Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Pİ  Pi için daha fazla basamak hesaplama isteği çevrenin çapa oranının çok karmaşık olmasındandır.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Pİ  Pi için daha fazla basamak hesaplama isteği çevrenin çapa oranının çok karmaşık olmasındandır."— Sunum transkripti:

1

2

3 Pİ  Pi için daha fazla basamak hesaplama isteği çevrenin çapa oranının çok karmaşık olmasındandır.

4  Bugün pi için 51 milyar basamak hesaplanmıştır ama aslında en titiz bir mühendis 20 basamaktan fazlasına ihtiyaç duymaz. (hesaplamalar şu an yaklaşık 207 milyar basamağa gelmiştir)

5  Pi’ye en çok çember alanında rastlansa da pi fizikte, istatistikte mühendislikte, mimarlıkta ve matematiginin her alanında kullanılır.

6  Eğer pi sayısının basamaklarına bir düzen, bir kural bulunabilseydi matematik ve evrendeki fizik çok çok daha iyi kavranılırdı.

7  İlk uygarlıktaki insanlar sadece deneyler yaparak bir dairenin çevresinin, çap uzunluğunun 3 katından biraz fazla olduğunu anlamışlardır. Fakat bundan daha ötesine gidilebildiğine dair bir kanıt yoktur. İLK ÇAĞLAR (m.ö )

8  Bir daire ile bir kare arasında kesin bir ilişki kurma çabasını ilk anaxagoras başlatmıştır. ESKİ YUNANİSTAN DÖNEMİ (m.ö m.s. 200)

9  Anaxagoras bir daireye eşit alana sahip bir kare çizmenin yöntemini geliştirmiştir, fakat bunu nasıl yaptığını bilmiyoruz.

10  Kısa bir süre sonra Antiphon ve Bryson yeni bir fikir geliştirdiler. Bir altıgen alınıp kenar sayısı ikiye katlanıp ve sonra yine sürekli ikiye katlanırsa sonunda (onlara göre) o kadar çok kenar olacaktır ki bu altıgen bir daire haline gelecektir.

11  Antiphon, önce bir çokgen çizip, art arda gelen çokgenler bir daireye yaklasirken her birinin alanini hesapladı ve böylece dairenin yaklasik alan degerini buldu.

12  Bryson ise biri dairenin içine diğeri dışına olmak üzere iki çokgenin alanını hesapladı. Daire alanının bu iki çokgen alan değerinin arasında bir yerde olacağını düşünüyordu.

13  Bu hesaplamalar o çağ için oldukça karışık bir işti çünkü; giderek küçülen yüzlerce üçgenin alanını hesaplamayı gerektiriyordu. Ne kadar karmaşık olursa olsun Antiphon ve Bryson pek çok basamağa ulaşmayı başardılar.

14  Arkhimedes ise alana değil çevreye odaklandı ve böylece, dairenin çevre uzunluğu için yaklaşık bir değer buldu.,  İki altıgen aldı ve bunların kenar sayılarını dört kere iki katına çıkararak 96 kenarlı bir çokgen elde etti.

15  Bunlardan yola çıkarak çevrenin çapa oranına yani pi sayısına bir alt ve üst sınır belirleyebildi.  Arkhimedes pi için 3 1/7’den küçük 3 10/71’den büyüktür dedi.  Bu iki değerin ortalaması 3,1419 eder ki bunun gerçek değerden sapması on binde üçten daha azdır.

16 DOĞU’DA Pİ (m.ö ) ÇİN EEn eski bilimsel gelişmeler Çin’de gelişmiş olmasına karşın Çinliler hesaplmalarında pi için 3 değerini kullanıyorlardı.

17  Çinliler pi için ancak m.s. İkinci yüzyılda değerler bulmaya başladılar.  Ch’ang hong pi için yaklaşık kök 10 (3,162) değerini bulmuştur.

18  263 yılında Liu Hui bir çember içine 192 kenarlı bir çokgen çizerek pi’nin 3, ile 3, değerleri arasında bulunduğunu belirledi.  Daha sonraysa 3075 kenarlı bir çokgen kullanarak pi’nin yaklaşık 3,1416 değerinde olduğunu saptadı.

19  Tsu Keng-chih ise tam kenarlı bir çokgen kullanarak pi için yaklaşık 3, değerini buldu ki bu gerçek değerinin yüzde birin 8 milyonda biri kadar farklıdır.

20 HİNDİSTAN  Hindistan’da 7. yüzyılda Brahmagupta da pi için kök 10 değerinde olduğunu söyledi.  Ve bu kök 10 değeri çok yanlış bir değer olmasına rağmen Hindistan’dan Avrupa’ya kadar yayıldı.  Bu kök 10 değerinin anımsanması ve iletilmesi kolay olduğundan kaynaklanıyor olabilir.

21 İLERLEME BİNYILI (m.s )  1579 yılında Viete içe ve dışa çizilen çokgenler yardımıyla yeni bir kural buldu ve o güne kadar olan en hassas pi değerini hesaplamıştır.  Tam kenarlı çokgenlerin teker teker çevresini hesaplamış ve bir sonsuz çarpım elde etmiştir.

22  Bu büyük bir olasılık ile bir değeri tanımlamak için kullanılan ilk sonsuz çarpımdı.  Ne yazık ki bu sonsuz çarpım gerçek bir atılım olmasına karşın pi’yi hesaplamak için pek bir işe yaramıyordu.

23  Ludolf van Ceulen çemberi kareleme yöntemiyle 32 milyardan fazla kenara sahip çokgenler kullanarak pi’yi 20 haneye kaar hesaplamıştı.  Van Ceulen 1610’da öldüğünde, matematikçilerin bu yöntemle tam 35 basamak hesaplamıştı.  Bu başarı sabır ve dayanma gücünün bir simgesi olarak nitelenmiştir.

24  van Ceulen’in ölümünden sonra pi arayışı için çok büyük bir atılım gerçekleşmiştir.  Ne yazık ki bu atılım van Ceulen’in çalışmalarını boşa çıkarmıştır.

25 MATEMATİKTE ÖNEMLİ ATILIMLAR (m.s )  Bu dönemde çemberi kareleme yöntemi yavaşça kapanmış ve integral kalkülüsü adı verilen yeni bir aşama başlamıştı.

26 arktanjant: tanjantı verilen bir sayıya eşit olan, radyan cinsinden ölçülen açıdır.  1675’te James Grogory arktanjantları hesaplamak için yeni bir yöntem hesapladı.

27  Bundan üç yıl sonra Alman Gottfiried Wilhelm Leibniz, Gregory’den bağımsız olarak aynı arktanjant serisini buldu ve buna bir de özel durum ekledi.  Bu; serinin içine 1 eklenmesiyle pi/4 için yaklaşık olarak bir değer bulunabilmesiydi.

28  Ancak Gregory ve Leibniz serileri pi için basamak hesaplamada hiçbir işe yaramaz.  Bu seri pi için gerçekten yararlı olması için binlerce terim gerektirmekte ki bu da çok ama çok fazla uğraş ve emek isteyen bir iştir.

29  1665’te Londra veba salgını ile kırılırken Newton, Woolsthrope’a çekildi ve günlerini kalkülüs ile düşünerek geçirdi.  Pi’yi hesaplamak Newton dehasına sahip bir insan için basit bir işti ama bu sayı onun bile günlerini alıyordu.  Ama bu süre zarfında pi için iki sonsuz terimli seri bulmuştur.

30  William Rotherford 1841’de pi için 208 basamak buldu.

31  1847 yılında ise Thomas Clausen, daha önce bulunmuş formülleri kullanarak 248 basamak hesapladı.

32  1873’e gelindiğinde William Shanks pi için 707 basamak hesapladı.

33  Asya’da ise 1663’te Muramatsu Shigekiyo Japonya’da çokgenler kullanarak pi için yaklaşık değer buldu ve nasıl bulduğunu açıklayan Sanso adlı eserini yayımladı.

34  Bu eser iki nedenle önemli: 1. Muramatsu sonuca nasıl ulaştığını açıkladı. Bu Avrupa’da normaldi ama Japonya’da pek normal sayılmazdı çünkü ispatlara pek yer verilmezdi 2. Muramatsu pi’yi 7 basamağa kadar doğru hesaplamıştı.

35  Seki Kowa 1712’de pi için 16 doğru basamak buldu.  1722’de Tatebe Kenko 40 basamak hesapladı  Yine 1722’de Kamata Toshikiyo çokgenler yardımıyla ve yaptıklarını kanıtlayarak 24 hane buldu. Seki kowa

36 ELEKTRONİK BİLGİSAYAR ÇAĞI (m.s …)  William Shanks 1874’de pi için 707 basamak bulduğunu açıklamıştı. Ne var ki 527. hanede bir yanlış hesaplama yapmış ve geri kalan 180 basamağı da yanlış bir şekilde hesaplamıştı.  Fakat Shanks’ın pi’yi yanlış hesapladığı bilinmiyordu. Bu ancak 1945’te anlaşıldı.

37  Yanlış hesaplamanın farkedilmesi çok uzun süre aldı çünkü D. F. Ferguson eline kağıt kalem alıp arktanjant formülünü kullanarak 530 doğru basamak hesaplaması Shanks’ın ölümünden uzun bir süre sonra gerçekleşti.

38  D. F. Ferguson bu 530 basamağı günde ortalama bir basamak hesaplayarak tam bir yılda buldu.  Ferguson bir süre sonra kağıt ve kalem kullanmaktan vazgeçip elektronik hesap makinesini kullanmaya başladı.

39  Bu hesap makinesiyle 1947 yılında tam 808 basamak hesapladı.  Hesap makinelerinin ortaya çıkmasıyla birlikte Levi Smith ve John Wrench arktanjant formülünü kullanarak Ferguson’un bulduğu basamakları doğrulama işine girişti.

40  Bu kadar basamağı hesapladıktan sonra Smith ve Wrench kendilerini pi’yi hesaplamaktan mahrum bırakmadılar ve 1948’de pi’nin bininci basamağına kadar ilerlediler.  Ama maalesef ki hesap makinelerinin tuşları çok gürültü çıkarıyordu ve gerekli arktanjantlar için uzun ve çok yorucu işlemler yapılması gerekiyordu.  Günde bir yada iki basamak hesaplamak ise bu çabaya değmiyordu.

41  1984’de Amerikalıların yaptığı ENIAC adlı bilgisayar matematik ve geometri alanında tam bir atılım olmuştur.  1985 yılında George Reitwiesner, John von Neumann N. C. Metropolis lambası, yüzbinlerce rezistans ve kapsitörü olan bu dev aygıtı pi’yi 2037 basamağa kadar hesaplamak için kullanmıştı.

42  Bu hesaplama delgi kağıtlarını hazırlamak ve makineye vermek de dahil olmak üzere sadece 70 saat sürdü.

43  ENIAC’ın pi’yi hesaplamasından sonra bilgisayarlar o kadar çok gelişmişti ki NORC (deniz kuvvetleri mühimmat araştırma hesaplayıcısı) pi’nin 3089 basamağını sadece 13 dakikada hesaplamıştı.

44  Gregory Leibniz arktanjant formülünü kullanarak bilgisayarları ile 40 dakika içerisinde ’den fazla basamak hesaplamışlardı.  Bu dönemde artık pi’yi hesaplamak makinenin doğruluğunu ve de hızını hesaplamak için kullanılıyordu.

45  Şu anda pi’ye yeni basamaklar bulmak yeni bir bilgisayarı sınamaktan başka bir işe yaramaz çünkü bu sayının gerçek zenginliği çok uzun yıllar gizli kalacaktır.

46 CHUDNOVSKY KARDEŞLER  David ve Gregory Chudnovsky kardeşler hem pi’nin derin anlamlarına inmeye çalışan hem daha fazla basamak hesaplama yoluna giden ilk matematikçilerdendir.  Bu iki kardeş en çok basamak hesaplamada dünya rekorunun sahibidirler. (ilk önce 450 milyon, sonra 1 milyar ve en sonunda 2 milyar basamak hesaplamışlardır.)  Bunun dışında pi’yi tanımlamak için incelikli denklemler geliştirmişlerdir.

47  Rekor kıran ilk deneyimlerinden sonra yani 450 milyon basamağı hesapladıktan sonra oturdukları bir apartman dairesinde kendilerine ait bir bilgisayar yapmaya başladılar.

48  Ve inanılmaz hızlı, saniyede bir çok milyar işlem yapabilen çok işlemcili bir bilgasayar yaptılar: m zero.  Gregory, pi’yi hesaplamanın en ileri bir spor olduğunu, David ise bu sporu evde yapmaya kalkışmamak gerektiğini söyler.

49  En sonunda bilgisayarları 1 haftada tam 8 milyar basamak hesapladılar ve bir dünya rekoruna imza attılar.  Fakat onlar bu rekorla değil pi’nin basamaklarını anlamak ile ilgileniyorlardı.

50 Pi’nin içinde ne var?  Pi’nin basamakları tamamen rastlantısal bir şekilde görülen biçimde sonsuza doğru akar.  Aslında pi’nin basamakları anlamsız değildirler.

51  Mesela tek bir basamağı değiştirsek o sayı artık pi olmaktan çıkar ve tamamen başka bir sayı olacaktır. Çünkü ondan sonra gelen basamakların tamamı değişecektir.  Bir çemberin çevresinin çapına oranı kesinlik gerektirir.

52 Pi Sembolü  Pi sembolü Yunan alfabesinin 16. harfidir.  Çoğu insanlar Pi sembolünün tam olarak neyi temsil ettiğini bilmeseler de bu sembolü tanırlar.

53  İşin en ilginç yanı eski Yunanlılar bir çemberin çapına oranı için Pi sembolünü kullanmamışlardır.  Romalılar, Çinliler, Araplar da kullanmadılar.

54  Pi sembolü sadece son 250 yıl boyunca kullanılmaya başlanmıştır.  William Jones ber çemberin çapına oranını pi sembolü ile göstermiştir ve bu matematik dünyasında büyük yankı uyandırmış herkesçe kabul görmüştür.

55  Jones pi’yi çok farklı şekillerde de kullanmıştır.  Mesela bir geometrik nokta yada başka bir yerde dış kenar uzunluğunun göztermek için kullanmıştır.

56  Ama matematik dünyasını esas etkileyen kişi Jones değildi. Leonhard Euler çalışmalarında çevre uzunluğunun çapa oranını pi ile göstermeye başlamıştır.  Ve matematik dünyasını etkilemek için Jones’un etkisi ne kadar küçükse Euler’in etkisi o kadar büyüktü. Euler’in pi’yi kullanmasıyla bu tüm Dünya’ya yayıldı.

57  En sonunda A. M. Legendre Geometrinin Unsurları adlı fransızca ders kitabını yayımladığı sırada hemen hemen bütün matematikçiler pi’yi bizim şu an kullandığımız anlamda kullanıyorlardı.

58 Pİ’NİN KİŞİLİĞİ  Matematikçiler yüzyıllar boyunca pi’nin irrasyonel olup olmadığını tartıştılar.  Ancak bu tartışma 1761’de Johann Heinrich tarafından kesin bir şekilde kapatılmıştır.  Heinrich pi’nin irrasyonel olduğunu kuşkuya yer verilmeyecek bir şekilde kanıtlamıştır.

59  1882’de ise Ferdinant von Lindermann pi’nin bir aşkın sayı olduğunu ispatladı.  Bu ispat 200 yıllık matematiksel katkıları ele alarak yapılmıştı.

60 Pİ’Yİ EZBERLEMEK  Simon Plouffe pi’nin tam 4096 basamak ezberlemiştir.  Aslında 4396 basamak ezberlemiş olmasına rağmen bunu açıklamamıştır. Bir matematikçi olduğu için 4096 (2 12 ) daha zarif olduğunu düşünmüştür.

61  Ama esas rekor Rajan Mahadevan adlı kişiye aittir.  Bu kişi tam 1983’te tam basamak ezberleyerek dünya rekorunu kırmıştır..

62  1955’te Zhang Zhuo adlı 12 yaşındaki bir Çinli çocuk pi’nin 4000 ondalık basamağını 25 dakikada ezberlemiştir.

63  Tarihler 1995 tarihine geldiği sırada 23 yaşındaki Hiroyuki Goto tam basamak ezberlemiştir.  Ve bunu sadece 9 saat gibi kısa bir zaman diliminde başarmıştır.

64 Pİ İÇİN SÖYLENMİŞ SÖZLER:  Matematikte belki de hiçbir simge pi sayısı kadar gizem, romantizm, yanılgı ve insan ilgisi yaratmamıştır. William L. Scaaf

65  Şu gizemli 3,14159…. her kapıdan, pencereden ve bacadan içeri giriyor. Augustus De Morgan  Gizemli ve harikulade pi, hesap makinelerinin boğazlarını temizlemeye yarayan bir gargaraya indirgenmiştir. Philip J. Davis

66  Bir dairede 360 derece bulunduğu ve pi de daire ile yakından bağlantılı olduğu için heyacanla [360’ncı basamağı] ararız ve bir kez daha çok ilginç bir olgu ile ödüllendiriliriz. [359’uncu basamakta] 360 ile karşılaşırız; yani 360 [360’ncı basamağı merkez almıştır.


"Pİ  Pi için daha fazla basamak hesaplama isteği çevrenin çapa oranının çok karmaşık olmasındandır." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları