Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ"— Sunum transkripti:

1 1999-2000 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ
IRRASYONEL SAYILAR REEL SAYILAR MUTLAK DEĞER EŞİTSİZLİKLER

2 REEL SAYILAR SAYI: Bir çokluk belirtecek şekilde, rakamların bir araya getirilmesiyle oluşan ifadelere sayı denir. Örneğin: 10, 345,17 ,-33,95,7,  İfadeleri birer sayıdır. Bu sayılar rakamlar yardımıyla ifade edilir. Bu rakamlar: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9’ dur.  Her rakam bir sayıdır. Ör: 8 bir sayıdır, 0 bir sayıdır.  Ancak her sayı bir rakam değildir. Ör: 11 bir rakam değildir. 29 bir rakam değil, sayıdır. 18

3 Biz sayıları 5 sınıfta toplayabiliriz
1. DOĞAL SAYILAR N={0,1,2,3,.....} kümesinin her bir elemanına bir “doğal sayı” denir. Doğal sayılar “N” ile ifade edilir. N+={1,2,3,.....} kümesinin elemanlarına “sayma sayıları” veya “pozitif doğal sayılar” denir. Z={ ,-1,0,1,2,...} kümesinin her bir elemanına “ tam sayı” denir. Burada Z+= {1,2,3,4.....} kümesinin elemanlarına “pozitif tam sayılar kümesi” denir. 2. SAYMA SAYILARI 3. TAM SAYILAR

4 Ayrıca burada sayma sayılarının birer pozitif tam sayı olduğu görülüyor.
Z- = { ,-3,-2,-1} kümesine “negatif tam sayılar kümesi” denir. Sıfır tam sayısı pozitif veya negatif değildir. Bu durumda; Z=Z-{0} Z+ dir.

5 Rasyonel sayılar kümesi: Q= {a/b: a,bZ ve b0} dır.
4. RASYONEL SAYILAR a ve b birer tam sayı ve b0 olmak üzere “a/b” şeklinde yazılabilen sayılara “rasyonel sayılar” denir. Rasyonel sayılar kümesi: Q= {a/b: a,bZ ve b0} dır. Ör: 1/5, 23/19, -7/3 , 4/1, 0/5 sayıları rasyonel sayılardır.  Bütün tam sayılar “1” ile bölünebilir. Bunun için bütün tam sayılar birer rasyonel sayıdır.

6 5. “İrrasyonel sayılar” Rasyonel (doğal sayı, sayma sayısı veya tam sayı) olmayan sayılara irrasyonel sayılar denir. Bir başka ifade ile virgülden sonrası kesin olarak bilinemeyen, sonsuza giden, sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi: Q’= {a/b biçiminde yazılamayan sayılar: a,bZ ve b 0} dır. İrrasyonel sayılar: Q’ ile ifade edilir. Ör: 5, 7, 33, , Sayıları birer irrasyonel sayıdır. Hem rasyonel hem irrasyonel sayı yoktur. QQ’= dir.

7 İşte bütün bu sayıları, doğal sayılar, sayma sayıları, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar, kapsayan kümeye REEL SAYILAR KÜMESİ denir. Değişik bir ifade ile; rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel, gerçel, sayılar denir. Ör: -5,-7,4/9, 2,2,5/2,2 sayıları birer reel sayıdır.  Bilimsel kaynaklarda doğal sayılar kümesi; IN, tam sayılar kümesi; Z sembolüyle, rasyonel sayılar kümesi; Q, reel (gerçel) sayılar kümesi; IR sembolu ile gösterilmektedir.

8 TAM SAYI ÇEŞİTLERİ 1. Tek Sayı, Çift Sayı: 2 ile tam olarak bölünebilen tam sayılara çift sayı, 2 ile tam olarak bölünemeyen sayılara tek sayı denir. n bir tam sayı olmak üzere çift sayılar 2n, tek sayılar ise 2n-1 ya da 2n+1 ile gösterilir. Çift sayılar kümesi: Ç={......,-4,-2,0,2,4,.....} Tek sayılar kümesi: T={ , -3,-1,1,3,......} şeklindedir. iki tek sayının toplamı ve farkı çift sayı, çarpımı tek sayıdır: T+T=Ç T-T= Ç TxT= T Ör: 5+3=8 çift sayı x3=15 tek sayı 5-3=2 çift sayı

9  İki çift sayının toplamı, farkı, çarpımı çift sayıdır.
Ç+Ç=Ç Ç-Ç= Ç ÇxÇ=Ç Ör: 4+10 =14 çift sayı 4-10 = -6 çift sayı 4x10 =40 çift sayı  Tek sayı ile çift sayının toplamı ve farkı tek sayı, çarpımı çift sayıdır. T+Ç=T T- Ç=T TxÇ=Ç Ör: 7+2=9 tek sayı 7-2=5 tek sayı 7x2=14 çift sayı

10  Çift sayıların tüm pozitif tam kuvvetleri yine bir çift sayıdır.
nZ+ , Çn=Ç Ör: 4 bir çift sayıdır. 42 = 4x4 = 16 çift sayı 43 = 4x4x4= 64 çift sayıdır  Tek sayıların tüm pozitif tam kuvvetleri yine bir çift sayıdır. nZ+ , Tn=T Ör: 5 bir tek sayıdır. 52 = 5x5 = 25 tek sayıdır. 53 = 5x5x5= 125 tek sayıdır. Örnek: m tek sayı ve n çift sayı olmak üzere; a. m2 + n+3 b. 3m- 2n +2 c. (m+n)2 -mn ifadelerinin tek ya da çift olduğunu bulalım.

11 Çözüm: m tek sayı ve n çift sayı olduğuna göre, m=1, n=2 seçelim
a. m2 +n+3= =6  çift sayı b. 3m-2n+2= 3x1-2x2+2= 3-4+2= 1  tek sayı c. (m +n)2-mn= (1+2)2 -1x2 = 9-2 = 7  tek sayı. 2. Pozitif Sayı, Negatif Sayı: Sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar; sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir. Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitifdir. n Z+ , a>0 ise an>0 Ör: 53= 125, 24= 16, 32= 9, (1/3)3= 1/27  Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatifdir. n Z+ , a<0 ise a2n>0, a2n+1<0 Ör: (-3)2 = 9, (-2)3 = -8, (-1)5=-1, (-1/2)4= 1/16

12 Aynı işaretli iki sayının çarpımı ve bölümü pozitifdir.
a ile b aynı işaretli ise axb>0 ve a/b>0 dır. Ör: 3x5= , (-7)x(-1/3)=7/3 Zıt işaretli iki sayının çarpımı ve bölümü negatifdir. a ile b ters işaretli ise axb<0 ve a/b<0 Ör: 1/2x(-5)= -5/ , /15=-1/3 Ör: x<0<y olduğuna göre a. xy b. -3x/y c. x-y d. (x-y)/xy ifadelerinin işaretlerini bulalım. Çözüm: x negatif, y pozitif olduğu için; x= -1, y= 1 alabiliriz. a . xy= (-1) (1) = -1negatif b. -3x/y=(-3)(-1)/1= 3 pozitif c. x-y = (-1)-1=-2 neagtif. d. (x-y)/xy= ((-1)-1)/(-1)1= -2/-1= 2 pozitif

13 3.Ardışık Sayılar: Belli bir kurala göre ard arda sıralanana sayılara ardışık sayılar denir.
n bir sayma sayısı olmak üzere; Ardışık doğal sayılar = {0,1,2,3,...n,.....} Ardışık tam sayılar = {...,-n,...,-3,-2,-1,1,2,3...,n,...} Ardışık çift sayılar= {...,-2n,...,-2,0,2,...,2n,...} Ardışık tek sayılar= {...,-2n-1,...,-3,-1,1,3...,2n-1,...} Örnek: 3’ ün katı olan ardışık 3 tam sayının toplamı 54’ tür. Bu sayıların ortancası kaçtır? Çözüm: Aradığımız sayıya “x” diyelim. 3’ün katı olan ardışık sayılar 3’ er 3’ er arttığı için x’ ten bir sonraki sayı x+3, bir önceki sayı ise x-3’ tür. x-3+x+x+3=54 3x=54 x=18

14 a. Ardışık Sayıların Sonlu Toplamları: Ardışık sayılardan sonlu tanesinin toplamını bulmak için şu formülü kullanabiliriz. r: ilk terim , n: son terim, x:artma miktarı olmak üzere: (n+r)(n-r+x) r+(r+x)+(r+2x)+....+n= ___________________ x Örnek: toplamını bulalım. Çözüm: ilk terim=5 , son terim=77, artma miktarı=3’ tür (77+5)(77-5+3) x75 = _______________________ = ____________ = 1025’ tir x Bazı özel ardışık sonlu toplamların formüllerini verelim. n= n(n+1)/2, (n=son terim) n=n(n+1), (2n= son terim) n-1=n2 ,(2n-1=son terim)

15 MUTLAK DEĞER Örnek: a.1+2+3...+99=99x100/2=4950 (n=99’ dur)
b =50x51=2250 (2n=100 ise n=50) c =502=2500 (2n-1=99 ise n=50) MUTLAK DEĞER xR olsun. x’in mutlak değeri |x| ile gösterilir ve |x| = { x, x0 ise veya -x,x<0 ise} Ör: |-15|= -(-15)= 15 , |6|= 6 , |0|=0 , |3-|-2||=|3-2|=1 |7-10|= -7+10’ dur. Çünkü 7-10 <0 dır. Ör: | 3-5|-| 3-1|+|-5| işleminin sonucu nedir? Çöz: 3<5 ise 3-5<0  |3-5|=-3+5 3>1 ise 3-1>0  |3-1|= 3-1 -5<0 ise |-5|= -(-5)=5 | 3-5|- |3-1|+|-5|=(-3+5)-(3-1)+5 =- 3+5- 3+1+5= 11-23

16 Özellikler: x,yR ve a,bR+ olsun
2.|x|=a  x=a veya x= -a 3.|x|<a  -a<x<a 4.|x|>a  x>a veya x<-a 5.a<|x|<b  a<x<b veya a<-x<b ise a<x<b veya -b<x<-a 6.|xy|=|x||y| 7.|x/y|=|x|/|y| (y0) 8.|x|+|y| |x+y| 9. |xn|=|x|n 10.|x|2=x2 11.|x-y|=|y-x| 12.|x|=|y|  x=y veya x= -y 13.nxn {x,n tek ise veya |x|, n çift ise}

17 MUTLAK DEĞERLİ DENKELEMLER
Ör: xR ve X<0 olduğuna göre |x|+|-2x|-|-x|+3x ifadesi neye eşittir? Çözüm: x<0 ise |x|= -x |-2x|= |2x|= -2x |-x|= |x|=-x |x|+|-2x|-|-x|+3x= -x-2x-(-x)+3x=-3x+x+3x=x (-7)2+4(-5)4+3(-2)3 |-7|+|-5|+(-2)= 7+5-2=10 MUTLAK DEĞERLİ DENKELEMLER Ör: |(5-2x)/3|=2 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm: |(5-2x)/3|=3 (5-2x)/3=2 veya (5-2x)/3=-2 5-2x= x=-6 x=-1/ x=11/ Ç={-1/2,11/2}’ DİR

18 Ör= |5x-7|= -3 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm= Her xR için |5x-7|> 0 olduğundan |5x-7| ifadesinin negatif olması imkansızdır. Buna göre |5x-7= -3 denkleminin çözüm kümesi  dir. Ör: x|x-3|= 4 denkleminin kaç tane kökü vardır. Çözüm: a.x|x-3|= x3 için x(x-3)= 4 x2-3x-4=0  (x-4)(x+1)=0  x=4, x= x  3 olduğuna göre kök değil. b. x<0 için x(-x+3)=4 -x2+3x-4=0 x2-3x+4= Çözüm=  Çözüm kümesi = {4}

19 EŞİTSİZLİKLER f(x)=ax+b x
f(x)=ax+b İki Terimlisinin İşareti: f(x) fonksiyonu x’ in bazı değerleri için pozitif bazı değerleri için negatif, bazı değerler için sıfıra eşittir. Bunları bulma işine f(x) in işaretini incelemek denir. F(x)= ax+b fonksiyonunun grafiği bir doğru gösterir. Bu grafiğin x eksenini kestiği nokta ax+b=0 ise = -b/a dır. y f(x)=ax+b x a>0 için grafik şekildeki gibidir. x>-b/a için f(x)>0 x<-b/a için f(x)<0 -b/a

20 x (-) sonsuz -b/a (+) sonsuz
f(x) a nın işaretinin tersi a nın işaretinin aynı 2. -b/a a<0 için için grafik şekildeki gibidir. X>-b/a için f(x)<0 x<-b/a için f(x)>0 x (-) sonsuz b/a (+) sonsuz f(x)

21 Ör: f(x)=-2x+4 iki terimlisinin işaretinini belirtiniz.
Bu iki tablo dikkatlice incelenirse f(x)=ax+b iki terimlisinin işaret kuralı aşağıdaki tabloda belirdildiği gibidir. x (-) sonsuz (+) sonsuz f(x)=ax+b a nın işaretinin tersi a nın işaretinin aynı Ör: f(x)=-2x+4 iki terimlisinin işaretinini belirtiniz. Çözüm: f(x)= -2x+4  a=-2<0 -2x+4=0 ise x =2 x (-) sonsuz (+)sonsuz f(x)

22 f(x)= ax2+bx+c ÜÇ TERİMLİSİNİN İŞARETİ
f(3)=-6+4=-2< f(5)=-10+4=-6<0 f(50)= = -96<0 Yani x>2 için f(x)<0 olur. Aynı şekilde; f(1)= -2+4=2> f(0) =4>0 f(-8)=16+4=20>0 yani x<2 için f(x)>0 olur. UYARI: Daha önceki konularımızda birinci dereceden eşitsizliklerin çözümünü geniş olarak görmüştük. f(x)= ax2+bx+c ÜÇ TERİMLİSİNİN İŞARETİ f(x)=ax2+bx+c = b2 -4ac> 0 ise f(x) fonksiyonu x eksenini x1 ve x2 gibi iki noktada keser. Y a>0 için grafik şekildeki gibidir. X1 < x< x2 için f(x) <0 (a ile ters işaretli) x< X1 veya x> x2 için f(x)>0 (a ile aynı işaretli) f(x) x x x2

23 y a<0 için grafik şekildeki gibidir.
f(x) x x2 x x a<0 için grafik şekildeki gibidir. x1<x<x2 için f(x) > 0 (ile ters işaretli) x<x1 veya x>x2 için f(x)<0 (a ile aynı işaretli) Bu iki durumu tablo ile gösterelim. X sonsuz x x sonsuz a nın a nın işaretinin a nın işaretinin f(x) işaretinin tersi aynı aynı

24 x1=x2 olduğundan f(x) fonksiyonu x eksenine teğettir. y y x x
2. =b2-4ac= 0 ise x1=x2 olduğundan f(x) fonksiyonu x eksenine teğettir. y y x x a>0 ve f(x)> a<0 ve f(x)<0 x sonsuz x1=x sonsuz f(x) a nın işaretinin aynı a nın işaretinin aynı 3. =b2-4ac< 0 ise f(x) fonksiyonunu x-eksenini kesmez. y y x a>0 ve f(x)> a<0 ve f(x)<0

25 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
0ax2+bx+c , ax2+bx+c0 eşitsizliğini çözmek için ax2+bx+c üç terimlisinin işaretini inceleyip eşitsizliği sağlayan x değerlerini belirtmek yeter. ÇARPIM VE BÖLÜM BİÇİMİNDEKİ EŞİTSİZLİKLER Çarpım biçimindeki bir ifadede, her çarpanın ayrı ayrı işareti incelnip aynı tabloda yazılarak işaretler çarpılır. Bölüm biçimindeki bir ifadede, pay ve paydanın ayrı ayrı işaretleri incelenip aynı tabloda yazılarak, işaretler bölünür. Ayrı ayrı işaret incelemek biraz zaman alıcı olduğundan bundan sonraki örneklerimizi aşağıdaki metod ile çözeceğiz: ÖNEMLİ:

26 EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ
a. f(x)= A(x) . B(x) . C(x) biçimindeki ifadelerde; çarpanların her biri ayrı ayrı sıfıra eşitlenip kökler bulunur. A(x), B(x), C(x)’ in en büyük üslüleri alınıp çarpılır. Elde edilen axn ifadesinde; a’ nın işaretinin aynı, en sağa (+ sonsuz tarafa) yazılır. Sola doğru her köke rastladıkça işaret değiştirilerek tablo işaretlenir. (iki katlı köke rastlandığında işaret değişmez.) b. f(x) = K(x)/M(x) biçimindeki ifadeler çarpım durumundaymış gibi düşünülerek işlem yapılır. EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ İki veya daha fazla eşitsizlikten oluşan sistemlerde, her eşitsizliğin ayrı ayrı çözüm aralığı bulunur ve bu aralıkların kesişimleri alınır.

27 KÖKLERİN İŞARETLERİ ax2+bx+c=0 denkleminin gerçel sayı olan kökleri x1,x2 ve x1<x2 olsun. 1. x1. x2 = c/a < 0 ise kökler ters işaretlidir. Yani x1< 0 x2 dir. Bu Durumda: a. x1+x2= -b/a > 0 ise |x1|<|x2| b. x1+x2= -b/a < 0 ise |x1|> |x2| c. X1+x2= -b/a=0 ise |x1|=|x2| dir. 2. = b2- 4ac > 0 olmak üzere x1.x2 = c/a>0 ise kökler aynı işaretlidir. Bu durumda: x1+x2= -b/a>0 ise 0<x1<x2 (köklerinin ikiside pozitifdir.) x1+x2= -b/a<0 ise x1<x2<0 (köklerinin ikiside neğatifdir) 3. x1.x2 = c/a = 0 ise köklerden en az biri sıfırdır.

28 DAİMA DOĞRU OLAN EŞİTSİZLİKLER
y grafikte a>0, <0 ve f(x)>0 x y grafikte a<0, <0 ve f(x)<0 dır. Ax2+bx+c=0 DENKLEMİNİN GERÇEL KÖKLERİ İLE BİR k REEL SAYISININ KARŞILAŞTIRILMASI f(x)= ax2+bx+c= 0 denkleminin gerçel kökleri x1, x2 olsun.

29 1. DURUM: a ile ters işaretli olsun. y y
k x x1 f(x) k x x x x2 f(x) a>0, f(k)< a<0, f(x)>0 a f(k)<0 ise k sayısı kökler arasındadır. (x1<k<x2) 2. DURUM: a ile f(k) aynı işaretli olsun. a y f(k) -b/2a k x x2 k x a>0, f(k)>0, >0

30 af (k)>0 ve >0 ise k sayısı kökler dışındadır. X1+X2/2= -b/2a
y a<0, f(k)<0, >0 k k x b/2a x x f(k ) f(k) y a>0, f(x)>0, <0 -b/a k x af (k)>0 ve >0 ise k sayısı kökler dışındadır. X1+X2/2= -b/2a

31 k> -b/2a ise k sayısı köklerden büyüktür.(x1<x2<k)
x b/2a x k k> -b/2a ise k sayısı köklerden büyüktür.(x1<x2<k) -b/2a k x x2 k<-b/2a ise k sayısı köklerden küçüktür. (k<x1<x2) 2.DURUM: af(k)=0 ise k denkleminin köklerinden birine eşittir. ÖRNEKLER: f(x)= x2+3x-2 üç terimlisinin işaretini inceleyiniz. Çözüm: -x2+3x-2 = 0 ise x2-3x+2=0 ise x=2, x=1 x sonsuz sonsuz f(x) a nın aynı a nın aynı a nın aynı

32 F(x) = -x2+3x-2 f(3)= = -2<0 f(10)= = -72<0 f(0)= -2<0 f(-5)= = -42<0 yani x<1 veya x>2 için f(x)<0 dır. Aynı şekilde f(3/2) = -9/4+9/2-2=1/4>0 f(4/3)= -16/9+4-2= 2/9>0 yani 1<x<2 için f(x)>0 dır. X= 1, x= 2 için f(x)= 0 dır.  x2-2x<-8 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: x2-2x<-8  x2-2x+8<0 f(x)= x2-2x+8 üç terimlisinin işaretini inceleyelim: x2-2x+8= 0  =4-32= Gerçel kök yok.

33 x -sonsuz +sonsuz Tabloya göre eşitliği sağlayan x değerleri yoktur.
x2-2x Tabloya göre eşitliği sağlayan x değerleri yoktur. Çözüm kümesi  dir.  x2-x-6<0 x2-5x+4< eşitsizlik sistemini çözünüz. Çözüm: x2-x-6 = 0 ise x=3, x= -2 x2-5x+4 = 0 ise x=4, x= 1 x sonsuz sonsuz Her iki eşitsizliği sağlayan x2-x bölge çözüm 1<x<3 x2-5x

34 (m-2)x2+2x+m+1= 0 denkleminin x1<2<x2 koşolunu sağlayan iki gerçel kökünün olması için m ne olmalıdır? Çözüm: a=m k=2 f(2)=4(m-2)+4+m+1 f(2)=5m-3 a.f(2)= (m-2)(5m-3)<0 m -sonsuz 3/ sonsuz /5<m<2 olmalıdır.

35 YARARLANILAN KAYNAKLAR
Güven-Der yayınları / Matematik 1 Tümay Yayınları / Matematik (seti 2) Zafer Yayınları / Matematik Final Yayınları / Matematik


"EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ" indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları