Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

1 Gauss-Markov Teoremi 1. Doğrusal olmalıdır, regresyon modelindeki bir stokastik değişken olan Y'nin doğrusal fonksiyonu olmalıdır. 3.Doğrusal sapmasız.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "1 Gauss-Markov Teoremi 1. Doğrusal olmalıdır, regresyon modelindeki bir stokastik değişken olan Y'nin doğrusal fonksiyonu olmalıdır. 3.Doğrusal sapmasız."— Sunum transkripti:

1 1 Gauss-Markov Teoremi 1. Doğrusal olmalıdır, regresyon modelindeki bir stokastik değişken olan Y'nin doğrusal fonksiyonu olmalıdır. 3.Doğrusal sapmasız tahminciler sınıfında minimum varyanslı olmalıdır; minimum varyanslı sapmasız bir tahminciye etkin tahminci denir. 2. Sapmasız olmalıdır, yani ortalaması veya beklenen değeri E( ), gerçek  2 değerine eşit olmalıdır: E( )=  2

2 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli: Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 1.E(u i ) = 0 Regresyon katsayılarının istenen özelliklere sahip olması hata terimi ile ilgili şu dört varsayımın sağlanmasına bağlıdır. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 2

3 İlki, u hata terimimin beklenen değeri sıfır olup, bu nedenle de y’i ne pozitif ne de negatif olarak etkileme eğiliminde değildir. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 1.E(u i ) = 0 3

4 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 1.E(u i ) = 0 VarsayımE(u i )=  u 0. Eğer denklemde sabit terim var ise bu şartın kendiliğinde sağlanacağını varsaymak gayet mantıklıdır. u’nun ortalamasının 0 olmadığını kabul edelim. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 4

5 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 1.E(u i ) = 0 VarsayımE(u i )=  u 0. Tanımv= u -  u, ya da u = v +  u u’nun ortalamasından sapmaya eş değer yeni bir tesadüfi değişken (v) tanımlayalım. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 5

6 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 1.E(u i ) = 0 Varsayım E(u i )=  u 0. Tanımv= u -  u, ya da u = v +  u Y=  1 +  2 X + v +  u = (  1 +  u ) +  2 X + v Modeli yeniden düzenleyelim GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 6

7 Basit Bağlanım Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 1.E(u i ) = 0 VarsayımE(u i )=  u 0. Tanımv= u -  u, so u = v +  u Y=  1 +  2 X + v +  u = (  1 +  u ) +  2 X + v Burada;E(v)= E(u -  u ) = E(u) - E(  u ) = 0 Yeni modeldeki hata terimi ilk şartı sağlayacaktır. Fakat sabit terim sapmalı olacaktır. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 7

8 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 1.E(u i ) = 0 VarsayımE(u i )=  u 0. Tanımv= u -  u, so u = v +  u Y=  1 +  2 X + v +  u = (  1 +  u ) +  2 X + v Burada;E(v)= E(u -  u ) = E(u) - E(  u ) = 0 Sabit terim genellikle açıklayıcı değişken/ler tarafından dikkate alınmayan Y’deki her hangi bir sistematik etkiyi üzerinde topladığından dolayı bu durumu kabul edebiliriz. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 8

9 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Normallik Varsayımı u, normal dağılıma sahiptir. Gauss-Markov şartlarına ilave olarak, hata teriminin normal dağılımlı olduğu kabul edilmektedir. Bulun sınamaların geçerliliği için gereklidir. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 9

10 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 2. u i ’nin anakitle varyansı tüm i’ler için aynıdır. İkinci şart şudur: Örnekteki farklı gözlemlere göre hata teriminin değerleri sabit varyanslı dağılımdan çekilmiştir. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 10

11 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli: Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 2.u i ’nin anakitle varyansı tüm i’ler için aynıdır. Bu şartın ayrıntıları farklı varyans konusunda ele alınacaktır. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 11

12 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 3.u i ve u j Anakitle kovaryansı = 0, Bütün i≠j için, Üçüncü şartın anlamı şudur: Her hangi gözlemdeki hata teriminin değeri her hangi bir diğer gözlemdeki hata teriminin değerinden bağımsız olmalıdır. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 12

13 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 3.u i ve u j Anakitle kovaryansı = 0, Bütün i≠j için, Bu şarttan çıkarılacak sonuç ve anlaşılması ile ilgili ayrıntılar otokorelasyon konusunda incelenmek üzere ertelenmiştir. 11 GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 13

14 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 4.X olasılıksal (stokastik) değildir. Örneğin, tabakalı rastsal örnek, örnek hacmi 1,000: S n , v.b. Son şart zayıf ve kuvvetli iki hali bulunmaktadır. Kuvvetli hali şudur: açıklayıcı değişken/ler olasılıksal değildir.Yani tesadüfi unsur içermemektedir. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 14

15 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 4. X olasılıksal (stokastik) değildir. Örneğin, tabakalı rastsal örnek, örnek hacmi 1,000: S n , v.b. Bu şartın güçlü hali aslında ekonomik değişkenler için çokta gerçekçi değildir. Bu nedenle şartın zayıf haline dönüştürüyoruz. Bunu da şu şekilde sağlıyoruz: Açıklayıcı değişkenlerin hata teriminden bağımsız dağılması koşulu ile bu değişkenlerin rastsal unsurlar içermesine izin verilmektedir. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 15

16 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 4. X olasılıksal (stokastik) değildir. Örneğin, tabakalı rastsal örnek, örnek hacmi 1,000: S n , v.b. Bununla birlikte, şimdilik tahminci özelliklerinin analizini basitleştirdiğinden dolayı güçlü hali kullanılacaktır. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 16

17 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 4. X olasılıksal (stokastik) değildir. Örneğin, tabakalı rastsal örnek, örnek hacmi 1,000: S n , v.b. Burada olasılıksal olmayan bir açıklayıcı açıklayıcı değişken örneği vardır. Tamamlanan en son eğitim kurumu, S, ile kazanç arasındaki ilişki ile ilgilenildiği varsayılsın. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 17

18 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 4.X nonstochastic Örneğin, tabakalı rastsal örnek, örnek hacmi 1,000: S n , v.b. Nüfus sayımı sonuçlarına göre, nüfusun %1’i S = 8, %3’ü S = 9, 5, %5’i S = 10, %7’si S = 11, %43’ü S = 12, v.b. yıllık eğitime sahiptir. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 18

19 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 4. X olasılıksal (stokastik) değildir. Örneğin, tabakalı rastsal örnek, örnek hacmi 1,000: S n , v.b hacimlik örnek çektiğimizi ve bu örneğin eğitim durumu dağılımının mümkün olduğunca nüfus sayımındaki eğitim durumu dağılımı ile eşit olduğunu varsayalım. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 19

20 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov conditions 4. X olasılıksal (stokastik) değildir. Örneğin, tabakalı rastsal örnek, örnek hacmi 1,000: S n , v.b. Bu durumda tabakalı rastsal örneklemeyi kullanacak her bir eğitim yılına karşılık gelecek birey seçmeliyiz. Yani 8 yıl eğitime sahip 10 kişi, 9 yıl eğitime sahip 30 kişi v.b. Şekilde bireyler seçilmelidir. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 20

21 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 4. X olasılıksal (stokastik) değildir. Örneğin, tabakalı rastsal örnek, örnek hacmi 1,000: S n , v.b. Örnekteki S değerlerinin değerleri önceden belirlendiği için olasılıksal değildir. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 21

22 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Gauss-Markov Şartları: 4. X olasılıksal (stokastik) değildir. Örneğin, tabakalı rastsal örnek, örnek hacmi 1,000: S n , v.b. Eğitim durumu ve diğer demografik değişkenler nüfus sayımındaki oranlarına göre yaklaşık olarak tabakalı örnekleme yöntemi kullanılarak örnek hacmi için çekilebilirler. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 22

23 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI OLS tahmincilerinin özelliklerini eğim katsayısı ile incelemeye başlayalım. 23

24 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI Bunun için ilk önce gerçek modeldeki Y değerini tahmincide yerine yazalım. Böylece Y’nin içerdiği unsurları tahmincide ifade etmiş oluruz. 24

25 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI Pay kısmındaki köşeli parantez içersindeki ifadeyi X ile çarparak Cov ifadesini tekrar düzenleyelim. 25

26 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV CONDITIONS AND UNBIASEDNESS OF b 1 AND b 2  1 sabit olduğu için pay kısmındaki ilk terim sıfırdır. İkinci terimde ise  2 Cov dışına alıyoruz. 26

27 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık Sonuçta, gerçek değer ile hata terimi ifadeleri elimizde kalmaktadır. GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI 27

28 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI Sapmasızlığı araştırmak için b 2 ’nin beklenen değerini alalım. 28

29 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI Beklenen değeri aldığımızda eşitliğin sağ tarafı yukarıdaki şekilde ayrışır. 29

30 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI  2 Sabit olduğu için ilk terim sadece  2 ’dir. 30

31 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI X’in olasılıksal olmaması varsayımı nedeniyle, Var(X)’de olasılıksal değildir. Böylece, eşitliğin sağındaki ikinci terimde bu ifadeyi parantezin dışına alabiliriz. 31

32 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI Cov(X, u) beklenen değeri sıfırdır. Bu durum kanıtlanabilir. 32

33 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI (1/n) ifadesi beklenen değerin dışına çıkartıp, birimsel terim toplamları olarak yeniden düzenleyelim. 33

34 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI X olasılıksal olmadığı için, bu ve ortalamasını içeren terim bir çarpan olarak beklenen değer işleminin dışına alınabilir. 34

35 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI u’nun beklenen değeri sıfırdır. Böylece, Cov(X, u)’nun beklenen değeride sıfır olmaktadır. 35

36 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI Sonuçta, b 2’ nin,  2 nin sapmasız tahmincisi olduğunu göstermiş olduk. 36

37 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI Aynı şekilde, b 1 in  1 ’in sapmasız tahmincisi olduğu da gösterilebilir. 37

38 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI Gerçek modeli kullanarak Y’nin ortalamasını yerine yazalım. 38

39 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI Sonra beklenen değerini alalım. 39

40 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI Beklenen değeri kuralarını uygulayarak ifadeyi ayrıştıralım. 40

41 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI  1 sabit olduğu için beklenen değeri kendisine eşittir  2 de sabit olduğundan ikinci terimde parantezin dışına çarpan olarak çıkar. 41

42 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI u’nun örnek ortalamasının beklenen değeri sıfırdır. Son olarak X’in örnek ortalaması olasılıksal olmadığından, dördüncü terimde parantezin dışına çarpan olarak çıkar. 42

43 Basit Bağlanım (Regresyon) Modeli : Y =  1 +  2 X + u Sapmasızlık GAUSS-MARKOV TEOREMİ İLE b 1 VE b 2 ’nin SAPMASIZLIĞI E(b 2 ),  2 ’ye eşittir. Bu nedenle, sonuçta b 1,  1 ’nin sapmasız tahmincisidir. 43

44 Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları Regresyon katsayıları tesadüfi değişkenlerin özel tipidir. X ile Y arasındaki ilişkiyi gösteren basit regresyon modelini kullanarak bu durumu açıklayalım. Yukarıdaki iki eşitlik gerçek model ve tahmin edilen regresyon modelini gösterir. 44

45 Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları Yukarıda gösterilen eğim katsayısının sıradan EKK tahmincisinin davranışını araştıralım. 45

46 Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları Burada b 2, X ve Y’ye bağlı iken, diğer taraftan Y’deki değişim X, u ve  1 ve  2 parametrelerine bağlıdır. Bu nedenle Y’nin davranışı sonuçta X ve u, ve parametreler tarafından etkilenmektedir. 46

47 Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları b 2 ’nin davranışını gereği gibi açıklamak için, Y yerine gerçek modeli yerine yazıyoruz. 47

48 Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları İlk kovaryans kuralını kullanarak, payı üç kısma ayıralım. 48

49 Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları  1 Sabit olduğundan, Cov(X,  1 )sıfırdır. 49

50 Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları İkinci kovaryans kuralını kullanarak,  2 ’yi orta terimin dışına alabiliriz. 50

51 Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları Cov(X, X) ile Var(X) ayni ifadedir. Böylece b 2 ’ iki kısma ayrılabilir : gerçek değer,  2, ve hata terimi. 51

52 Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları Hata terimi, örnekteki her gözlemin karışıklık teriminin( disturbance term ) değerine bağlıdır, ve böylece de tesadüfi değişkenin özel biçimi olmaktadır. 52

53 Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları Biz onun b 2 üzerindeki etkisini iki şekilde araştırabiliyoruz : İlki doğrudan Monte Carlo denemelerini kullanmak, ikinci ise analitik olarak. 53

54 Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Bir monte Carlo denemesi kontrol edilebilen şartlar altında regresyon tahmincilerinin özelliklerini değerlendirmek amacıyla laboratuar benzeri deneme yapmaktır. 54

55 Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Basit doğrusal regresyon uygulandığında EKK regresyon katsayılarının davranışını araştıralım. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 55

56 Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Y’nin X-değişkeni ile hata terimi tarafından belirlendiğini varsayalım. Sonra X değişkeni değerleri ile parametre değerleri seçelim. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 56

57 Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Ayrıca bilinen bir dağılımdan karışıklık terimleri (disturbance term) değerlerini üretelim. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 57

58 Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Örnekteki Y’nin değerleri, X değişkeninin değerleri, parametreler ve karışıklık terimi tarafından belirlenecektir. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 58

59 Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Tahminciler Parametrelerin değerlerinin tahmini Ve sonra yalnızca Y ve X’ler kullanarak parametre tahminleri elde etmek için regresyon tekniğini kullanacağız. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 59

60 Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Tahminciler Parametrelerin değerlerinin tahmini Tesadüfi olarak elde edeceğimiz yeni karışıklık terimlerini kullanarak ayni X değişkeni ve ayni parametre değerleri ile süreci sonsuz sayıda tekrar edebiliriz. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 60

61 Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Tahminciler Parametrelerin değerlerinin tahmini Bu şekilde, regresyon tahmincileri için olasılık dağılımını elde edebiliriz. Ve ayrıca onların sapmalı ya da sapmasız olup olmadıklarını kontrol edebiliriz. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 61

62 Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Tahminciler Parametrelerin değerlerinin tahmini Y =  1 +  2 X + u X = 1, 2,..., 20  1 = 2.0  2 = 0.5 u bağımsız olup N(0,1) Y = X + u Y’nin değerlerini üretin Bu denemede örneğimizde 20 gözlem vardır. X, 1, 2,..., 20 değerlerini almaktadır.  1 =2.0 ve  2 = 0.5’dir. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 62

63 Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Tahminciler Parametrelerin değerlerinin tahmini Y =  1 +  2 X + u X = 1, 2,..., 20  1 = 2.0  2 = 0.5 u bağımsız olup N(0,1) Y = X + u Y’nin değerlerini üretin Karışıklık terimi (disturbance term) sıfır ortalamaya ve birim varyansa sahip olacak şekilde normal dağılım kullanılarak tesadüfi olarak üretilir. Böylece Y değerlerini üretiriz. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 63

64 Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Tahminciler Parametrelerin değerlerinin tahmini Y =  1 +  2 X + u X = 1, 2,..., 20  1 = 2.0  2 = 0.5 u bağımsız olup N(0,1) Y = X + u Y’nin değerlerini üretin b 2 = Cov(X, Y)/Var(X); Parametrelerin değerlerini tahmin edin EEK tahmin tekniğini kullanarak Y’nin X’e göre regresyonu tahmin edip  1 ve  2 gerçek değerlerine göre b 1 and b 2 tahminlerimizin nasıl olduğunu göreceğiz. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 64

65 X X u YX X u Y Y = X + u Burada keyfi birim esasına göre seçilen X değerleri vardır. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 65

66 X X u YX X u Y Y = X + u Verilen  1 ve  2 katsayılarını kullanarak, Y’nin stokastik olmayan unsurunu elde edebiliriz. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 66

67 Stokastik olmayan unsur grafiksel olarak gösterilebilir. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 67

68 X X u YX X u Y Y = X + u Sonra N(0,1) dağılımını kullanarak her bir gözlem için tesadüfi bir şekilde karışıklık terimi değeri üretilir. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 68

69 X X u YX X u Y Y = X + u Örneğin ilk gözlem için Y’nin değeri 2.50 değil 1.91 olarak elde edilir. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 69

70 X X u YX X u Y Benzer şekilde diğer 19 gözlem için Y’nin değerleri üretilir. Y = X + u Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 70

71 20 gözlemin dağılımı yukarıdadır. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 71

72 Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Tahminciler Parametrelerin değerlerinin tahmini Y =  1 +  2 X + u X = 1, 2,..., 20  1 = 2.0  2 = 0.5 u bağımsız olup N(0,1) Y = X + u Y’nin değerlerini üretin Bu noktada biz Monte Carlo denemelerine ulaştık. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 72

73 Y’nin X, parametre değerleri ve u tarafından belirlendiği modeli seçin X için veri seçin Parametre değerlerini seçin u’nun dağılımını seçin Model Y’nin değerlerini üretin Tahminciler Parametrelerin değerlerinin tahmini Y =  1 +  2 X + u X = 1, 2,..., 20  1 = 2.0  2 = 0.5 u bağımsız olup N(0,1) Y = X + u Y’nin değerlerini üretin b 2 = Cov(X, Y)/Var(X); Parametrelerin değerlerini tahmin edin Şimdi X ve Y verilerine b 1 ve b 2 için EKK tahmincileri uygulayıp gerçek değerlere göre nasıl tahminler elde edeceğimizi göreceğiz. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 73

74 Tekrar dağılma diyagramını inceleyelim. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 74

75 Regresyon tahmincileri yalnızca gözlenen X ve Y verilerini kullanır. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 75

76 Burada verilere uydurulan regresyon denklemi vardır. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 76

77 Karşılaştırma için, gerçek ilişkinin stokastik olmayan unsuruda gösterilmiştir.  2 (gerçek değeri 0.50) aşırı tahmin edilirken  1 (gerçek değer 2.00) aşağıda tahmin edilmiştir.. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 77

78 Y’nin ayni stokastik olmayan unsuruyla başlayarak süreci tekrar inceliyoruz. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 78

79 Daha önceden gösterildiği üzere, Y’nin değerleri tesadüfi olarak üretilen karışıklık terimi değerleri ilave edilerek elde edilir. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 79

80 Karışıklık teriminin yeni değerleri daha önceden olduğu gibi ayni N(0,1) dağılımından çekilirken yalnızca bir tanesi şansa bağlı değildir. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 80

81 Bu defa eğim katsayısı gerçek değerinin altında, sabit ise gerçek değerinin üzerinde tahmin edilmiştir. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 81

82 Süreci bir kez daha tekrar edelim. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 82

83 Tesadüfi sayıların yeni seti Y’nin değerlerinin üretilmesinde kullanılmıştır. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 83

84 Burada da, gerçek değerlerden eğim katsayısı altta, sabit katsayı ise üstte tahmin edilmiştir. Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 84

85 Tablo üç regresyon ve ayrıca sürecin 7 kez tekrar edilmesiyle elde edilen sonuçlar özetlenmiştir. Tekerrür b 1 b Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 85

86 Burada  2 tahminlerinin histogramı vardır. Ancak henüz hiçbir şey net olarak görülmemektedir. 10 tekerrür Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 86

87 Burada sürecin ilave 40 tekerrüründen elde edilen  2 tahminleri vardır Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 87

88 Histogram merkezi eğilim göstermeye başlamıştır. 50 tekerrür Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 88

89 Bu 100 tekerrürün histogramıdır. Burada şunu görebiliriz: gerçek değerin etrafında simetrik bir şekilde ortaya çıkmaktadır ki buda tahmincilerin sapmasız olduğunu gösterir. 100 tekerrür Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 89

90 Yine de, dağılım hala oldukça girintili çıkıntılıdır. Aslında biz bu süreci en az 1000 tekrar etmeliyiz. 100 tekerrür Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 90

91 Kırmızı çizgi dağılımın biçiminin sınırlarını göstermektedir. Gerçek değerin etrafında simetrik olup, tahmincinin sapmasız olduğunu doğrulamaktadır tekerrür Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 91

92 Dağılım normaldir. Karışıklık terimleri normal dağılımdan çekilmiştir tekerrür Tesadüfi Değişken Olarak Regresyon Katsayıları 92

93 Copyright Christopher Dougherty This slideshow may be freely copied for personal use. 93


"1 Gauss-Markov Teoremi 1. Doğrusal olmalıdır, regresyon modelindeki bir stokastik değişken olan Y'nin doğrusal fonksiyonu olmalıdır. 3.Doğrusal sapmasız." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları