Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Serhat YILMAZ KLASİK VE BULANIK KÜME KURAMLARI 1 0 0 1 Zadeh,1965 Keskin sınırlar Geçişmiş sınırlar, Ara değerler.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Serhat YILMAZ KLASİK VE BULANIK KÜME KURAMLARI 1 0 0 1 Zadeh,1965 Keskin sınırlar Geçişmiş sınırlar, Ara değerler."— Sunum transkripti:

1 Serhat YILMAZ KLASİK VE BULANIK KÜME KURAMLARI Zadeh,1965 Keskin sınırlar Geçişmiş sınırlar, Ara değerler

2 Serhat YILMAZ Bulanık Küme Kavramına Neden İhtiyaç Duyarız?  Bir çok büyüklüğü ve ifadeyi kesin sınırlarla sınıflara ayırmak mümkündür. Dişi-erkek,elma-armut açık bir şekilde farklı kategorilere aittir.  Bazı kavramlar ise birden çok özelliği aynı anda gösterebilir.Bu kavramı,baskın özelliğini gösterdiği sınıfa dahil etmek,diğer özelliğini ihmal etmek doğru bir yaklaşım gibi görünse de bazı durumlarda sakıncalı olabilir.

3 Serhat YILMAZ 3 Örneğin aşağıda gördüğümüz alanı mayınlı bölge ve güvenli bölge olarak kesin sınırlara ayırmak isteyelim Mayınların x-y düzlemindeki konumları

4 Serhat YILMAZ 4 Mayınlı bölgenin sınırlarını genel hatlarıyla aşağıdaki gibi çizebiliriz.Fakat diğer bölgelerde de seyrek de olsa mayın olduğundan bu sınıflama hatalıdır. Mayınlı bölge güvenli bölge sınıflaması

5 Serhat YILMAZ 5 Bu özelliklerin varlığı düşük dereceyle de olsa temsil edilmelidir.  Mart ile mayıs bahar özelliklerini aynı derecede mi gösterirler?  31 mayıs bahar özelliklerini gösterirken,1 haziran yaz özelliği mi gösterir? Gerçekte mevsim özellikleri birbiri içine geçmiştir ve bir günde böyle ani bir değişiklik göstermez.

6 Serhat YILMAZ 6 Aylar ve ait oldukları mevsimlerin klasik küme ile gösterimi Aylar ve ait oldukları mevsimlerin bulanık küme ile gösterimi

7 Serhat YILMAZ 7 Benzer bir şekilde boy için klasik ve bulanık küme tanımlarını verelim.Klasik küme için aşağıdaki gibi olacaktır. Klasik küme tanımlamasına bakıldığında 1.59 boyundaki biri kısa sınıfına ve ya kümesine girerken;1.60 boyundaki arkadaşı orta boylu kabul edilmektedir.Aynı şey 1.74 boyundaki biri için de geçerlidir. Klasik kümelerle boy sınıflaması

8 Serhat YILMAZ 8 Bulanık kümelerle boy sınıflaması Bu gösterimde klasik kümedekinden farklı olarak bu kişilerin birbirine yakın özellikler gösterdiği daha anlamlı bir biçimde ifade edilebilmektedir.

9 Serhat YILMAZ Klasik Kümeler Klasik anlamda küme nesnelerin iyi tanımlanmış şeklidir. Bu gösterimlerle biz bir elemanın bir kümeye ait olup olmadığını anlayabiliyoruz.Peki bunu bilgisayarlara anlatmak istersek nasıl bir komut yazmalıyız? Kümeler hakkında sözel ifade edebileceğimiz şeyleri matematiksel terimleriyle örneğin fonksiyonlarla ifade edebilir miyiz? X=[0,120]. A kümesi, bu X evreni üzerinde bir alt küme olsun ve 30 ile 40 yaş arasındaki yaşları temsil etsin. A=[30,40]. A kümesinin liste ve şematik gösterimi aşağıdaki gibidir. A={30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40} Liste gösterimi

10 Serhat YILMAZ Klasik Kümelerde Karakteristik Fonksiyonlar Klasik küme kuramına göre bir eleman bir kümenin ya elemanıdır ya da değildir.Başka bir deyişle nesne kümeye tam üyedir ve üyelik derecesi 1’dir veya üye değildir ve bu nedenle üyelik derecesi 0’dır. Bu yüzden klasik kümelerde elemanların üyelik dereceleri {0,1} şeklinde iki değer alabilir.

11 Serhat YILMAZ 11 Söylediklerimizi yaş grubunu temsil eden küme üzerinden tekrar değerlendirelim. X=[0,120], A=[30,40] idi.Klasik kümelerde, bir x yaş değerinin A yaş gurubu kümesine üye olup olmadığını gösteren bağıntı karakteristik fonksiyonu ile verilir.

12 Serhat YILMAZ 12 Herhangi bir x değerinin X evreni üstündeki A klasik altkümesine üyelik ifadesi matematiksel olarak aşağıdaki biçimde bir üyelik fonksiyonu ile gösterilir. Bu yüzden bir değerin kümeye üyelik derecesi 1 yani tam (%100) veya 0,yani yok (%0)’tur.

13 Serhat YILMAZ Bulanık Kümeler ve Üyelik Fonksiyonları Bazı değerler klasik kümelerdeki gibi kolayca sınıflanamaz.Sınıflansa bile o kümenin ve diğer bir kümenin özelliklerini aynı anda göstermeleri nedeniyle sınıflamamız yanlış olur. Zadeh, sadece iki üyelik derecesi alan bu ifadeyi, 0 ile 1 arasında çeşitli üyelik dereceleri alabilen bir başka gösterim şekline genişletmiştir ve bu yeni üyelik fonksiyonunu ile temsil etmiştir.

14 Serhat YILMAZ 14 Bu nedenle klasik kümeleri, bulanık kümelerin özel bir durumu olarak kabul edebiliriz. Sonuçta her iki küme de elemanlardan oluşur. Kümelerin sınırları dışında iki küme türünde de üyelik dereceleri sıfırdır çünkü kümelerin buralarda elemanları yoktur. Klasik küme (Kesin değerli küme) ve (b) bulanık küme

15 Serhat YILMAZ 15 X evreni ve dolayısıyla buradaki elemanlar ve üyelik dereceleri ayrık olabilirler. Bu durumda bulanık kümeler için aşağıdaki gibi bir gösterim biçimini kullanabiliriz. X evreni sürekli ise kümesinin gösterimi aşağıdaki hale dönüşür. Bölme değil sınırlama yani kümenin hangi x değeri için hangi üyelik derecesini aldığını gösterir. Cebirsel Toplama değil grafiksel anlamda bir araya getirme, birleştirme anlamına gelir.

16 Serhat YILMAZ Üyelik Fonksiyonu Çeşitleri Üyelik derecelerinin 0’dan 1’e ne şekilde değişeceğini üyelik fonksiyonunun belirlediği açıktır. Üyelik fonksiyonunun şekli, kümenin ifade etmek istediği uygulama alanına göre değişiklik gösterir. 0’dan 1’e üyelik değerlerinin değişimi

17 Serhat YILMAZ Üçgenler ve Yamuklar Parçalı-doğrusal fonksiyonlardır. Grafiksel gösterimleri, oluşturmaları ve hesaplamaları oldukça kolaydır. Üçgen ve Yamuk Üyelik Fonksiyonları

18 Serhat YILMAZ 18 Üçgen üyelik fonksiyonu, : (a,0) başlangıç, (c, 0) tepe ve (b,0) bitiş noktalarıyla tanımlanmaktadır. Normal bir üyelik fonksiyonunda ’dir.

19 Serhat YILMAZ 19 Üçgen üyelik fonksiyonunu Matlab’ta yazalım ve grafiğini çizdirelim. Üçgen X=[0 20] evrensel kümesinin alt kümesi olsun. a=3,c=5,b=8 olsun ve xi=5.5 elemanının bu kümeye üyelik derecesini hesaplayalım. ucgen(0,3,5,8,20,5.5) komutuyla program çalıştırılır. Açıklamalar program üzerinde verilmiştir.

20 Serhat YILMAZ 20 Üçgen üyelik fonksiyonu ile ilgili program kodları

21 Serhat YILMAZ 21 Program, bulanık kümeyi temsil eden üçgen üyelik fonksiyonunun grafiğini çizer ve xi=5.5’in üyelik derecesini = olarak hesaplar. Üçgen üyelik fonksiyonunun verilen aralıktaki grafiği

22 Serhat YILMAZ 22 Yamuk üyelik fonksiyonu ise: (a,0) başlangıç, (c, α) ve (d, α ) tepe ve (b,0) bitiş noktalarıyla tanımlanmaktadır.

23 Serhat YILMAZ 23 Yamuk üyelik fonksiyonunun Matlab’ta yazalım ve grafiğini çizdirelim. Yamuk da yine X=[0 20] evrensel kümesinin alt kümesi olsun. Şekli a=4,c=8,d=12,b=16 noktalarıyla tanımlanan ve xi=15 elemanının bu kümeye üyelik derecesini hesaplayalım. yamuk(0,4,8,12,16,20,15) komutuyla program çalıştırılır.

24 Serhat YILMAZ 24 Yamuk üyelik fonksiyonuyla ilgili program kodları

25 Serhat YILMAZ 25 Yamuk üyelik fonksiyonunun şekli aşağıda görülmektedir ve xi=15 için = 0.25 bulunmuştur. Yamuk üyelik fonksiyonunun verilen aralıktaki grafiği

26 Serhat YILMAZ Gauss Üyelik Fonksiyonları Gauss üyelik fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlanır. Burada c, Gauss eğrisinin merkezini, ise genişliğini ayarlayan parametrelerdir. c=0 ve değerleri bize Standart Gauss Üyelik Fonksiyonu ’yi verir

27 Serhat YILMAZ 27 Gauss Eğrileri

28 Serhat YILMAZ 28 Gauss üyelik fonksiyonunu Matlab’ta yazalım ve grafiğini çizdirelim. X=[0 20] evrensel kümesi altında merkezi c=10, genişliği değeriyle belirlenen bir Gauss üyelik fonksiyonu çizelim. Bu fonksiyonun temsil ettiği kümeye xi=15 elemanının üyelik derecesini hesaplayalım. GaussEgrisi(0,20,10,1,15) komutuyla program çalıştırılır.

29 Serhat YILMAZ 29 Gauss üyelik fonksiyonuyla ilgili program kodları

30 Serhat YILMAZ 30 Üyelik derecesi, = bulunmuştur. Gauss üyelik fonksiyonunun verilen aralıktaki grafiği

31 Serhat YILMAZ Cauchy Üyelik Fonksiyonu Genelleştirilmiş çan eğrisi olarak da bilinen bu üyelik fonksiyonu : formülüyle tanımlanır. c: eğrinin merkezini, taban genişliğini, n ise tavan genişliğini belirler. Programı aşağıdaki gibidir.

32 Serhat YILMAZ 32 Çan eğrisi ile ilgili matlab kodları

33 Serhat YILMAZ 33 CanEgrisi(0,20,10,4,4,9) komutu, [0,20] arasında, merkezi c=10 noktasında olan taban genişliği =4, tepe genişliği n=4 parametreleriyle belirlenen çan eğrisi grafiğini çizer. = 1 bulunur. Çan eğrisi grafiği

34 Serhat YILMAZ S ve Z şeklindeki sigmoid fonksiyonları Aşağıdaki gibi tanımlıdır. ’nın işareti; fonksiyonun artan mı (S), yoksa azalan mı (Z) olduğunu, değeri ise artma veya azalmanın şeklini ifade eder. Pozitif değerleri S tipi, negatifler ise Z tipi eğri oluşturur. m :fonksiyonun merkezi yani eğimli kısmın orta noktasıdır.

35 Serhat YILMAZ 35 Sigmoid eğrileri ile ilgili matlab kodları

36 Serhat YILMAZ 36 SigmoidEgrisi(0,20,10,+1, 5) komutu [0,20] aralığında merkezi m= 10’de olan = +1 aşağıdaki S grafiğini çizer. xi=5 için = bulunur S tipi sigmoid fonksiyonunun grafiği

37 Serhat YILMAZ 37 Benzer şekilde; SigmoidEgrisi(0,20,10,-1, 5) komutu aynı aralık ve merkez değerinde= -0.1 için Şekil2.23’deki Z grafiğini çizer. xi=5 için = çıkmıştır. Z tipi sigmoid fonksiyonunun grafiği

38 Serhat YILMAZ 38 olduğundan aynı şekiller tanjant hiperbolik fonksiyonları ile de elde edilebilir. Tüm bu şekiller bulanık mantık uygulamalarında oldukça kullanışlı olabilmektedir.

39 Serhat YILMAZ Tek darbe (tek ton, singletone) fonksiyonu A kümesi tek bir eleman,, değerinden oluşur. x=a noktasında üyelik derecesi 1, diğer noktalarda 0 olan anlık bir impuls fonksiyonudur. Genelde sistemlerin çıkış üyelik fonksiyonlarını temsil etmek için kullanılırlar. Programı aşağıdaki gibidir.

40 Serhat YILMAZ 40 Tek darbe üyelik fonksiyonu ile ilgili matlab kodları

41 Serhat YILMAZ 41 Tekton(0,1.713,15,0) komutu, altsınır=0 ile üstsınır=15 arasında, x=a=1.713 noktasında =1 olan bir fonksiyon çizer. Tek darbe üyelik fonksiyonunun grafiği

42 Serhat YILMAZ Birden fazla bulanık kümenin evrensel küme üzerinde gösterimi İnsanlar pek çok kavramı ve büyüklüğü, sözel olarak derecelendirebilir veya sınıflayabilir. Evrensel küme üzerinde birden fazla bulanık kümenin gösterimi

43 Serhat YILMAZ 43 Psikiyatri alanında yapılan çalışmalara göre insanlar bir değişkeni alt ve üst sınır değerlerini 5 ile 9 değere kadar ayırt edebilmektedir Böylece insanlar boy, hız, sıcaklık, gibi sözel değişkenleri çok sayıda dereceye ayırabilirler. Bulanık mantıkta bu ayırma işlemi matematiksel olarak her biri bir sözel sınıfı temsil eden birbiri içine geçişmiş birden fazla üyelik fonksiyonunun tek bir çizimde gösterilmesi ile temsil edilebilir.

44 Serhat YILMAZ 44 Evrensel küme üzerinde birden fazla bulanık küme çizen program

45 Serhat YILMAZ 45 Buradaki üyelik fonksiyonlarını grafik çizdirmek için kullandığımızdan üyelik derecesine ihtiyaç duymuyoruz. Bu nedenle üyelik derecesi hesaplanacak elemanı hep 0 seçtik ve hesaplanan üyelik derecelerini de şimdilik bir yerde kullanmadık. Elde edilen grafik şu şekildedir. Evrensel küme üzerinde bulanık kümelerin bilgisayar çizimi

46 Serhat YILMAZ Klasik Kümeler ve Bulanık Kümelerde İşlemler Klasik Kümelerde İşlemler Klasik kümeler kesişim, birleşim ve tümleme işlemleri aracılığıyla birbirleriyle birleştirilebilir veya birbirlerinden çıkarılabilirler. X evreni üzerinde,ve olmak üzere 2 tane küme tanımlayalım. Evrene ait bir x elemanı için temel küme işlemleri: Kesişim İşlemi: A B = Birleşim İşlemi: A B = Tümleme İşlemi: X – A =

47 Serhat YILMAZ 47 Klasik küme işlemlerinin şematik gösterimleri ise şu şekildedir: Klasik kümelerde işlemlerin şematik gösterimi

48 Serhat YILMAZ 48 Yukarıda birleşim işleminin bilgisayarda yapılabilmesi için programda kullanılan operatörün, A ve B kümelerine ait üyelik değerlerinin en büyüğünü alması gerekir. Bu işlem de bilgisayar programındaki örneğin; maximum gibi bir fonksiyonla yapılabilir. Benzer şekilde kesişim işlemi minimum fonksiyonu ile ve tümleyen işlemi 1’den çıkarılarak hesaplanabilir.

49 Serhat YILMAZ 49 Klasik Kümelerde Birleşim,Kesişim ve Tümleme İşlemleri

50 Serhat YILMAZ Bulanık Kümelerde İşlemler X evreni üzerinde A ve B olmak üzere 2 tane bulanık küme tanımlayalım. Bulanık kümelerde işlemler, klasik kümelerde olduğu gibidir.Küme işlemlerinin Venn şeması gösterimleri verilmiştir. Bulanık kümelerde işlemler

51 Serhat YILMAZ 51 Bulanık Kümeler İçin İşlemler Birleşme Kesişme Tümleme Tümleme işleminin bulanık kümelerde daha farklı olduğu açıkça görülmektedir. Bu nedenle temel küme özellikleri, tümleme işlemini içeren iki özellik hariç,bulanık kümelerle klasik kümelerde aynıdır. Bu özellikler ve grafiksel gösterimleri şu şekildedir

52 Serhat YILMAZ 52 Bulanık Küme ve Tümleyeni Arasındaki İşlemler

53 Serhat YILMAZ 53 Genelde burada gördüğümüz küme işlemleri örnekleri açıklamak için aynı evrensel kümenin, örneğin X’in iki bulanık kümesi arasındaki işlemler şeklinde verilmiştir. Aslında gerçek bulanık mantık uygulamalarında küme işlemleri, bir X evrensel kümesi üzerindeki bulanık kümesiyle başka bir boyuttaki Y evrensel kümesi üzerinde bulunan kümesi arasında kartezyen çarpım şeklinde olur.

54 Serhat YILMAZ 54 Özet  Bulanık kümeler belirsiz, tam ve kesin değeri olmayan sözel kavramları betimlemek için kullanılır (hızlı koşucu, sıcak su, …gibi)  Bulanık bir küme bir nesnenin kendisine kısmi üyeliğini kabul eder (hava biraz sıcak).Burada sıcak: bulanık küme, havanın durumu: nesnemiz, biraz: nesnenin kümeye ne oranda üye olduğunu ifade eder.  Ne oranda üye olduğu, bulanık kümelerde, kümenin üyelik fonksiyonu tarafından [0,1] arasında sayısal bir değer olarak belirlenir ve üyelik derecesi olarak adlandırılır. Örneğin “hava, sıcak tanımına 0.8 derece uymaktadır” gibi...

55 Serhat YILMAZ 55 Kaynaklar  Fuzzy Logic with Engineering Applications, Ross T. J., Mc. Graw Hill,1995, New York.  Fuzzy Logic Toolbox For Use with Matlab, Users Guide, Mathworks Inc.,1998.  Nguyen, H.T., Prasad, N.R., Walker, C.L., Walker, E.A., (2003). A First Course in Fuzzy and Neural Control, Cahpman &Hall/CRC, New York.


"Serhat YILMAZ KLASİK VE BULANIK KÜME KURAMLARI 1 0 0 1 Zadeh,1965 Keskin sınırlar Geçişmiş sınırlar, Ara değerler." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları