Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

GAZ İ UN İ VERS İ TES İ B İ L İŞİ M ENST İ TÜSÜ 5441314 - SAYISAL ÇÖZÜMLEME DERS İ HAZIRLAYAN: VEYSEL ALCAN Ö Ğ RET İ M ÜYES İ : YRD. DOÇ. DR. NURETT İ.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "GAZ İ UN İ VERS İ TES İ B İ L İŞİ M ENST İ TÜSÜ 5441314 - SAYISAL ÇÖZÜMLEME DERS İ HAZIRLAYAN: VEYSEL ALCAN Ö Ğ RET İ M ÜYES İ : YRD. DOÇ. DR. NURETT İ."— Sunum transkripti:

1 GAZ İ UN İ VERS İ TES İ B İ L İŞİ M ENST İ TÜSÜ SAYISAL ÇÖZÜMLEME DERS İ HAZIRLAYAN: VEYSEL ALCAN Ö Ğ RET İ M ÜYES İ : YRD. DOÇ. DR. NURETT İ N DO Ğ AN CALCULUS TEMELLER İ

2 “Calculate” [hesaplamak] sözcü ğ ünü türetti ğ imiz “calculus” [hesap] kelimesi Latince’de, bir abaküs üzerindeki ta ş boncukları sayma yöntemiyle ba ğ lantılı olarak “çakıl ta ş ı” anlamına gelir. Bu ve bunun gibi sayısız di ğ er örnekler matemati ğ in insan aklının özgür i ş leyi ş inden do ğ madı ğ ını, tersine uzunca bir toplumsal evrim, deneme yanılma, gözlem ve deney sürecinin ürünü oldu ğ unu ve görünü ş te soyut karakterli bir bilgi bütünü olarak tedricen ayrı ş mı ş oldu ğ unu gösterir. CALCULUS TEMELLER İ

3 Calculus ; limit ve süreklilik, integral, diferansiyal, diziler ve seriler ba ş lıklarını içerir. 1- L İ M İ T VE SÜREKL İ L İ K Bir kısım fiziksel ve kimyasal nicelikler birbirlerine fonksiyonel ba ğ lantılar yardımı ile ba ğ lı olabilir. E ğ er de ğ i ş ik nicelikler arasındaki fonksiyonel ba ğ lantı belli ise,birbirine ba ğ ımlı büyüklüklerden birinin belli bir de ğ ere yakla ş ması halinde di ğ erinin hangi de ğ ere yakla ş aca ğ ının bilinmesi önemlidir. Bu bizi limit kavramına götürür.

4 f(x) = 2 x + 2 ve f(x) hesaplanmasında x, 1’e yakın de ğ er alır. İ lk olarak sol taraftan x’in 1’e yakla ş tı ğ ını farz edelim (x < 1). Ş imdi sa ğ taraftan x’in 1’e yakla ş tı ğ ını farz edelim. (x > 1). xf(x) xf(x) Her iki durumda da x, 1’e yakla ş ırken f(x) 4’e yakla ş ır. Biz bunu; f(x) = 4 ş eklinde ifade edebiliriz. CALCULUS TEMELLER İ

5 Grafikte, x 1’e soldan yakla ş ırken y = f(x) 2’ye yakla ş ır. İ fade biçimi: lim x ->1 - f(x) = 2 ş eklindedir. x 1’e sa ğ dan yakla ş ırken y = f(x) 4’e yakla ş ır. İ fade biçimi: lim x ->1 + f(x) = 4 ş eklindedir. *Sol ve sa ğ taraftan limit ve f(1)=3, tamamen faklıdır. Ş ekildeki grafik lim x ->1 - f(x) = 2 oldu ğ unu gösterir. x, 1’e sa ğ dan yakla ş ırken y = f(x) 4’e yakla ş ır. İ fade biçimi: lim x ->1 + f(x) = 4 ş eklindedir. *Sol taraftan limit ve f(1)=2’ye e ş ittir. CALCULUS TEMELLER İ

6 CALCULUS’A GENEL BAKIŞ Bu grafik, lim x ->0 - f(x) = 1 ve lim x ->0 + f(x) = 1 oldu ğ unu gösterir. *Sol ve sa ğ taraftan limitler e ş ittir ve biz lim x ->0 f(x) = 1 olarak ifade edebiliriz. Bu örnekte x, 0’a yakla ş tı ğ ı zaman limit f(0)=1’e e ş ittir. Bu grafik x’in -2’ye soldan yana ş tı ğ ında f(x) sınır olmaksızın küçülür ve limiti yoktur. lim x ->2 - f(x) = -x’in -2’ye sa ğ dan yana ş tı ğ ında f(x) sınır olmaksızın büyür ve limiti yoktur. lim x ->2 + f(x) =+ * - ve + sembol olup numara de ğ ildir. Bu semboller limit de ğ erinin olmadı ğ ını tanımlar.

7 CALCULUS TEMELLER İ Tanım 1.1 f (x ) in x = x0’ı kapsayan bir açık aralıkta tanımlı oldu ğ u varsayılırsa, x = x0 ın dı ş ında kendi ise ardından f’in x = x0’da limiti oldu ğ u L söylenebilir ve buradan a ş a ğ ıdaki ifade yazılabilir. (1) E ğ er belirlenen herhangi bir Є > 0 ise buradan δ > 0 bulunur, her zaman | f (x) − L| < 0 < |x − x0| < δ da oldu ğ u gibi. H’ın artan gösteriminde x = x0 + h kullanılır, e ş itlik (1) gelir. (2)

8 CALCULUS TEMELLER İ Tanım 1.2 f (x)’in bir açık aralık içeren x = x0’da tanımlı oldu ğ u kabul edilirse, ardından f ‘in x = x0 da sürekli oldu ğ u söylenebilir. (3) x ∈ S için her noktada sürekli ise f fonksiyonu süreklidir. S bir aralıktır, [a, b] denebilir ve Cn[a, b] gösterimi kullanılır. Örne ğ in f (x) = x 4/3 fonksiyonu [−1,1] aralı ğ ındadır. Açıkca görüldü ğ ü gibi, f (x) ve f ‘ (x) = (4/3)x 1/3 [−1, 1] aralı ğ ında süreklidir ama f “(x) = (4/9)x −2/3 x = 0 da sürekli de ğ ildir.

9 CALCULUS TEMELLER İ Tanım 1.3 {xn} ∞ n=1 ‘ın sınırsız bir dizi oldu ğ u varsayılır. Ardından bu dizinin limiti L oldu ğ u söylenebilir ve a ş a ğ ıdaki gibi yazılabilir (4) Bir dizinin limiti varsa, onun convergent dizi oldu ğ u söylenebilir. Di ğ er genel bir gösterim ise “xn → L ve n → ∞ gibi” E ş itlik (4) a ş a ğ ıdaki ifadeye e ş de ğ er olur, (5) Sonuç olarak bir hata dizisi görülebilir. A ş a ğ ıdaki teoremler süreklilik ve convergent (yakınsak) dizi kavramlarına ili ş kindir.

10 CALCULUS TEMELLER İ Teorem 1.1. f (x)’in S üzerinde tanımlı oldu ğ u ve x 0 ∈ S oldu ğ u kabul edilirse. Takip eden durum a ş a ğ ıdaki gibi oldu ğ u farz edilirse. (6) (a) f fonksiyonu x 0 da sürekli ise (b) E ğ er ve olur. Teorem 1.2 (Ara De ğ er Teoremi) L’nin f (a) ve f (b) aralı ğ ında bir sayı oldu ğ u ve f ∈ C[a, b] oldu ğ u kabul Edilirse buradan c ∈ (a, b) ve f (c) = L olur.

11 CALCULUS TEMELLER İ Örnek 1.1 Fonksiyon f (x) = cos(x −1) sürekli [0, 1] üzerinde ve L = 0.8 ∈ (cos(0), cos(1)) sabittir. f (x) = 0.8 çözümü [0, 1] üzerinde ise c1 = dır. Benzer ş ekilde f (x), [1, 2.5] üzerinde sürekli ve L = 0.8 ∈ (cos(2.5), cos(1)). f (x) = 0.8 de çözüm [1, 2.5] üzerinde c2 = dır. Bu iki durum Ş ekil 1.1.’de görülmektedir. Ş ekil 1.1 Ortalama de ğ er teoremi uygulanmı ş fonksiyon f (x) = cos(x − 1) [0, 1] üzerinde ve aralık [1, 2.5].

12 CALCULUS TEMELLER İ Teorem 1.3 (Bir Sürekli Fonksiyon için A ş ırı De ğ er Teoremi). f ∈ C[a, b] oldu ğ u kabul edilir. Ardından alt sınır M1 ve üst sınır M2 olur. Bu iki sayı x1, x2 ∈ [a, b] (7) her ne zaman Bu durum a ş a ğ ıdaki ş ekilde de ifade edilebilir. (8) ve Ş ekil 1.2 fonksiyonuna [0, 3] aralı ğ ı üzerinde a ş ırı de ğ er teoremi uygulanmı ş hali.

13 CALCULUS TEMELLER İ Diferansiyel Fonksiyonlar Tanım 1.4. x 0 içeren bir açık aralıkta f (x)’in tanımlı oldu ğ u kabul edilirse, f fonksiyonu x 0 da farksal oldu ğ u söylenebilir. (9) Limit bulundu ğ u zaman f’ (x 0 ) ile gösterilir ve x 0 da f ‘in türevi olarak adlandırılır. Limiti ifade etmek için h artan gösterimi kullanılır (10)

14 CALCULUS TEMELLER İ Diferansiyel Fonksiyonlar Teorem 1.4 E ğ er x = x 0 da f (x) diferansiyel ise, o zaman f (x) fonksiyonu x = x 0 da süreklidir. Burada teorem 1.3. takip edilir e ğ er f fonksiyonu [a,b] kapalı aralı ğ ında diferansiyel ise o zaman aralı ğ ın max. ve min. de ğ erleri bulunabilir. Örnek 1.2. fonksiyon f (x) = 15x 3 −66.5x x+35dir. [0, 3] aralı ğ ı üzerinde diferansiyeldir. Fonksiyonun çözümü f (x) = 45x 2 − 123x = 0 x 1 = ve x 2 = f fonksiyonunun [0, 3] aralı ğ ı üzerinde maksimum ve minimum de ğ erleri: min{ f (0), f (3), f (x 1 ), f (x 2 )} = min{35, 20, , } = max{ f (0), f (3), f (x 1 ), f (x 2 )} = max{35, 20, , } = Bu de ğ erler Ş ekil 1.2’de görülmektedir.

15 CALCULUS TEMELLER İ Türevlenebilir Fonksiyonlar Teorem 1.5 (Rolle Teoremi) f ∈ C[a, b] ve f ‘(x) tüm x ∈ (a, b) ler için bulundu ğ u kabul edilir. E ğ er f (a) = f (b) = 0, o zaman c sayısı bulunur with c ∈ (a, b) ile ki f ‘(c) = 0 dır. Teorem 1.6 (Orta De ğ er Teoremi) f ∈ C[a, b] ve f’ (x) in tüm x ∈ (a, b) ler için bulundu ğ u varsayılırsa, o zaman c sayısı bulunur. (11) Teorem 1.7 (Genelle ş tirilmi ş Rolle Teoremi) f ∈ C[a, b] oldu ğ u kabul edilirse ve f ‘(x), f “(x),..., f ( n )(x) üzerinde bulunur (a, b) ve x 0, x 1,..., xn ∈ [a, b]. E ğ er f (x j ) = 0 ise j = 0, 1,..., n için, o zamna c sayısı, c ∈ (a, b) ile bulunur. f ( n )(c) = 0 gibi.

16 CALCULUS TEMELLER İ Integraller Teorem 1.8 ( İ lk Temel Teorem). E ğ er f, [a, b] üzerinde sürekli ve F, [a, b] f’in antitürevidir, o zaman (12) ki orada dir. Teorem 1.9 ( İ kinci Temel Teorem). E ğ er f, [a, b]üzerinde sürekli ve x ∈ (a, b) ise o zaman (13)

17 CALCULUS TEMELLER İ Integraller Örnek 1.3. Fonksiyon f (x) = cos(x)’a Teorem 1.9 aralık [0, π /2] üzerinde uygulanırsa; sonuç olarak zincir kuralı ile Teorem 1.10 (Integraller için Orta De ğ er Teoremi). f ∈ C[a, b] farz edilirse o zaman c sayısı c ∈ (a, b) ile bulunur f (c) de ğ eri f’in [a, b] aralı ğ ında ortalama de ğ eridir.

18 CALCULUS TEMELLER İ Integraller Ş ekil 1.3. e [0,2.5] aralı ğ ında Integraller için Ortalama De ğ er Teoreminin uygulanması Örnek 1.4 fonksiyon‘a Teorem 1.10 [0,2.5] aralı ğ ında uygulanırsa. f (x)’in anitürevi f (x) fonksiyonunun [0, 2.5] aralı ğ ındaki ortalama de ğ eri

19 CALCULUS TEMELLER İ Integraller Teorem 1.11 (A ğ ırlıklı Integral Ortalama De ğ er Teoremi). f’in, g ∈ C[a, b] ve g(x) ≥ 0 için x ∈ [a, b] oldu ğ u kabul edilirse o zaman c sayısı c ∈ (a, b) ile bulunur. Buradan, (14) Örnek 1.5. f (x) = sin(x) ve g(x) = x 2 fonksiyonlarına Teorem 1.11 [0, π /2] aralı ğ ı üzerinde uygulanırsa sonuç olarak bir c sayısı elde edilir ki, yada

20 CALCULUS TEMELLER İ Seriler bir dizi olabilir. O zaman bir sonsuz seridir. n.ci kısmın toplamı dır. Sonsuz seriler yakınsarlar, e ğ er sadece diziler bir S limitine yakınsarlarsa, yani (15) E ğ er bir seri yakınsamıyorsa, ıraksadı ğ ı söylenebilir. Örnek 1.6 sonsuz dizi ve n.kısmın toplamı

21 CALCULUS TEMELLER İ Seriler Sonuç olarak sonsuz serinin toplamı Teorem 1.12 (Taylor Teoremi) ve x 0 ∈ [a, b] oldu ğ u kabul edilirse o zaman her bir x ∈ [a, b] için c = c(x) sayısı ortaya çıkar (c’nin de ğ eri x’in de ğ erine ba ğ lıdır.) x 0 ve x aralı ğ ında uzanır ki, (16) (17) (18)

22 CALCULUS TEMELLER İ Seriler Örnek 1.7 fonksiyon f (x) = sin(x)’e Teorem 1.12 Taylor polinomu Pn(x) n= 9.dereceden geni ş letilirse x0 = 0 de ğ erlendirilerek elde edilir. x = 0 da takip eden türevler ve sayısal de ğ erler fomülde yerine konulursa

23 CALCULUS TEMELLER İ Seriler [0, 2 π ] aralı ğ ı üzerinde f ve P9 fonksiyonlarına ait grafikler ş ekil 1.4’de görülmektedir.

24 CALCULUS TEMELLER İ Seriler E ğ er Pn(x) Taylor polinomunun derecesi n verilirse Teorem 1.12, o zaman (19) Bir polinomun de ğ erlendirilmesi P(x) Polinomunun derecesi n olsun (20) Horner metodu yada sentetik bölme polinomun de ğ erlendirilmesi için kullanılan bir tekniktir. Örne ğ in 5.dereceden polinom a ş a ğ ıdaki gibi yazılabilir.

25 CALCULUS TEMELLER İ Seriler Theorem 1.13 ( Polinom De ğ erlendirmesi için Horner Metodu) P(x) polinomunun e ş itlik (20)’deki formda oldu ğ u farz edilir ve x = c, P(c) olarak de ğ erlendirilir. bn = an alınıp hesaplanırsa O zaman b0 = P(c) olur ve Ardından

26 CALCULUS TEMELLER İ Seriler E ş itlik (22)’nin sa ğ tarafındaki R0 için Q 0 (x) ve b 0 de ğ erleri e ş itlik (23) de yerine yazılırsa bk sayıları e ş itlik (20) ve (24) de x k katsayılarının kar ş ıla ş tırılması ile elde edilir ve bunlar tablo 1.1’de görülmektedir.

27 CALCULUS TEMELLER İ Seriler Tablo 1.1 Horner Metodu için bk katsayıları

28 CALCULUS TEMELLER İ Seriler Tablo 1.2 Sentetik Bölme İş lemi İ çin Horner Tablosu

29 CALCULUS TEMELLER İ Seriler Örnek : Sentetik bölme yöntemini kullanarak (Horner metodu) polinom için P(3)’ü bulunuz Buradan P(3)=17 olarak bulunur.

30 BÜYÜK “O” KESME HATASI Dizi tahmini Açıkçası, ve dizilerinin her ikisi sıfıra yakınsar. Ayrıca, bu ilk dizinin ikinci diziye göre sıfıra daha hızlı yakınsadı ğ ı görülmü ş tür. Tanım 1 fonksiyonu ın büyük “0” ı oldu ğ u söylenebilir, e ğ er ve sabit çıkarsa belirtilir. Öyle ki oldu ğ unda dır. Büyük “O”h gösterimi iyi bilinen temel fonksiyonların dizilerinin yakınsaklık vb.) büyüme oranını tanımlarken çok kullanı ş lıdır. Dizilerin yakınsama oranı benzer bir ş ekilde tanımlanabilir. Tanım 2. ve in büyük “0” h dizisi oldu ğ u söylenebilir. ş eklinde belirtilir.E ğ er olursa ve N öyle ki her zaman.. iki dizi oldu ğ unu kabul edelim. Genellikle bir fonksiyon, fonksiyonu tarafından yakla ş andır ve hata sınırı ile bilinmektedir. Bu a ş a ğ ıdaki tanıma yol açar.

31 BÜYÜK “O” KESME HATASI Tanım 3. Varsayalım ki fonksiyonuna ile yakla ş ılsın ve gerçek sabit olur olur. ve bir pozitif tamsayı n böylece küçük h için yeterlidir. Dizinin tahmini ile a ş a ğ ıdaki ifadeyi yazabiliriz Bu ili ş ki biçiminde yeniden yazılabilir. notasyonunu görebiliriz hata sınırı kısmında durur. A ş a ğ ıdaki sonuçlar,iki fonksiyonun basit kombinasyonlarını tanımlamak için nasıl uygulanaca ğ ını gösterir. ve ve varsayılır ki sonra (i) (ii) (iii) ko ş uluyla

32 BÜYÜK “O” KESME HATASI Büyük ‘O’ Kesme Hatasının Sa ğ laması, Büyük ‘O’ Kesme Hatasının İ ncelenmesi Taylor polinomu yakla ş ımının derecesi, ile belirlenebilir. O zaman artan terimler kolayca gösterilebilir. in kuvveti ile terimlerin kısaltılmasına ba ş lanır. Artan terimler Sıfıra aynı hız ile yakınsar, h sıfıra yakla ş ır. aynı hız ile yakınsar, h sıfıra yakla ş ır. Bu ili ş ki a ş a ğ ıdaki ş ekilde ifade edilir. küçük h için yeterlidir.Bu nedenle gösterimi ın yerinin miktarını verir. Burada M bir sabit gibi davranır.

33 BÜYÜK “O” KESME HATASI Teorem (Taylor Polinomu) Varsayalım ki fonksiyonu ve onun türevleri üzerinde sürekli olsun. Ve fonksiyonlarının her ikisi aralı ğ ında uzanırsa ve olursa o zaman n-inci derece Taylor polinomunun geni ş lemesi ile ilgilidir. TaylorTaylor polinomu polinomunun derecesi n dir ve

34 BÜYÜK “O” KESME HATASI artanın integral formu a ş a ğ ıdaki gibidir. ve artan için Lagrange formülü burada c x‘e ba ğ lıdır ve x 0 -x arasında bir yerlerde bulunur. Bir dizinin yakınsamasının düzeni Nümerik yakla ş ımlarda arzu edilen cevaba çok daha fazla yakla ş mak için sıklıkla dizinin yakla ş ımı hesaplanır. Büyük “0” ın tanımlaması için diziler tanım 2’de verildi ve bir dizi için yakınsama düzeninin tanımlaması tanım 3’de verilen fonksiyonlar için benzerdir

35 BÜYÜK “O” KESME HATASI Tanım 4 ve in ile bir dizi oldu ğ u farzedilir. x’e yakınsar, bu in yakınsama düzeni ile gerçekle ş ir. E ğ er K sabiti olu ş ursa öyle ki n için yeterince büyüktür. Bu yazılarak belirtilir veya

36 KARMA Ş IK SAYILAR KARMA Ş IK SAYILARA GENEL BAKI Ş Hiçbir gerçel (reel) sayı kendisiyle çarpıldı ğ ında –1 sonucunu veremeyece ğ inden –çünkü iki eksinin çarpımı artı yapar– matematikçiler –1 sayısının karekökünü “imajiner (hayali) sayı” olarak anarlar. Artı ve eksinin bu çeli ş kili bile ş imi, kuantum mekani ğ inde kesinlikle çok önemli bir rol oynar, modern bilimin temeli olan bir sürü denklem bu sayıyı içerir. Bu matemati ğ in ş a ş ırtıcı çeli ş kiler barındırdı ğ ı tartı ş ma götürmez. Hoffman bu hususta ş unları söylemek zorunda kalmı ş tır: Böylesi bir formülün, katı deneyler dünyasıyla, yani fizik dünyasıyla herhangi bir ba ğ lantısının olması gerekti ğ ine inanmak güçtür. Yeni fizi ğ in en derin temelini olu ş turaca ğ ı ve kendisinden öncekilere göre bilim ve metafizi ğ in ba ğ rına çok daha derin biçimde uzanaca ğ ı, bir zamanlar dünyanın yuvarlak oldu ğ u doktrini ne kadar inanılmaz göründüyse o kadar inanılmazdır.

37 KARMA Ş IK SAYILAR KARMA Ş IK SAYILARIN CEB İ R İ Karma ş ık sayılar, gerçel sayıların bir geni ş lemesidir ve ile gösterilir. Karma ş ık sayılar kümesi, gerçel sayılar kümesini kapsar. Karma ş ık sayılar biri gerçel biri sanal olmak üzere iki kısımdan olu ş ur. Bütün karma ş ık sayılar a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, a + bi biçimde yazılabilir. Burada i, x 2 = - 1 denkleminin köklerinden biri, ba ş ka bir deyi ş le -1 ′ in kareköküdür. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisli ğ inde i yerine, j kullanılır. Toplama ve Çıkarma Çarpma Bölme Toplama ve çarpma i ş lemi ise ş u ş ekilde tanımlanır: z 1 = (a,b),z 2 = (c,d) olmak üzere; Üstel ifade

38 Euler formülünden bir karma ş ık sayı "Fazör" formunda a ş a ğ ıdaki gibi yazılmı ş olabilir Burada, karma ş ık katsayısı olarak (veya bazen karma ş ık normu) bilinir ve karma ş ık argümanı veya faz olarak bilinir.karma ş ık katsayısı karma ş ık argümanıfaz Mutlak kareMutlak kare ile tanımlanır, Karma ş ık e ş lenik ve argüman hesaplaması olarak tanımlanır.Karma ş ık e ş lenik KARMA Ş IK SAYILAR

39 KARMA Ş IK SAYILARIN GEOMETR İ S İ Karma ş ık sayılar xy düzlemindevektör ile temsil edilirler. Bu karma ş ık düzlemde ile temsil edilir. Grafikte de görüldü ğ ü gibi çe ş itli karma ş ık sayı denklemleri xy ekseninde vektörel olarak yerle ş tirilmi ş tir. Karma ş ık sayılar ve düzlemde de gösterilebilir. noktarı xy düzlemine yerle ş tirildi ğ inde a ş a ğ ıdaki gibi bir düzlem elde eilebilir. Burada elde edilen e ş itlikte vektörü elde edilmi ş tir. KARMA Ş IK SAYILAR

40 KARMA Ş IK D İ Z İ LER VE SER İ LER Karma ş ık bir dizi karma ş ık sayıların bir alt kümesi olan pozitif tamsayı ve sonsuz aralı ğ ındaki bir fonksiyondur. A ş a ğ ıdaki dizi örneklerine bakacak olursak: KARMA Ş IK SAYILAR

41 KARMA Ş IK GEOMETR İ SER İ S İ, Bir geometrik dizi olarak adlandırılır ve matematik alanında en önemli serilerden biridir. Geometrik Seri: E ğ er ise serisi için yakınsar. E ğ er ise ıraksar. serisi için de tanımlanıyorsa fonksiyonunda yakınsar.Veya e ş de ğ eri olan serisi elde edilir. E ğ er ise dizi ıraksar. KARMA Ş IK FONKS İ YONLAR

42 E ğ er oldu ğ unda ise o zaman bütün n ler için elde edilir.

43 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 1. Onluk Çarpanlar 10 1 deka (da)10 -1 desi (d) 10 2 hekto (h)10 -2 santi (c) 10 3 kilo (k)10 -3 mili (m) 10 6 mega (M)10 -6 mikro (u) 10 9 giga (G)10 -9 nano (n) tera (T) piko (p) peta (P) femto (f) exa (E) atto (a) 2. Series.

44 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 2. SER İ LER a. Maclaurin Serileri 1. e x = 1 + x + x 2 / 2! x n / n! +... tüm x için 2. sin x = x - x 3 / 3! + x 5 / 5! - x 7 / 7! +... tüm x için 3. cos x = 1 - x 2 / 2! + x 4 / 4! - x 6 / 6! +... tüm x için 4. ln(1 + x) = x - x 2 / 2 + x 3 / (-1) n+1 x n / n +... (-1 < x <= 1) için 5. tan x = x + (1/3) x 3 + (2/15) x 5 + (17/315) x 7 + … (-Pi/2 < x < Pi/2) için 6. arcsin x = x + (1/2) x 3 / 3 + (1.3/2.4) x 5 / 5 + (1.3.5/2.4.6) x 7 / 7 + … (-1 < x < 1) için

45 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI a. Maclaurin Serileri 7. arctan x = x - x 3 / 3 + x 5 / (-1 < x < 1) için 8. sinh x = x + x 3 / 3! + x 5 / 5! + x 7 / 7! +... tüm x için 9. cosh x = x + x 2 / 2! + x 4 / 4! + x 6 / 6! +... tüm x için 10. arcsinh x = x - (1/2) x 3 / 3 + (1.3/2.4) x 5 / 5 - (1.3.5/2.4.6) x 7 / (-1 < x < 1) için / (1 - x) = 1 + x + x 2 + x (-1 < x < 1) için

46 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI b. Aritmetik Seriler 12. Sn = a + (a + d) + (a + 2d)+...+(a + [n-1]d) = (n/2)[ilk terim+ son terim] = (n/2)[a + (a+[n - 1]d) = n(a + [n - 1]d) c. Geometrik Seriler 13. Sn = a + a r + a r 2 + a r a r n-1 = a (1 - r n )/(1 - r) d. Tamsayı Seriler n = (1 / 2) n (n + 1) n 2 = (1 / 6) n (n + 1)(2n + 1) n 3 = [ (1 / 2) n (n + 1) ] 2

47 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 3. FAKTORYEL, PERMUTASYON, KOMB İ NASYON 1. n faktoryel = n ! = n.(n-1).(n-2) n nesnesinin r Permutasyonu : n P r = n ! / [ (n - r) ! ] 3. n nesnesinin r kombinasyonu : n C r = n ! / [ r ! (n - r) ! ] 4. BINOM AÇILIM. E ğ er n pozitif bir tamsayı ise, (x + y) n ifadesini a ş a ğ ıdaki gibi açabiliriz (x + y) n = n C 0 x n + n C 1 x n - 1 y + n C 2 x n - 2 y n C n y n Genel ifade ise n C r için: n C r = n ! / [ r ! (n - r) ! ]

48 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 5. TR İ GONOMETR İ K FORMÜLLER. 1. cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B 2. cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B 3. sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B 4. sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B 5. tan(A + B) = [ tan A + tan B ] / [ 1 - tan A tan B] 6. tan(A - B) = [ tan A - tan B ] / [ 1 + tan A tan B]

49 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 5. TR İ GONOMETR İ K FORMÜLLER. 7. sin A + sin B = 2 sin [ (A + B) / 2 ] cos [ (A - B) / 2 ] 8. sin A - sin B = 2 cos [ (A + B) / 2 ] sin [ (A - B) / 2 ] 9. cos A + cos B = 2 cos [ (A + B) / 2 ] cos [ (A - B) / 2 ] 10. cos A - cos B = - 2 sin [ (A + B) / 2 ] sin [ (A - B) / 2 ]

50 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 5. 1 Trigonometrik Fonksiyonların formüllerinin çıkarılması sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B) cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B) cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B) sin A sin B = - cos (A + B) + cos (A - B)

51 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 15. sin 2A = 2 sin A cos A 16. cos 2A = cos 2 A - sin 2 A = 2 cos 2 A - 1 = sin 2 A 17. sin 3A = 3 sin A - 4 sin 3 A 18. cos 3A = 4 cos 3 A - 3 cos A 19. sin 2 A = (1/2) [ 1 - cos 2A ] 20. cos 2 A = (1/2) [ 1 + cos 2A ]

52 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 6. TÜREV FORMULLER İ f (x)d [f(x)] / dx x n nx n - 1 e x ln (x)1 / x sin xcos x - sin x tan xsec 2 x cot x- csc 2 x sec xsec x tan x csc x- csc x cot x arcsin x1 / sqrt (1 - x 2 ) arccos x- 1 / sqrt (1 - x 2 ) arctan x1 / (1 + x 2 ) sinh xcosh x sinh x tanh xsech 2 x coth x- csch 2 x sech x- sech x tanh x csch x- csch x coth x arcsinh x1 / sqrt [x ] arccosh x1 / sqrt [x ] arctanh x1 / [ 1 - x 2 ]

53 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 1 - Temel fonksiyonların integrali 2 - Temel Trigonometrik fonksiyonların integralleri 7. İ NTEGRAL FORMULLER İ

54 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 3– Birden fazla trigonometrik fonksiyon içeren integraller 4 - Temel trigonometrik fonksiyonların integralleri

55 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 5 - Ters trigonometrik fonksiyonların İntegrali 4 - Temel trigonometrik fonksiyonların integralleri

56 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 6 - Üstlü sinüs ve kosinüs fonksiyonların İntegralleri 7 - Hiperbolik fonksiyonları içeren integraller

57 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 8. LAPLACE DÖNÜ Ş ÜMLER İ N İ N TABLOSU Laplace Dönü ş ümleri Tanımı : f (t) gerçek zaman de ğ i ş keninde bir fonksiyon ve t> = 0 için f’in F(s) Laplace dönü ş ümü “s ” karma ş ık bir de ğ i ş kendir. t orijinal olarak ve F (s) hayali fonksiyonu olarak ça ğ ırılır. Laplace Dönü ş ümlerinin Tablosu

58 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI Laplace Dönü ş ümlerinin Tablosu

59 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 9. FOUR İ ER DÖNÜ Ş ÜMLER İ TABLOSU Fourier Dönü ş ümleri Tanımı : E ğ er f(t) gerçek t zaman de ğ i ş keninde bir fonksiyon ise F (w) Fourier dönü ş ümü t> = 0 için u (t) = 1 ve t <0 için u (t) = 0 (bkz. ş ekil) i = sqrt (-1), sanal birim.

60 MATEMAT İ K FORMÜLLER İ N İ N TABLOLARI 9. FOUR İ ER DÖNÜ Ş ÜMLER İ TABLOSU

61 İ lginize Te ş ekkürler


"GAZ İ UN İ VERS İ TES İ B İ L İŞİ M ENST İ TÜSÜ 5441314 - SAYISAL ÇÖZÜMLEME DERS İ HAZIRLAYAN: VEYSEL ALCAN Ö Ğ RET İ M ÜYES İ : YRD. DOÇ. DR. NURETT İ." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları