay ve paydada gösterilen iki çokluk arasındaki de ğ i ş mez ili ş kiyi gösterir. Örne ğ in; “6 tane masa tenisi topunun fiyatı 2,4 TL dir. 15 tane topun fiyatı nedir?” orantı sorusunu dü ş ünelim.

36 Bu soruyu çözerken ö ğ renci e ğ er 6 tane masa tenisi topu ile 2,4 TL arsında 6/2,4 yani 2,5/1 oranı oldu ğ unu, 2,5 sayısal de ğ erinin iki çokluk arasındaki çarpımsal ili ş kiyi gösterdi ğ ini ve bu ili ş kinin de ğ i ş mezli ğ ini bilirse, bu bilgiyi sorunun çözümünde ş u ş ekilde kullanabilir: 15 tane masa tenisi topu ve bu sayıdaki masa tenisi topunun TL ederi arasında bu ili ş kinin olması gerekir. Dolayısıyla, 15 sayısal de ğ erini 2,5 de ğ erine bölerek 15 tane masa tenisi topu için kaç TL ödenmesi gerekti ğ i bulunabilir. Yani 15/2,5=6 TL eder. Bu ş ekilde çözüme ula ş ılması, aslında ö ğ rencinin oran kavramını iki de ğ i ş ken arasındaki lineer bir ba ğ ıntı (yani y=mx lineer fonksiyonu) olarak algıladı ğ ının göstergelerinden biridir.

37 Dönü ş üm (Transformasyon) Orantısal dü ş ünebilme yetene ğ i aynı zamanda dönü ş üm (transformasyon) kavramını da beraberinde getirmektedir. Dönü ş üm aynı zamanda e ş itlik kavramını da içerir. Di ğ er bir deyi ş le, oranı gösteren kesirsel ifadenin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılıp (veya bölünerek) geni ş letilebilir ya da sadele ş tirilebilir. Bu ba ğ lamda, e ş it oranların i ş lemsel olarak elde edili ş i ile e ş it kesirlerin i ş lemsel olarak elde edili ş i aynıdır.

38 Basit bir örnek vermek gerekirse 3/4=6/8, orantısında 6/8 oranı, 3/4 oranının hem payının hem de paydasının 2 ile çarpılarak geni ş letilmesi sonucu elde edilmi ş tir. Yani 3/4 oranı 6/8 oranına dönü ş mü ş tür. Bu oranlar gösterimsel olarak farklı olmasına ra ğ men aynı de ğ i ş mez ili ş kiyi ifade etmektedir. Ba ş ka bir örnek vermek istersek, 3/4=6/8 orantısında birinci oran, 3/4 ifadesinde, 3 sayısal de ğ erinden 1 çıkardı ğ ımızı dü ş ünelim. Bu durumda oran 2/4 halini alır. Bu durumda, ikinci oran olan 6/8 ifadesindeki 6 sayısından çıkarılması gereken sayısal de ğ er 2 olmak zorundadır.

39 İ kinci oran ifadesindeki 6 sayısal de ğ eri, birinci oran ifadesindeki 3 sayısal de ğ erinin 2 katı alınarak dönü ş üme u ğ radı ğ ı için, 6 sayısal de ğ erinden çıkarılması gereken sayısal de ğ er aynı ş ekilde 3 sayısal de ğ erinden çıkarılan 1 sayısal de ğ erinin 2 katı alınarak dönü ş üme u ğ ramak durumundadır. Yani çıkarılması gereken sayısal de ğ er 2’dir. Dönü ş üm kavramının anla ş ılmaması durumunda ciddi ö ğ renme yanılgıları ortaya çıkmaktadır.

40 Yukarıda açıklanmaya çalı ş ılan tüm ö ğ eleri (nicel ve nitel muhakeme çe ş itleri) ele alarak orantısal dü ş ünebilme yetene ğ ini tekrar ve geni ş bir ş ekilde tanımlamak istersek: “Orantısal dü ş ünebilme yetene ğ i, yapısal benzerlik, kovaryasyon, de ğ i ş mezlik ve dönü ş üm kavramlarının tek tek farkındalı ğ ının kazandırılması ve ili ş kilendirilmesi ile aynı veya farklı ölçme uzaylarına ait çoklukların (nesnelerin) kar ş ıla ş tırılabilmesidir.

41 ORAN KAVRAMININ OLUŞTURULMASI SÜRECİNDE KARŞILAŞILABİLECEK MUHTEMEL KAVRAM YANILGILARI

42 Oran kavramıyla ilgili kavram yanılgıları, daha önce açıklanan nicel ve nitel muhakeme çe ş itleri göz önünde bulundurularak incelenecektir: Toplamsal ve çarpımsal ilişkilendirmeyle ilgili öğrenci yanılgıları Kovaryasyon ve dönüşüm ile ilgili öğrenci yanılgıları Değişmezlik konusundaki yanılgılar

43 Toplamsal ili ş ki kurabilme yetene ğ inin,oran kavramının ba ş langıç evresinin olu ş turmasından ziyade kavram yanılgılarından biri oldu ğ u görü ş ündedir(Lesh ve ark.,1988) Heinz (2000) sınıf ö ğ retmeni adaylarıyla yaptı ğ ı çalı ş masında ö ğ rencilere ş u soruyu sormu ş tur:’ 3 sarı limon ve 2 ye ş il limondan olu ş an karı ş ımın limon yo ğ unlu ğ u ile 4 sarı limon ve 3 ye ş il limondan olu ş an karı ş ımın limon yo ğ unlu ğ unu (ne kadar ek ş i oldu ğ unu) kar ş ıla ş tırınız.’ Heinz bu soruyu sorarken birinci karı ş ımı göstermek üzere 3 tane sarı renkli lego ve 2 ye ş il renkli lego;ikinci karı ş ımı göstermek üzere 4 sarı renkli lego ve 3 ye ş il renkli lego kullanmı ş ve ö ğ rencilerden sadece verilen legolar üzerinden dü ş ünmelerini ve hiçbir i ş lmsel çözüme gitmemelerini istemi ş tir.

44 İş lemsel çözüme gidemeyen bazı sınıf ö ğ retmeni adaylarının verdikleri cevaplarda açı ğ a çıkan kavram yanılgıları dü ş ündürücüdür: Bu ö ğ renciler iki karı ş ımın da aynı derecede yo ğ unlu ğ a sahip oldu ğ unu çünkü her iki karı ş ımda da sarı limon sayısının ye ş il limon sayısından “bir” fazla oldu ğ unu ifade etmi ş lerdir.

45 Bu ö ğ renciler çarpımsal ili ş kinin kullanılmasını gerektiren bi durum da (limonata nın tadını ne kadar ek ş i oldu ğ unun belirlenmesi ) toplumsal ili ş ki kurarak de ğ erlendirmeye gitmi ş lerdir. Aslında 3 sarı limon ve 2 ye ş il limondan olu ş an karı ş ımın limon yo ğ unlu ğ u 1,5 sarı limon/ye ş il limon dur.bu her ye ş il limon için 1,5 sarı limon olması gerekti ğ ini ve sarı limon sayısının ye ş il limon sayısı üzerinden,(ye ş il limon sayısına ba ğ ıl de ğ erinin) 1,5 oldu ğ unu gösterir(Heinz,2000). Aynı ş ekilde 4 sarı limon ve 3 ye ş il limondan olu ş an karı ş ımın limon yo ğ unlus ğ u 1.33… sarı limon sarı limon/ye ş il limon dur.bu her ye ş il limon için 1.33… sarı limon olması gerekti ğ i ve sarı limon sayısının ye ş il limon sayısına ba ğ ıl de ğ erinin 1.33… oldu ğ unu gösterir.bu durumda birinci karışım yani 3 sarı limon ve 2 yeşil limondan oluşan karışım daha limonidir (sarı limonun yeşil limona göre yoğunluğu daha fazladır ve dolayısıyla daha ekşidir). Bu ö ğ renciler çarpımsal ili ş kinin kullanılmasını gerektiren bi durum da (limonata nın tadını ne kadar ek ş i oldu ğ unun belirlenmesi ) toplumsal ili ş ki kurarak de ğ erlendirmeye gitmi ş lerdir. Aslında 3 sarı limon ve 2 ye ş il limondan olu ş an karı ş ımın limon yo ğ unlu ğ u 1,5 sarı limon/ye ş il limon dur.bu her ye ş il limon için 1,5 sarı limon olması gerekti ğ ini ve sarı limon sayısının ye ş il limon sayısı üzerinden,(ye ş il limon sayısına ba ğ ıl de ğ erinin) 1,5 oldu ğ unu gösterir(Heinz,2000). Aynı ş ekilde 4 sarı limon ve 3 ye ş il limondan olu ş an karı ş ımın limon yo ğ unlus ğ u 1.33… sarı limon sarı limon/ye ş il limon dur.bu her ye ş il limon için 1.33… sarı limon olması gerekti ğ i ve sarı limon sayısının ye ş il limon sayısına ba ğ ıl de ğ erinin 1.33… oldu ğ unu gösterir.bu durumda birinci karışım yani 3 sarı limon ve 2 yeşil limondan oluşan karışım daha limonidir (sarı limonun yeşil limona göre yoğunluğu daha fazladır ve dolayısıyla daha ekşidir).

46 Aynı türden yanılgı yine sınıf ö ğ retmeni adayları ile yapılan bir ba ş ka çalı ş mada da rapor edilmi ş tir (Simon & Blume, 1994). Simon &Blume çalı ş malarında ö ğ rencilerden,farklı kenar ölçüleri verilen dikdörtgenlerden hangisinin kareye daha yakın oldu ğ unu belirtmelerini istemi ş ve “hangisi daha kare’” ş elinde bir soru sormu ş lardır: Ö ğ rencilerin hemen hepsi verilen dikdörtgenlerin uzunlukları arasındaki farkı bulup,hangisi daha kare sorusunu toplamsal ili ş kilendirme (artan/azalan ili ş ki ) ile de ğ erlendirmi ş lerdir.göze çarpan kavram yanılgısı yine çarpımsal ili ş ki kullanılarak (uzun kenar ile kısa kenarın göreceli durumu) de ğ erlendirilmesi gereken durumda kareselli ğ in ölçümünü ifade eden oran yerine toplamsal ili ş ki kullanımının ön plana çıkmasıdır.

47 **Kovaryasyon Ve Dönü ş ümle İ lgili Ö ğ renci Yanılgıları Kavram yanılgıları sadece çarpımsal ili ş ki gerektiren durumlara toplamsal ili ş kinin uygulanması durumunda ortaya çıkmaz!

48 Karplus ve arkada ş ları (1983) bir 7.sınıf ö ğ rencisi ile yaptıkları çalı ş mada ö ğ renciden boyutları 2 cm ve 3 cm olarak verilen bir dikdörtgeni ş ekli koruyarak geni ş letilmesini istemi ş lerdir. Ö ğ renci ba ş langıçta verilen dikdörtgenin boyutlarını iki katına çıkarmı ş ve 4 cm ve 6 cm ölçülerinde bir dikdörtgen elde ederek soruyu do ğ ru yanıtlamı ş lardır. 3 cm 2 cm 6 cm 4 cm

49 Bu ö ğ renciden dikdörtgeni ş ekli koruyarak yeniden geni ş letmesini ve bu sefer uzun kenarın ölçüsünü 9 cm olarak bulmasını istemi ş lerdir.ö ğ rencinin verdi ğ i cevapta uzun kenarın ölçüsü 9 cm iken kısa kenarın ölçüsü 7 cm olmu ş tur: 6 cm 4 cm 7 cm 9 cm

50 Ö ğ rencinin açıklaması “e ğ er 6 cm yi iki katına çıkarsa idim 12 cm olcaktı,o yüzden 3 ü ekledim böylece 9 a ula ş tım” olmu ş tur.Burada ö ğ rencinin 6 cm’ye 3 cm ekleyip 9 cm’yi bulması dü ş ündürücü olan kısım de ğ ildir.Dü ş ündürücü olan kısım 4 cm’ye de 3 cm ekleyerek 7 cm’yi bulmu ş olmasıdır. E ğ er ö ğ renci orantısal dü ş ünebilme yetene ğ ine sahip (yani oran kavramını ö ğ renmi ş ) olsa idi,4 cm ye eklemesi gereken ölçümün 2 cm olması gerekti ğ ini bilecektir.Ama ö ğ renci tamamen toplamsal muhakeme ile her iki boyutun uzunlu ğ unu 3’er cm geni ş leterek cevabına ula ş mı ş tır.Yani ö ğ renci dikdörtgenin iki boyutunda aynı anda bir de ğ i ş imin söz konusu oldu ğ unu kavramı ş,ama bu de ğ i ş imin çarpımsal bir ili ş kilendirme (kovaryasyon ) gerektirdi ğ i noktasında eksik kalmı ş tır.

51 Daha önce bahsetti ğ imiz üzere bir ara ş tırmada, 3/4=6/8 oran e ş itli ğ inde (orantı), 3-1/4=6-?/8 durumunda “?”yerine gelecek sayı soruldu ğ unda ö ğ renciler yine “1” yazmı ş lardır(Behr,Wachsmuth,Post,&Lesh,1984).Verilen bu cevabı kovaryasyon ve dönü ş üm kavramlarının kullanılamamı ş olmasına ve kavram yanılgısının varlı ğ ına ba ğ layabiliriz.Çünkü oran kavramı geli ş mi ş ö ğ rencinin vermesi gereken cevap “?” yerine 2 gelmesi gerekti ğ idir.Sebebi ise 3 ve 6 sayısı ile gösterilen çoklukların arasındaki ili ş kinin yapısı gere ğ i (6,3’ün 2 katı olup orantıda bu ili ş kinin bozulmaması gereklili ğ i) 3’te meydana gelen de ğ i ş ikli ğ in aynı anda 6’da da meydana gelmesi gerekti ğ inin dü ş ünülmesidir. Aynı ş ekilde kovaryasyon kavramı da bu de ğ i ş ikli ğ in yapısının aynı türden(çarpımsal) bir de ğ i ş iklik olması gerekti ğ inin kavramla ş tırılması olarak kar ş ımıza çıkmaktadır.Bu durumda 3’ten çıkarılan 1 sayısının 3’ün üçte biri(1/3) oldu ğ unun ve 6 sayısından çıkarılması gereken mikterın da 6’nın üçte biri (1/3) olması gerekti ğ inin muhakeme edilebilmesidir.

52 İş te ancak bu durumda e ş itlik hem nicel anlamda hem de nitel anlamda de ğ i ş meyecektir;çünkü oranın ifade etti ğ i durumun özelli ğ i (bu özellik yo ğ unluk,hız vs. olabilir) bir durumdan (birinci oranın ifade etti ğ i orijinal durum ) ba ş ka bir duruma geçerken (ikinci oranın ifade etti ğ i durum) korunmu ş olacaktır.

53 **Değişmezlik Konusundaki Yanılgılar De ğ i ş mezlik ile ilgili kavram yanılgıları üzerinde yapılan ara ş tırmalardan elde dilen ş u örnekler yardımcı olacaktır.Simon ve Blume (1994) sınıf ö ğ retmeni adayları ile yaptılkları çalı ş mada bir tepenin rampasının (e ğ iminin) gösterimi üzerine ö ğ renciler ile tartı ş malar yapmı ş lardır.Bu çalı ş ma sırasında ö ğ renciler arasında geçen konu ş malarda öne çıkan dü ş ünce tarzları dikkat çekicidir.Ö ğ rencilerin bir kısmı rampanın e ğ iminin yüksekli ğ in (dü ş ey eksenin) sayısal de ğ eri ile ifade edilmesi gerekti ğ ini, di ğ er bir kısmı rampanın tabanının (yatay eksenin) sayısal de ğ eri ile ifade edilmesi gerekti ğ ini savunmu ş lardır.Burada göze çarpan yanılgı,dü ş ey eksenin yatay eksene ba ğ ıl de ğ erinin(oran) göz önünde bulundurulamaması ve oranın tepenin e ğ iminin ölçümü oldu ğ unu dü ş ünülememesidir.Bu anlamda de ğ i ş mezlik kavramının nicel olarak de ğ erlendirilmesinde eksiklikler göze çarpmaktadır.

54 ORAN KAVRAMININ OLUŞTURULMASINDA KARŞILAŞILABİLECEK MUHTEMEL ÖĞRENME ZORLUKLARI Oran kavramın olu ş turulmasında ortaya çıkan zorluklar sadece kavram yanılgıları ile sınırlı de ğ ildir.Farklı ö ğ renci gruplarından elde edilen örnekleri de ğ erlendirdi ğ imizde oran kavramının içerdi ğ i kovaryasyon,de ğ i ş mezlik ve dönü ş üm kavramlarının kullanılmasını öngören ve orantısal dü ş ünceyi gerektiren durumlarda ö ğ rencilerin bir takım sorunlarla kar ş ıla ş tıkları görülmektedir. Lamon (1995) çalı ş masında,oran kavramının olu ş turulması sürecinde ö ğ rencilere nitel gözlem yapabilecekleri de ğ i ş ik durumları inceleme fırsatı verilmesinden bahsetmi ş tir.Bunun için ö ğ rencilere hem mutlak anlamda hem de relatif (göreceli) anlamda muhakeme yapabilecekleri örneklerin verilmesini önermi ş tir.

55 Örnek vermek gerekirse “ ‘ A ‘ ve ‘B’ a ğ açlarının ş u andaki boyları 1.5 metre ve 2 metre olsun.Bir yıl sonra,yeniden boyları ölçüldü ğ ünde ‘A’ a ğ acının boyu 2 metre ve ‘B’ a ğ acının boyu 2.5 metre olarak ölçülüyor.’A’ ve ‘B’ a ğ açlarının ş u andaki boyları ile bir yıl sonraki boylarını kar ş ıla ş tırarak büyümeleri hakkında ki dü ş üncelerinizi ifade ediniz?’’(LAMON 1995) Bu ve benzeri örnekler de göze çarpan büyüme ‘’oranları’’ diye bir ibarenin kullanılmamı ş olmasıdır.Ö ğ rencilerden sadece a ğ açların boylarının kar ş ıla ş tırılması ve büyümeleri hakkındaki dü ş üncelerini ifade etmeleri istenmi ş tir.Bu durumda ö ğ rencilere iki çe ş it de ğ erlendirme yapabilme olana ğ ı verilmektedir.Birincisi,mutlak anlamda büyümeye bakma, ikincisi ise göreceli anlam da büyümeye bakma.Birinci durumda her iki a ğ aç ta 0.5 metre büyüdü ğ ünden,büyümeleri aynıdır denilebilir.Bu dü ş ünce toplamsal dü ş ünebilme yetene ğ i bir örnektir.Durum göreceli olarak de ğ erlendirildi ğ inde ise birinci a ğ acın büyüme oranının 2/1,5 ve ikinci a ğ acın büyüme oranının ise 2,5/2 oldu ğ u görülür (Lamon 1995). Bu durumda,birinci a ğ aç daha hızlı büyümü ş tür. İş te Lamon ‘ın da bahsetti ğ i gibi bu ve benzeri örneklemeler verilerek ö ğ rencilerin farklı nicel ve nitel muhakeme çe ş itlerini kullanabilme yetileri geli ş tirilebilir.Böylece ö ğ renciler oran kavramını içeren durumlarla kar ş ıla ş tıklarında ne gibi bir muhakeme yapmaları gerekti ğ i konusunda fikir sahibi olabilecekler ve zorluk ya ş amayacaklardır.

56 Ö ğ rencilerin kar ş ıla ş abilecekleri di ğ er bir zorluk ise Heinz ‘in (2000) çalı ş masında kar ş ımıza çıkmaktadır.Heinz (2000)sınıf ö ğ retmeni adayları ile yaptı ğ ı çalı ş masında,oranı çarpımsal ili ş kilendirme içerisinde dü ş ünemeyen ve tekrarlı –toplamsal ili ş kilendirme düzeyinde kalan adayların verilen soruyu de ğ erlendirirken belli bir noktadan öteye gidemediklerini gözlemi ş tir.Örne ğ in,sınıf ö ğ retmeni adaylarından ‘’iki arkada ş ın üzerinde tek ba ş larına çalı ş tıklarında 6 saat ve 4 saatte bitirdikleri bir i ş i,ikisi beraber çalı ş tı ğ ında ne kadar sürede bitirecekleri ‘’konusunda yargıda bulunmaları istenmi ş tir.Bu soru üzerine dü ş ünmeleri istenirken ö ğ retmen adaylarına bilinen veya tanıdık i ş lemsel çözümlere ba ş vurmamaları kısıtlaması getirilmi ş tir.Sınıf ö ğ retmeni adayları bildikleri i ş lemsel çözüm yöntemlerine ba ş vurmadan ş u ş ekilde bir açıklama yapmı ş lardır:iki arkada ş ın beraber çalı ş ması durumunda 1 saat içerisinde i ş in 5/12 si biter.Di ğ er 1 saat içerisinde ise i ş in 5/12 si daha biter,böylece 2 saat içerisinde ise i ş in 10/12 sini bitirirler.Burada ö ğ renciler yapılan i ş miktarı ile geçen süre (1 saat ) arasında bir ili ş kilendirme kurabilmi ş lerdir.Bu ili ş kilendirmenin do ğ ası toplamsaldır(tekrarlı toplama); çünkü her geçen sürede (her saatte) i ş in 5/12 sinin bitirilece ğ i dü ş ünülmektedir ve ekleme yapılarak çözüme gidilmektedir.(Heinz,2000).Fakat ilginç olanı,sınıf ö ğ retmeni adaylarının i ş in geriye kalan 2/12 lik kısmının ne kadar sürede bitirilece ğ ine dair yorumda bulunmamı ş olmalarıdır.Ö ğ retmen adayları bu iki arkada ş ın i ş i 12 saatten daha fazla bir sürede bitirebilecekleri kanaatine varmı ş ve daha ötesine gidememi ş lerdir (Heinz,2000).

57 Burada dikkatimizi çeken nokta bu çalı ş mada sınıf ö ğ retmeni adaylarından hiç bir i ş lem yapmadan, tamamen yapılan i ş miktarı ile geçen süre arasında bir ili ş kilendirme kurarak problem hakkında dü ş ünmelerinin istenmi ş olmasıdır.Bu durumda açı ğ a çıkan sonuç ise ; oran kavramı tam olarak olu ş turulmaması durumunda ö ğ renciler oran kavramı gerektiren durumlarda en azından belirli bir noktadan öteye gidemeyecekler.Kar ş ıla ş an zorluk,kovarvasyon kavramının henüz tam olarak olu ş turulmamı ş olmasıdır.En azından kısmen dahi olsa i ş in geriye kalan kısmı ile biten kısımları arasındaki ba ğ lantı kurulamamı ş tır.E ğ er ö ğ renciler 2 saat içinde i ş in biten 10/12 lik kısmının,i ş in geriye kalan 2/12 lik kısmının 5 katı oldu ğ unun farkına varmı ş olsa idiler,saat 2 saatlik süresinin de ‘geriye kalan sürenin 5 katı ‘ olması gerekti ğ ini dü ş ünebileceklerdi.

58 Dolayısıyla,geriye kalan sürenin 2/5 saat oldu ğ u kanaatinde varabileceklerdi.Aynı ş ekilde e ğ er ö ğ renciler kovarvasyon kavramını tam olarak olu ş turmu ş ve zorluk ya ş amıyor olsa idiler, ş u ş ekilde dü ş ünmeleri beklenecekti.Bir saatlik süre ile i ş in bitimi için gereken toplam süre arasındaki ili ş ki,bir saat içerisinde yapılan i ş miktarı ve toplam i ş miktarı arasındaki ili ş ki ile aynıdır.Bu sebeple,tüm i ş miktarı yani 12/12, bir saat içinde yapılan i ş miktarı 5/12 nin 12/5 katıdır. İş in bitmesi için gerekli olan toplam süre de aynı ş ekilde 1 saatlik sürenin 12/5 katı olmak zorundadır.Dolayısıyla,i ş i bitirmek için gereken toplam süre 12/5 saat olacaktır.

59 Son olarak ö ğ rencilerin kar ş ıla ş abilece ğ i zorluklar arasında dönü ş üm ve oran kavramı arasındaki ili ş kinin yeterince anla ş ılamaması verilebilir.Daha önce de bahsedildi ğ i üzere,dönü ş üm e ş itlik kavramını içerir.Oranı gösteren kesirsel ifadenin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılıp (veya bölünerek) geni ş letilebilir veya küçültülebilir.Bu ba ğ lamda oranın e ş itli ğ i kesirlerin e ş itli ğ i ile i ş lemsel ve gösterim açısından benzerdir(Kaput&West,1994 ). Örne ğ in,12/15 matematiksel ifadesini ister kesir olarak dü ş ünelim isterse oran olarak dü ş ünelim,aynı sayılara bölerek veya aynı sayılara çarparak geni ş letebilir ve sadele ş tirebiliriz. Bu gösterimlerin farkı ise neyi ifade ettiklerinde gizlidir (Kaput %West,1994).Örne ğ in,12/15=4/5 e ş itli ğ inin denk kesirler olarak ifadesindeki anlam,aynı miktarın farklı gösterimleri oldu ğ udur. Burada kesir ifadesinden kasıt parça-bütün ili ş kisinin gösterimidir.Yani paydanın bütünün kaç parçaya ayrıldı ğ ını ve bu payın bu parçalardan kaçımın de ğ erlendirmeyle alındı ğ ını gösteren ili ş kidir.12/15 kesirsel ifadesi bütünün 15 e ş it parçaya ayrıldı ğ ını ve bu parçalardan 12 tanesinin de ğ erlendirildi ğ ini ifade eder. Aynı ş ekilde,4/5 kesirsel ifadesi (aynı) bütünün 5 e ş it parçaya ayrıldı ğ ını ve bu parçalardan 4 tanesini de ğ erlendirilmeye alındı ğ ını gösterir.Bu durumda hem 12/15 hem de 4/5 kesirsel ifadeleri ile gösterilen aynı bütünün e ş it miktarlarına tekabül eder.

60 Çünkü 12/15 kesri,4/5 kesrinin her çe ş it parçasının (5e ş it parça)tekrar 3’e ş it parçaya bölünmesi sonucu olu ş mu ş tur.Dolayısıyla 4 parçası alınmı ş bir miktara denk gelen kısım artık 4*(3e ş it parça) dan 12 e ş it parçaya denk gelir.Di ğ er bir deyi ş le,12/15 kesri ve 4/5 kesri aynı miktarı ifade eder.Halbuki, bu iki ifade e ş it oranları gösterdi ğ inde,farklı miktarlardan bahsetmektedir.12/15 oranı ile 4/5 oranı sayısal anlamda farklı iki miktarın öne çıktı ğ ı ama aynı özelli ğ e sahip olan bir durumu ifade eder. Örnek vermek istersek,4 bardak saf limon suyu ve 1 bardak saf su karı ş ımı,yine ilk karı ş ımdaki bardaklar kullanıldı ğ ında 12 bardak saf limon suyu ve 3 bardak saf su karı ş ımından miktar olarak farklılık göstermesine ra ğ men tad olarak aynıdır.Bu anlamda oran kavramı ile kesir kavramının (parça-bütün ili ş kisi ) ortak ve farklı yönlerin farkında olunmasına yarar vardır.Ö ğ rencilerin farkındalı ğ ını farklı aktiviteler kullanarak artırılabilinir (Aktiviteler için bakınız Van De Walle,2000).Örnek vermek gerekirse ‘’Alan modelini kullanarak ö ğ rencilerimizin a ş ina oldu ğ u birkaç tane farklı kesri çiziniz.Mesela,daire modelini kullanarak 2/3, 1 /2 ve 3/4 kesirlerini çiziniz.Aynı ş ekilde bu kesirlere denk olan ba ş ka birkaç tane kesrin çizimini de daha önceden hazırlayıp keserek ö ğ rencilerinize veriniz. Mesela 2/3 kesri için 4/6 ve 8/12 kesirleri çizilip kesilir.

61 Ö ğ rencilerinizden kesilmi ş ş ekilde verilen kesirleri kullanarak,çizimleri verilen ifade etti ğ i miktarlara denk gelenleri bulmalarını isteyiniz.Gözlemlerini ve fark ettikleri görüntüleri yazmalarını isteyiniz.(italik olarak yazılmı ş kısımlar uyarlanmı ş tır,Van De Walle,2008,p.309)Bu aktivite parça -bütün ili ş kisini ifade eden kesirlerin denklik anlamının farkındalı ğ ının geli ş tirebilmesi için kullanılabilir.Öte yandan denk oranları gösteren kesirler ifadelerin farkındalı ğ ın geli ş tirmesine katkıda bulunabilecek ş u aktivite kullanılabilir.’’Üzerinde farklı ş ekiller bulunan kartlar hazırlayınız.Mesela üzerinde 4 bardak saf limon suyu ve 1 bardak saf su bulunan veya 3 bardak saf limon suyu ve 1 bardak saf su bulunan kartlar hazırlayınız. Ayrıca bu kartlar ifade etti ğ i oranlara denk gelecek oranları gösteren ba ş ka kartlarda hazırlayınız.Ö ğ rencilerinizden hangi kartlardaki saf limon suyunun saf suya oranının ve saf limon suyunun tüm karı ş ımına oranın di ğ er kartlarla aynı oldu ğ unu bulmalarını isteyiniz.’’(uyarlanmı ş tır, Van De Walle,2008,p.359) Bu farkındalık rasyonel sayı kavramı içerisinde,rasyonel sayıların farklı anlamları konu ş ulurken ‘’ parça –bütün ili ş kisi anlamı ‘’ ve ‘’oran anlamı ‘nın anla ş ılmasını sa ğ layacaktır.Oran kavramının taban te ş kil etti ğ i olasılık,cebir,ölçme gibi kavramlarının da oran kavramı ile ili ş kilerinin belirlenmesi ve bu farkındalı ğ ın ö ğ rencilere kazandırılması gerekmektedir.

62 Oran Konusunda Kavram Yan ı lg ı lar ı Ve Ö ğ renme Zorluklar ı Üzerine Çözüm Önerileri Daha önce de üzerinde duruldu ğ u üzere,Heinz’in (2000) çalı ş masında ele alınan ‘’iki arkada ş üzerinde tek ba ş larına çalı ş tıklarında 6 saat ve 4 saatte bitirdikleri bir i ş i,ikisi beraber çalı ş tı ğ ında ne kadar sürede bitireceklerdir?’’ sorusu,müfredatımızda da yer alan klasik bir i ş çi problemidir.Aslında bu çalı ş mamızda mevcut ilkö ğ retim matematik ö ğ retim programı hakkında geni ş çaplı bir de ğ erlendirmeye gitmeyece ğ iz, fakat konuya açıklık getirmesi açısından mevcut ilkö ğ retim matematik programında yer alan ve 6. sınıftan itibaren ö ğ retilmeye ba ş lanan oran- orantı konusuna kısaca de ğ inmek gerekmektedir. Bu alt bölümde, daha önce bahsi geçen bazı çalı ş maları tekrar gözden geçirerek yeni bir bakı ş açısı ile çözüm önerileri üretmeye çalı ş aca ğ ız.Bu amaçla, kavram yanılgıları ve ö ğ renme zorlukları alt bölümlerinde bahsi geçen bazı çalı ş maları ele alaca ğ ız.

63 Matematik ö ğ retim programında (Demir,2007)ne yazık ki,oran- orantı konusu i ş -havuz problemleri, yüzde –faiz problemleri ve karı ş ım problemleri olarak adlandırılan konular ile ili ş kilendirilmeden ele alınmaktadır.Halbuki,i ş çi-havuz, yüzde –faiz ve karı ş ım problemleri olarak adlandırılan konular oran kavramının örneklemeleridir.Aynı ş ekilde,ortalama de ğ er bulma (aritmetik ortalama )kavramı da –birden fazla anlam içerdi ğ inden farklılıklar göstermesine ra ğ men –yine oran kavramına dayanmaktadır.Bu kavramla ilgili bazı örneklerinde oran kavramı çerçevesinde verilmesi ö ğ rencilerin tüm bu konuları birbirleri ve oran kavramı ile ili ş kilendirerek ö ğ renmelerine ve kalıcı ve anlamlı bilgiye sahip olmalarına yardımcı olacaktır. Bu konuların oran kavramı ile ili ş kilendirilmeden,birbirinden ayrık konular olarak veriliyor olması (ve hatta yüzde ve oran kavramlarının sadece bir veya ile ili ş kilendiriliyor olması;bakınız,Demir,2007),oran kavramının eksik olarak (sadece i ş lemsel olarak) ö ğ renilmesine ve ö ğ rencilerin daha sonraki dönemlerde kavramsal anlama gerektiren durumlarda zorluklar ya ş amasına sebebiyet te ş kil etmektedir.

64 Akar(2007) çalı ş masında,klasik oran-orantı sorularının ö ğ rencilerin hangi kavram düzeyinde oldu ğ unu ve ne anladıklarını açıklamada yetersiz kaldı ğ ını göstermi ş tir. Ara ş tırmacı,oran kavramının farklı düzeylerine ait sorular üzerine dü ş ünürken kavram yanılgısı oldu ğ u anla ş ılan aday ö ğ retmenlerin, klasik oran-orantı sorularının tümünü do ğ ru olarak yanıtlayabildiklerini ortaya koymu ş tur.Ayrıca,farklı kavram düzeylerine sahip ö ğ rencilerin de klasik oran-orantı sorularına aynı ş ekilde cevap verdiklerini,içler dı ş lar çarpımı yaparak çözdüklerini göstermi ş tir. Klasik oran-orantı problemlerinden kasıt iki oran e ş itli ğ i kurularak ve içler-dı ş lar çarpımı yapılarak çözülebilen ve bir bilinmeyeni bulunan problemlerdir.Bu anlamda,Akar(2007) matematik e ğ itimi alanındaki ö ğ retimde kullanılan oran-orantı ile ilgili klasik soruların yeniden gözden geçirilmesi gerekti ğ ini ifade etmi ş ve aksi takdirde ileriki safhalarda oran kavramını baz alan matematik ve fen bilimleri alanlarında ö ğ rencilerin ciddi sıkıntılar ya ş ayabilece ğ ine dikkat çekmi ş tir.Türkiye’deki mevcut ilkö ğ retim matematik programındaki oran-orantı konusu ve verilen örnekler de ğ erlendirildi ğ inde,Akar’ın (2007) bulgularına dayanarak,bu örneklerin sadece i ş lemsel matematik bilgisi (yani içler- dı ş lar çarpımı yapılarak çözülebilecek derecede matematik bilgisi) gerektiren düzeyde kalmaması için özen gösterilmelidir.Daha önce Lamon’un (1995) çalı ş masında da bahsedildi ğ i üzerinde,oran kavramının gerek nitel gerek nicel muhakeme çe ş itlerine örnek olabilecek ve ö ğ rencilerin dü ş ünmelerine fırsat olu ş turacak sorular etrafında ş ekillendirilmesi bu amaca hizmet edecektir.Bu anlamda,hem ö ğ retmenlerimize hem de program geli ş tirme komitelerine büyük sorumluluk dü ş mektedir.

65 Akar (2007) çalı ş masında oran-orantı ö ğ retimindeki mevcut klasik problemlerin ö ğ rencilerin oran kavramı hakkında ölçme ve de ğ erlendirmesi yapıldı ğ ında da yetersiz olaca ğ ı bulgusuna ula ş mı ş tır.Orantıyı olu ş turan iki oranın anlamlarının – neyi ifade ettiklerinin- sorgulandı ğ ı ve gerek diyagramlar yoluyla gerekse grafikler yoluyla birimli ve birimsiz oranların açıklamalarının ön plana çıkarıldı ğ ı soruların ö ğ renciye yöneltilmesi ve ö ğ rencinin dü ş ünmeye te ş vik edilmesi verebilece ğ imiz çözüm önerileri arasında yer almaktadır.

66 Sonuç Ve Değerlendirme Kısaca özetlemek gerekirse,bu bölümde amacımız oran kavramına ait kavram yanılgılarının ve ö ğ renme zorlukları üzerinde durmaktı.Bunun için öncelikle orantısal dü ş ünebilme yetene ğ inin anlamına ve oran kavramına ait olan bazı alt kavramların (nicel ve nitel mahkeme çe ş itlerinin ) açıklamalarına yer verdik ve oran kavramı ile ili ş kilerinden bahsettik. Maalesef,literatürde oran kavramının alt yapısını olu ş turan, kovaryasyon, de ğ i ş mezlik,dönü ş üm ve toplamsal –çarpımsal ili ş kilendirme yapabilme yeteneklerinin hangisinin daha ön planda ö ğ retilmesi gerekti ğ ini öngören bir çalı ş ma bulunmamaktadır.Toplamsal ve çarpımsal ili ş kilendirme yapabilme yetene ğ inin ilkö ğ retim yıllarının ba ş langıcında itibaren verilmeye çalı ş ıldı ğ ı ve söz ü edilen di ğ er kavramların bu iki ili ş kilendirmeyi içerdi ğ i göz önünde bulundurularak, elbette ki bir çıkarım yapmak mümkün olabilmektedir yine de ara ş tırma yapmadan hangi kavramın önce verilmesi gerekti ğ i noktasında kesin bir kanıya varmak mümkün de ğ ildir.

67 Varabilece ğ imiz olası sonuçlardan biri oran kavramının kavram yanılgılarının ve ö ğ renme zorluklarının engellenebilmesi için hem ö ğ rencilerin hem de hizmet vermekte olan ve aday ö ğ retmenlerinin bu kavramlarının anlamına dair farkındalı ğ ının geli ş tirilmesinin gerekti ğ idir. Oran kavramının kavramsal olarak ö ğ retilmesinde katkıda bulunabilece ğ ini dü ş ündü ğ ümüz ana noktalar ise ş öyle özetlenebilir: oran kavramının farklı kavram düzeylerinin bilinmesi, belirli nicel muhakeme güçleri ile ili ş kisinin kavranması,nitel gözlem gerektiren ve hem mutlak ve hem de göreceli örneklemelerin ö ğ rencilere sunulması, klasik oran-orantı problemlerinin avantajlı ve dezavantajlı noktalarının farkındalı ğ ının geli ş tirilmesi,oran ı ifade eden gösterimin hem i ş lemsel anlamının hem de kavramsal anlamının bilinmesi. Tekrar ifade etmek gerekirse özellikle ö ğ retmen adayları ve hizmet veren ö ğ retmenlerimizin bu farkındalı ğ a sahip olmaları daha etkili bir matematik ö ğ retimi için büyük önem ta ş ımaktadır.

68 HAZIRLAYANLAR BUKET SERT/ ELİF MAAŞOĞLU/ ZEYNEP BASTAN/ NİHAL BÖRTA/


" ORANTISAL DÜ Ş ÜNEB İ LME YETENE Ğİ  ORAN VE ORANTI  TOPLAMSAL VE ÇARPIMSAL İ L İŞ K İ LEND İ RME YAPAB İ LME YETENE Ğİ  N İ TEL MUHAKEME VE N İ." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları