Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Serhat YILMAZ 1 Hazırlayan: Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Bölümü.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Serhat YILMAZ 1 Hazırlayan: Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Bölümü."— Sunum transkripti:

1 Serhat YILMAZ 1 Hazırlayan: Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Bölümü

2 Serhat YILMAZ 2 GİRİŞ •Otomatik kontrol sistemlerinin çözümleme ve tasarım süreçlerinde sistemlerin matematiksel modellerine ihtiyaç duyulur. •Bu model, sistem değişkenleri arasındaki ilişkileri çözümlememizde bize yol gösterir. •Mekanik, kimyasal, ısıl, elektriksel ve bunların bileşimi olan (eletromekanik, elektrokimyasal..) pek çok sistem fiziksel olarak modellenebilir.

3 Serhat YILMAZ 3 •Fiziksel bir sistemi, örneğin endüstriyel bir tesisi, bir uçağı deneme yanılma yoluyla incelemek, bozup tekrar tasarlamak oldukça maliyetli ve uzun bir süreç olurdu. Bunun yerine sistemin davranışlarını temsil eden denklemlerden oluşan matematiksel bir eşdeğer model üzerinde hesap kitap yapmak işimizi oldukça kolaylaştırır. •Hızı saatte 90 km olan bir otobüsün 3 saat sonra nerede olacağını tahmin etmek için otobüse binip 3 saat gitmemiz gerekmez. Newton’un hareket yasasına göre alacağımız yolun matematiksel formülü x=v.t’dir. Otobüsün davranışını doğrusal ve zamanla değişmiyor kabul edersek (hız kesmiyor, mola vermiyor..gibi) bu matematiksel modeli çözerek aracın 3 saat sonra yaklaşık olarak 270 km ilerdeki bir ilçede olduğu tahmininde bulunabiliriz.

4 Serhat YILMAZ 4 Fiziksel bir sistemin çözümleme sürecini ele alalım; •Fiziksel sistemlerin dinamik karakteristiklerinin incelenmesini mümkün kılmak için bu sistemlere ait fiziksel olayın idealleştirilmesi suretiyle modellerinin kurulması gereklidir. •Model kurma işleminde genellikle çok karmaşık olan fiziksel sistemin uygun kabullerle basit ve pek çok durumda idealize edilmiş elemanlardan oluşacak şekilde tasarlanması suretiyle bir “fiziksel modeli” elde edilir. •Fiziksel modeli gerçek fiziksel elemanlarla da kurmak mümkündür ama sadece matematiksel modele geçiş için görsel birer araç olduklarından genelde fiziksel modeli, fiziksel sistemi kağıt üstünde temsil eden şekiller olarak algılamak yanlış olmaz.

5 Serhat YILMAZ 5 Örneğin; •Çarpışma esnasında bir aracın tamponunun nasıl davranacağını bildiğimiz eleman davranışları cinsinden modellemeye çalışalım. •Tamponu temsil eden fiziksel model birbirine seri veya paralel bağlanmış fiziksel elemanlardan oluşabilir. •Örneğin tamponun bir kütlesi vardır. Bunu, tamponun merkezinde aynı ağırlığa sahip ideal bir m kütlesine indirgeyebiliriz. •Çarpışma sırasında tamponun gerilip şekil değiştirmesi suretiyle darbenin bir kısmı tamponda depolanabilir. Tampon sonra tekrar düzelerek depoladığı enerjiyi boşaltabilir. Bu davranışı bir yay elemanı ile temsil edebiliriz.

6 Serhat YILMAZ 6 •Tampon darbenin bir kısmını da sürtünmeyle ısıya dönüştürerek sönümler. Bu davranışı da bir sönümleme elemanı (amortisör) ile temsil edebiliriz. •Bu bizim, tamponu temsil etmek için davranışlarını bildiğimiz elemanlardan oluşturduğumuz fiziksel modeldir. Yoksa tampon veya tampon sistemi gerçekte de seri veya paralel bağlı bir kütle, bir yay ve bir sönümleme elemanından oluşması gerekmez.

7 Serhat YILMAZ 7 •Fiziksel modelden itibaren de temel fizik kanunlarını kullanarak elemanların davranışını ifade eden doğrusal veya doğrusal olmayan denklemlerden oluşan “Matematiksel model” elde edilmiş olur. Örneğin kontrol sistemleri doğası gereği dinamik sistemlerdir. Bu nedenle bu tür sistemleri dinamik davranışları ifade etmek için kullandığımız diferansiyel denklemlerde temsil edilebilirler. •Özetle fiziksel model şekil, matematiksel model de onun denklemidir. Bir sistem için uygun bir matematiksel model kurulduktan sonra bilinen analitik çözümleme yöntemleri veya sayısal çözümleme (hesap makinesi veya bilgisayar) yöntemleriyle çözümü bulmak (dif. denklemleri çözmek) mümkündür (Özdaş, M. N., Dinibütün, A. T., Kuzucu, A., Otomatik Kontrol Temelleri, Birsen Yayınevi, 1995).

8 Serhat YILMAZ 8 •Bütün fiziksel sistemler gerçekte doğrusal olmayan bir yapıya sahiptir. Doğrusal olmayan sistemlere ait matematik çözümlerini özellikle analitik çözümleme yöntemlerinde elde etmek oldukça güçtür. Genelde sistem elemanlarının belirli bir çalışma bölgesi içinde doğrusal oldukları kabul edilir ve çözümler buna göre yapılır. •Bu yaklaşımın gerçek duruma uyması nisbetinde model mükemmel olur. Böylece sistem için lineer elemanlardan oluşan bir lineer fiziksel model elde edildikten sonra Newton kanunu, Kirchoff kanunu, hidroliğin ve termodinamiğin temel kanunları gibi temel fiziksel kanunlar yardımıyla sistemin davranışını ifade eden doğrusal bir integro-diferansiyel denklem elde edilebilir.

9 Serhat YILMAZ 9 •Bu doğrusal denklemleri çözmek için frekans düzlemi (veya karmaşık düzlem(s düzlemi)) analizi veya zaman (t) düzlemi analizi yöntemleri kullanılabilir. s düzlemi analizi için transfer fonksiyonları kullanırız. t düzlemi analizi için ise durum denklemleri yöntemini kullanırız. •Lineer olmayan sistemler belirli bir örnekleme zamanı boyunca doğrusal kabul edilip, durum denklemleri yöntemiyle iteratif olarak çözülebilir.

10 Serhat YILMAZ 10 Şekil. Matematiksel modelleme kullanılarak bir sistemin çözümlenmesi

11 Serhat YILMAZ 11 Basit sistem elemanları •Elektriksel, mekanik, hidrolik, ve termodinamik sistemlere ait basit elemanların davranışını sebep (giriş) sonuç (çıkış) bağıntıları şeklinde inceleyerek bu bağıntıları matematiksel olarak ifade edebiliriz. •Basit elemanların seri veya paralel olarak bağlanması ile ortaya çıkan karmaşık sistemlerin matematiksel modelleri de kolayca elde edilebilmektedir.

12 Serhat YILMAZ 12 Basit elemanlarda İç ve Uç değişken kavramları •Basit elektriksel elemanlar, direnç ve kondansatörde olduğu gibi iki uçlu (2-1 veya a-b gibi) elemanlardır. •Bir R direncinin 2-1 uçları arasına bir V 21 potansiyel farkı uygulanırsa dirençten i akımı geçtiği bilinmektedir. •İki uçlu elemanlarda değişkenlerden biri (örneğin V 21 ) davranışın sebebi, diğeri (örneğin i) sonucu olarak kabul edilebilir.

13 Serhat YILMAZ 13 •İki uçlu bir elemanda V 21 ’in ölçülebilmesi için bir voltmetrenin devreyi bozmadan 2 ve 1 uçlarına bağlanması yeterlidir. •Voltmetre bu uçlar arasındaki değer farkını ölçer bu nedenle burada ölçülen V 21 değişkeni uç değişkeni olarak adlandırılır. •i akımını ölçmek için devreyi kesip araya giren bir ampermetre kullanmak gerekir. ölçülen akım değeri eleman içinde her noktada aynıdır. Bu bakımdan akıma iç değişken denir.

14 Serhat YILMAZ 14 •Benzer şekilde, mekanik sistem elemanlarında uç değişken hız, iç değişken ise kuvvettir. Mekanik bir elemanın hızı sabit bir referans sistemine (örneğin dünyaya) göre mekanik elemanın yapısını bozmadan ölçülebilir. •Örnek olarak takometreyi dönen milin ucuna bağlayarak bir referansa (örneğin sıfıra) göre açısal hızını kolayca ölçebiliriz. İç değişken olan kuvvetin ölçülmesine gelince mekanik bağlantıyı bozup bir dinamometre yerleştirmek gerekir.

15 Serhat YILMAZ 15 Tablo 1. Fiziksel sistemlerde iç ve uç değişkenlerin özeti. Sistemİç değişkenİç değişkenin integraliUç değişkenUç değişkenin integrali ElektrikselAkım, iYük, qPotansiyel farkı, v 21 Akı geçişi, λ 21 Mekanik (ötelemeli) Kuvvet, FDoğrusal moment, PHız farkı, v 21 Yerdeğiştirme farkı, y 21 Mekanik (dönel) Tork (Döndürme momenti), T Açısal moment, hAçısal hız farkı, ω 21 Açısal yerdeğiş. farkı, θ 21 Akışkan Sıvının hacimsel akış hızı, Q Hacim, VBasınç Farkı, P 21 Basınç momenti, γ 21 IsılIsı akış hızı, qIsı enerjisi, H Sıcaklık farkı,

16 Serhat YILMAZ 16 Fiziksel Sistemlerin Diferansiyel Denklem Eşdeğerleri •Fiziksel sistemin dinamik davranışını ifade eden diferansiyel denklemler süreçle ilgili fizik kanunları kullanılarak elde edilir. •Bu yaklaşım, mekanik, elektriksel ve termodinamik sistemlere aynı başarıyla uygulanabilir. •Bir çok sistemde basit elemanların değişkenleri arasındaki fiziksel bağıntıların benzer olması, bu elemanlara ait matematik modeli aynı kılmaktadır. Bu durum ise sistemler arasındaki benzerlikleri (analojiyi) açıkça ortaya koymaktadır.

17 Serhat YILMAZ 17 •Tablo.2’de bir fiziksel modeli oluşturan ideal elemanlara ait semboller ve değişkenleri arasındaki bağıntıyı betimleyen matematiksel denklemler verilmiştir. •Tabloya bir bütün olarak bakıldığında bazı elemanların genelde benzer davranış gösterdikleri, bu davranışı betimleyen denklemlerin farklı kişiler tarafından farklı zamanlarda tanımlanmış fizik kanunları olmalarına rağmen (Örneğin 1. denklem Lenz yasasıdır) benzer formüllerle ifade edildikleri görülmektedir. •Elemanlar genelde enerjiyi indüktif veya kapasitif olarak depolama ve gücü harcama şeklinde 3 tip davranış göstermektedir. Depolanan enerji daha sonra geri kazanılabilmektedir. Harcanan güç ise genelde ısı şeklinde kaybedilmekte ve geri kazanılamamaktadır.

18 Serhat YILMAZ 18 •İndüktif depolayıcılar: L=elektriksel indüktans, 1/k=düzlemsel veya dönel hareketlerde sertlik katsayısı (k:esneklik katsayısı), I = akışkan eylemsizliği •Kapasitif depolayıcı: C=elektriksel kapasite, M=kütle, J=eylemsizlik momenti, C f =akışkan kapasitesi, C t =ısıl kapasite •Enerji tüketiciler: R=direnç, b=vizkoz sürtünme, R f = akışkan direnci, R t = ısıl direnç

19 Serhat YILMAZ 19 Tablo.2. İdeal Elemanları betimleyen diferansiyel denklemler Bu elemanların seri-paralel bağlanmasıyla bileşke davranışlar gösteren sistem modelleri elde edilebilir.

20 Serhat YILMAZ 20

21 Serhat YILMAZ 21

22 Serhat YILMAZ 22 Örnek.1. yay - kütle -sönümleme elemanlarından oluşan mekanik model •Örnek olarak daha önce bir aracın tamponunu modellemek için kullandığımız yay - kütle - sönümleme elemanından oluşan sistemin davranışını ele alalım. •Burada k ideal yayın esneklik katsayısı, b ise sönümleme elemanının sürtünme katsayısıdır. •Bu denklemde sürtünmeyi vizkoz sürtünme adını verdiğimiz gidiş yönüne ters ve hızla orantılı olarak artan bir sürtünme kuvvetiyle temsil edebiliriz. Bu sürtünmeyi oluşturacak ideal eleman bir sönümleme elemanı ile modellenebilir.

23 Serhat YILMAZ 23 •Bu mekanik modelin davranışı Newton’un 2. hareket yasası ile ifade edilebilir. M kütlesine ait serbest cisim şeması Şekil.b’de verilmiştir. •Yasaya göre, yönleri de göz önüne alındığında, bu kütleye etki eden kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır ( ). Ters işaretli olan r(t) kuvvetini denklemin sağ tarafına atalım.

24 Serhat YILMAZ 24 •Aşağı yönde uyguladığımız r(t) kuvvetinin ky kadarı yayı germeye harcanmış, bu sırada kadarı sürtünme kuvvetini yenmiş ve geri kalan kadarı da kütleyi ivmesiyle harekete geçirmiştir. Şekil. (a)Yay-kütle-sönümleyici sistemi, (b) sistemde kütleye etki eden kuvvetleri gösteren serbest cisim şeması

25 Serhat YILMAZ 25 •Denklem şu haliyle 2. dereceden sabit katsayılı doğrusal bir diferansiyel denklemdir. •Denklemin çözümü, giriş (r(t)) değerine göre çıkışın bulunmasıdır. •Çıkış, r(t) girişi uygulandığında bizim davranışını gözlemlemek istediğimiz değişkendir. •Bu v(t) hızı veya y(t) yer değiştirmesi olabilir.

26 Serhat YILMAZ 26 •Örneğin burada kütleye önceden bir r(t) kuvveti uygulanarak y(t)=y(0)=0.15m kadar aşağı çekilmiş ve buradan serbest bırakılmış olduğunu düşünelim. •Diferansiyel denklem çözülürse bu sönümlü sistemin, yer değiştirme (y(t)) cinsinden dinamik yanıtı diferansiyel denklemi klasik yöntemlerle iki kere integre ederek, Laplace-ters Laplace dönüşümleri yaparak veya sayısal çözümleme yöntemlerini kullanarak bulunabilir. y(t)=

27 Serhat YILMAZ 27 •Çıkış yanıtında eksponansiyel olarak azalan bir işaretle sinüzoidal bir işaretin çarpımı görülmektedir. •Nitekim yanıtı zamanda grafik olarak çizersek zarfı eksponansiyel olarak azalan bir işaret tarafından sınırlandırılmış, sinüzoidal bir işaret görürüz. •Geçekten de serbest bırakılan M kütlesi harekete ters yönlerde enerjiyi biriktiren sonra tekrar salan (enerji depolayıcı bir eleman olan yayın davranışı), giderek sönümlenen (enerji tüketici bir eleman olan sönümleyicinin davranışı) ve en son bir denge noktasında sabit kalan bir davranış gösterir.

28 Serhat YILMAZ 28 Örnek.2. Kondansatör - direnç -indüktans elemanlarından oluşan elektriksel model •Benzer şekilde Kirschoff’un akım yasası kullanılarak şekildeki RLC devresi matematiksel olarak ifade edilebilir.

29 Serhat YILMAZ 29 •RLC devresi r(t)=I akımına maruz kaldığında da yanıt v(t) gerilimi olarak benzer bir davranış gösterir. •Integro-diferansiyel denklemin çözümü v(t)= •Eksik sönümlü RLC devresinde gerilim grafiği Şekildeki gibidir.

30 Serhat YILMAZ 30 Benzer (Analog) Sistemler •Mekanik ve elektriksel sistemlerdeki benzerliği ortaya çıkarmak için, mekanik sistemin çıkışını yer değiştirme değil, hız cinsinden çözebiliriz. •Bu değişikliği denklemde yer değiştirmenin türevi dy/dt yerine hız (v) yazarak yapabiliriz. v(t)= •Bu durumda denklemimiz, elektriksel sisteme ait integro-diferansiyel denkleme benzer.

31 Serhat YILMAZ 31 •Bu iki özdeş denklemde v(t) hızı ve v(t) gerilimi eşdeğer değişkenlerdir ve benzer (analog) değişkenler olarak adlandırılırlar. •Oluşturdukları sistemler de benzer sistemler olarak adlandırılırlar. •Genlik ve frekansı elemanların değerlerine bağlı olarak değişmekle birlikte davranış olarak çıkış grafikleri birbirine benzer. •Benzer sistemler kavramı sistem modellemede oldukça kullanışlı bir yöntemdir.

32 Serhat YILMAZ 32 •Hız-gerilim benzeşimi ya da başka bir deyişle kuvvet-akım benzeşimi elektriksel ve mekanik sistemlerde yaygın olarak kullanılır. •Benzer sistemler, elektriksel, mekanik, ısıl, akışkan pek çok sistemi aynı diferansiyel denklemle ifade ettikleri ve birbirine yakın çözüm sonuçları elde ettiklerinden dolayı, çözümleme ve tasarım sırasında bunlardan birinin davranışı hakkında ne öğrenirsek bunu diğer sistemler için de genişletebilir, kullanabiliriz. •Matematiksel modeli aynı olan sistemlerin en elverişli eşdeğerlerinin kurulması ve değişik parametrelerin etkilerini belirlemek için bunlar üzerinde deney yapma imkanı sistemlerin dinamik karakteristiklerini inceleme bakımından büyük kolaylıklar sağlamaktadır.

33 Serhat YILMAZ Fiziksel Sistemlerin Doğrusal Yaklaşık Eşdeğerleri •Fiziksel sistemlerin büyük bir çoğunluğu, sisteme ait değişken veya değişkenlerin belirli bir çalışma bölgesi civarında, doğrusal davranış gösterir. •Ama değişken değerleri bu bölge sınırlarını aştığında doğrusal olmayan davranış kendini göstermeye başlar. •Örneğin Şekil.X’deki yay-kütle-sönümleme elemanı sistemi, kütle küçük y(t) yer değiştirmelerine maruz kaldığı sürece doğrusaldır ve denklem 2.1 ile matematiksel olarak ifade edilebilir. Yayı geren kuvvet idealde =ky’dir.

34 Serhat YILMAZ 34 •Fakat y(t) sürekli arttırılırsa, sonunda yay aşırı gerilecek, yapısı bozulacak ve kopacaktır. Bundan sonra kütle daha aşağı çekilse de yayda bir gerilme kuvveti oluşmayacaktır. •Bu nedenle doğrusallık sorununu ve uygulanabilirlik sınırlarını her sistem için ayrı ayrı dikkate almak gerekir.

35 Serhat YILMAZ 35 •Bir sistemin, sistem girişine yapılan uyartım ve çıkışından alınan yanıta bakarak doğrusal olup olmadığına karar verebiliriz. •Örneğin bir elektriksel sistemde, uyartım girişi r(t) akımı, yanıt ise v(t) gerilimi olabilir. •Genelde, doğrusal bir sistem için gerek koşul, x(t) uyartımı ile y(t) yanıtı arasındaki bağıntı cinsinden tanımlanabilir. •Sistemin doğrusal olabilmesi için, 1.toplamsallık (süperpozisyon) ve 2.ölçeklenebilirlik (homojenite) ilkelerini aynı anda sağlaması gerekir.

36 Serhat YILMAZ 36 •Toplamsallık ilkesine göre bir sistemin girişine X 1 (t) uyartımı verildiğinde Y 1 (t) cevabı, X 2 (t) uyartımı verildiğinde ise Y 2 (t) yanıtı alınıyorsa, X 1 (t) + X 2 (t) şeklindeki bir uyartım girişine sistemden Y 1 (t)+ Y 2 (t) yanıtı alınması beklenir. Şekil.1.1. Toplamsallık ilkesi

37 Serhat YILMAZ 37 •Ölçeklenebilirlik ilkesine göre de, bir sistemin girişine X 1 (t) verildiğinde Y 1 (t) yanıtını alıyorsak, girişe X 1 (t)’nin belirli bir katı uygulandığında da çıkışta Y 1 (t)’nin aynı katı kadar bir cevap almamız beklenir. Şekil.1.1. Ölçeklenebilirlik ilkesi •Bu durumda örneğin y=x² şeklinde bir bağıntı doğrusal değildir. Çünkü Y 1 = ve Y 2 = iken Y 1 + Y 2 = + olduğundan toplamsallık özelliği yoktur.

38 Serhat YILMAZ 38 •Benzer şekilde y=mx+b şeklinde bir bağıntı da doğrusal değildir. Çünkü ky ≠ eşitsizliğinden dolayı ölçeklenebilirlik ilkesini sağlamaz. Fakat bir x 0,y 0 çalışma bölgesi civarında küçük ve değişimleri için doğrusal kabul edilebilir. x’i; x=x 0 + ve y’yi; y=y 0 + şeklinde temsil edersek ; y=mx+b y 0 + = mx 0 +m + b haline dönüşür.

39 Serhat YILMAZ 39 Sistem sadece çalışma (x0,y0) bölgesi sınırları (, ) içinde çalışıyorsa, grafiği bu bölge için yeniden çizebiliriz. Çalışma noktasını başlangıç noktası olarak orijine taşıyalım. Bu durumda çalışma sınırlarının dışına çıkmamak kaydıyla orijinal fonksiyon yerine =m fonksiyonunu kullanmamız her hangi bir hataya neden olmaz. Şekil.(a) y=mx+b fonksiyonu (b) bundan türetilen fonksiyonu • •Özellikle mekanik ve elektriksel elemanlarda, örneğin transistörlerde nonlineer elemanlar yerine çözüm için elemanın küçük genlikli işaretler için doğrusal eşdeğer modeli kullanılır.

40 Serhat YILMAZ 40 •Etki (iç) değişkeni x(t), tepki (uç) değişkeni y(t) olan bir fiziksel eleman düşünelim. İki değişken arasındaki bağıntı y(t)=g( x(t) ) şeklinde yazılabilir. •Burada g( x(t) ) ile, y(t)’nin x(t)’nin bir fonksiyonu olduğunu gösterilmiştir. Fonksiyonu bir x 0 çalışma noktası civarında, Taylor serisi ile temsil edebildiğimizi biliyoruz. y=g(x) = g(x 0 )+ •Serinin derecesi ne kadar büyürse, Taylor serisi, gerçek fonksiyonu o kadar iyi temsil eder, seri sonsuza kadar açılırsa da eğrinin kendisine eşit olur.

41 Serhat YILMAZ 41 •Çalışma noktasındaki eğim (m) olan bu nokta etrafında (x-x 0 ) gibi küçük bir değişim bölgesi için gerçek eğriyi yaklaşık olarak temsil edebilir. •Fonksiyonu 1. dereceden kuvvetine kadar seriye açarsak doğrusal olmayan denklemin yaklaşık eşdeğerini temsil eden denklem y= g(x 0 )+ = y 0 + m (x-x 0 ) Buradan y’ı sol tarafa atarsak denklem y- y 0 =m(x-x 0 ) veya şeklinde doğrusal bir denkleme dönüşür.

42 Serhat YILMAZ 42 Örnek. Kütle-yay-sönümleyici •Bir M kütlesinin, lineer olmayan bir yayı denge konumuna gelene kadar ağırlığıyla sıkıştırdığını düşünelim. Çalışma noktasını yer çekimi kuvveti Mg’nin, yay tarafından dengelendiği bu denge noktası olarak seçelim. Burada g, yerçekimi sabitidir. Şekil. a) Doğrusal olmayan yay üzerine yerleştirilmiş bir kütle, b) yayın gerilme (sıkışma) kuvvetiyle yerdeğiştirme arasındaki ilişkiyi gösteren fonksiyon

43 Serhat YILMAZ 43 •Doğrusal olmayan yayın formülü f=y² dir ve olur. •Denge noktası y 0 ’da yayın gerilme kuvveti, f 0 =f(y 0 ) yerçekimi kuvvetine eşittir (f 0 =Mg). Denge noktasında f 0 = Mg = y 0 = dir. •Aynı sistemin küçük değişimler için doğrusal eşdeğer modeli ’ olacaktır. •Burada m= ’dir. Denklem Y’ye göre m; m=2y 0 ’dır. Sistemin doğrusal eşdeğer modeli de olacaktır.

44 Serhat YILMAZ 44 Çok parametreli fonksiyonlarda doğrusallaştırma •Eğer y bağımlı değişkeni, pek çok girişe bağımlıysa bu bağıntı benzer şekilde çok değişkenli bir fonksiyonla temsil edilebilir. y=g(x 1, x 2, x 3 …….xn) •Burada da y çıkışının her bir giriş değişenine göre kısmi türevleri kullanılarak, fonksiyon Taylor serisine açılabilir. Yine yüksek dereceli terimler atılıp, birinci dereceden olan terimler bırakılarak fonksiyonun,, …. çalışma noktası civarında, doğrusal yaklaşık bir eşdeğeri elde edilebilir. y=g(,, …. )+ + + Burada x 0 çalışma noktasıdır.

45 Serhat YILMAZ 45 Örnek. Ters Sarkacın Salınım Modeli •Şekildeki gibi bir sarkacın salınımını ele alalım. Burada kütleye etki eden döndürme momenti (tork) T=M g l sin dır. Şekil. Ters sarkacın salınımı T ile arasındaki nonlineer ilişki •Burada g yerçekimi sabitidir. Çalışma (denge) noktası normalde, yani sarkacın düşey olarak durduğu noktadadır. Normalle yapılan açı 90° iken normale doğru yapılan döndürme momenti en büyüktür (T=Mg*1). Çalışma noktasında ise en küçüktür ( ).

46 Serhat YILMAZ 46 •Çalışma noktası ( ) civarındaki küçük değişimler için sistemin doğrusal yaklaşık eşdeğeri; fonksiyonun Taylor serisinin 1. türevine kadar açılmasıyla elde edilebiliyordu. Burada T=0 ve =0 idi. •Bu yaklaşık model, şekilden de görüldüğü gibi aralığında oldukça doğru sonuçlar verir. Gerçekten de küçük açı değerleri için sinüsün aldığı değer açı değerinin kendisine oldukça yakındır (sin0=0;sin(0.150)=0.1495;sin(0.314)=0.308)

47 Serhat YILMAZ 47 Laplace Dönüşümü •Laplace dönüşümlerinin kullanılabilmesi için sistemleri temsil eden denklemlerin doğrusal olması gerekir. •Bu yüzden fiziksel sistemlerin doğrusal yaklaşık eşdeğerleri elde edilir. •Laplace dönüşümleri, zaman düzleminde çözümü oldukça karmaşık ve güç olan doğrusal diferansiyel denklemleri, karmaşık frekans düzleminde toplama çarpma bölme gibi çözümü daha basit olan cebirsel denklemlere dönüştürür.

48 Serhat YILMAZ 48 •Amacımız sisteme ait bir değişkenin zaman düzleminde çözümünü bulmaksa Laplace dönüşümlerini de içeren yandaki gibi bir yol izleyebiliriz; Şekil1. Bir sisteme ait çıkış değişkenin Zaman düzlemi yanıtının çözümlenme adımları

49 Serhat YILMAZ 49 •Dönüştürme integrali yakınsayan, yani sonlu bir değere sahip olan, doğrusal diferansiyel denklemlerin Laplace dönüşümleri vardır. Örneğin f(t) böyle bir denklemi temsil etsin. f(t)’nin dönüşümünün olabilmesi için yeter koşul ile verilir. •Burada, pozitif gerçel bir sayıdır.

50 Serhat YILMAZ 50 •Fiziksel olarak gerçeklenebilir bütün işaretlerin Laplace dönüşümleri vardır. Bir f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü •Benzer şekilde ters Laplace dönüşümü de f(t)= •Bu dönüşüm formülleri kullanılarak bizim için gerekli pek çok işaretin Laplace dönüşümü elde edilip dönüşüm tabloları oluşturulabilir.

51 Serhat YILMAZ 51 •Yanda önemli bazı Laplace-Ters Laplace dönüşüm çiftlerini gösteren dönüşüm tablosu verilmiştir.

52 Serhat YILMAZ 52 •Otomatik kontrolde Laplace dönüşümlerini çoğunlukla transfer fonksiyonu modellerini elde etmek için kullanıyoruz. Daha sonraki bölümde göreceğimiz bu modelleme türünde, ilk koşullar sıfır alınır. Bu nedenle Laplace değişkeni s’i diferansiyel operatörlerin Laplace dönüşümü olarak düşünmek yanlış olmayacaktır. s= ℒ ve = ℒ •Sistemin karmaşık düzlemde çözümü bulunduktan sonra zaman düzlemi karşılığı bulunur. Bu sırada ters Laplace dönüşümleri genelde kısmi kesirlere ayrılarak bulunur. Bu yaklaşım, karakteristik denklemin her bir kökünün (özdeğerinin) sistem yanıtına ne kadar etki ettiğini göstermesi nedeniyle sistem analizi ve tasarımında oldukça yararlı bir çözüm yaklaşımıdır.

53 Serhat YILMAZ 53 Sistem Davranışının İncelenmesinde Geçici Durum ve Sürekli Durum Yanıtı Kavramları •Laplace dönüşümleri karmaşık düzlemde s’li terimlerden oluşan denklemler (F(s)=s2+3s+..) elde etmemizi sağlar. •Bu s’li terimler, diferansiyelleri yani değişimleri, yani dinamik bir davranışı ifade ederler. •Sistem, kararlı bir sistemse, yani denetleyicisi onu istenen nihai bir değere ulaştırıyor ve bu değerde sabit kalmasını sağlıyorsa, sistem geçici bir süre için değişik çıkışlar üretecek, sonunda sürekli bir çıkış değeri verecektir.

54 Serhat YILMAZ 54 •Zaman düzleminde ve karmaşık frekans düzleminde geçici hal yanıtı (steady state response) ve sürekli hal yanıtı aşağıdaki gibidir.

55 Serhat YILMAZ 55 •Laplace dönüşümlerinin özellikle çözülmesi zor diferansiyel denklemler içeren sistem problemlerinin çözümlenmesinde nasıl kolaylıklar sağladığını örnekler üzerinde görelim. •Çıkış yanıtı başlangıç koşulları tarafından belirlenen doğal yanıt ve giriş tarafından belirlenen zorlanmış yanıtın toplamından oluşur. Y(s)= •Burada q(s)=0 karakteristik denklemdir.

56 Serhat YILMAZ 56 •Eğer giriş işaretimiz, basamak fonksiyonu, rampa fonksiyonu gibi kesirli bir sayı(R(s)= ) ise Y(s) = = şeklinde olur.

57 Serhat YILMAZ 57 •Y 1 (s), doğal yanıttır, gerekirse kısmi kesirlere ayrılarak bulunabilir. •Benzer şekilde zorlanmış yanıt da paydası q(s) ve d(s) olan terimler olarak kısmi kesirlere ayrılabilir. •q(s)’li olan kısmi kesirli terimden elde edilen yanıt Y 2 (s), paydası giriş işaretinin paydası olan d(s)’li terimden elde edilen yanıt ise Y 3 (s)’tir. •Yanıtın ters Laplace’ı alındığında y(t)= y 1 (t) + y 2 (t) + y 3 (t) bulunur. •Geçici durum yanıtı y 1 (t)+y 2 (t)’den, kalıcı durum yanıtı, giriş işaretini içeren y 3 (t)’den oluşur.

58 Serhat YILMAZ 58 Örnek. Bir diferansiyel denklemin çözümü •Aşağıdaki diferansiyel denklem ile temsil edilen bir sistem düşünelim; •Başlangıç koşulları y(0)=1, ve t için r(t)=1 olsun. •Denklemin Laplace dönüşümü şeklindedir.

59 Serhat YILMAZ 59 Y(s)= y(0)=1 ve R(s)= = olduğundan

60 Serhat YILMAZ 60 •Buradan Y(s)= = Zaman yanıtı y(t)= ve kalıcı durum yanıtı bulunur. Kalıcı duruma erişilene kadar geçen süre zarfında y(t)’nin grafik üzerinde gösterdiği davranış ise geçici durum yanıtıdır.

61 Serhat YILMAZ 61 Örnek.1. Kütle-yay-sönümleyici örneği •Daha önceki örneklerde kütle-yay- sönümleyici elemanlarından oluşan sistemin dinamik denklemini; olarak bulmuştuk. y’nin zamana göre değişimini öğrenmek istersek, yukarıdaki diferansiyeli çözüp y(t)’yi elde etmek oldukça zor olacaktır. r(t)=0, y(0)=y 0 =1 ve =0, =3, =2 olsun. Bu durumda y(t)=?

62 Serhat YILMAZ 62 Çözüm: Laplace dönüşümüyle s düzlemine geçersek; •M •Burada r(t)=0, y(0)=y 0 =1 ve =0 olduğu için denklem; • haline dönüşür. •y(t)’yi bulmak istediğimize göre Y(s)’i yalnız bırakmalıyız. •Y(s)= •Burada payda polinomu q(s) sıfıra eşitlendiğinde karakteristik denklem elde edilir. Çünkü bu denklemin kökleri, zaman cevabının nasıl olacağını yani karakteristiğini belirlemektedir.

63 Serhat YILMAZ 63 •Karakteristik denklemin kökleri, denklemi sıfır, yanıtı da sonsuza, yani çok uzağa götüreceğinden kutup olarak da adlandırılırlar. •Benzer şekilde paydaki p(s) polinomunun kökleri, sistem yanıtını sıfıra taşıdığından sıfır olarak adlandırılırlar. •Sistemin girişi ne olursa olsun kutuplar ve sıfırlar sistem yanıtını sonsuz veya sıfır yapan kritik frekanslardır. •Kutup ve sıfırların karmaşık frekans ( s ) düzlemindeki yerleri, sistemin doğal geçici durum yanıtının karakteristiğinin ne olacağını grafiksel olarak gözler önüne serer.

64 Serhat YILMAZ 64

65 Serhat YILMAZ 65 •Denklemi kısmi kesirlere ayırırsak •Y(s)= •Burada k1, k2 kısmi kesirlerin katsayılarıdır. Rezidü olarak da adlandırılan bu katsayılar, her bir kutbun, çıkış davranışına ne oranda etki ettiğini gösterir. Hangi kutbun rezidüsünü bulmak istiyorsak, içinde o kutup olan çarpan (s- si) ile henüz kısmi kesirlere ayrılmamış Y(s) fonksiyonu çarpılır ve s değeri istenen kutup değerine eşitlenir.

66 Serhat YILMAZ 66 •k1 ve k2 yerlerine koyulursa ters Laplace değerlerini bulabileceğimiz kısmi kesirlerine ayrılmış basit terimleri elde ederiz. •Y(s)= ve denklemin ters Laplace’ı alınırsa •Sistemin yanıtı bulunur.

67 Serhat YILMAZ 67 •Geçici yanıtı 10 sn boyunca grafik olarak görmek istersek Matlabta aşağıdaki kodları yazabiliriz. Şekil. Yanıtı çizdirmek için oluşturduğumuz program ve çıktısı

68 Serhat YILMAZ 68 •Eksponansiyel olarak azalan zıt iki işaret kesikli çizgilerle verilmiştir. •Yanıtı temsil eden ve düz çizgiyle verilen bileşke işarette, katsayısı daha büyük olan kutbun, katsayısı oranında daha etkili olduğu görülmektedir. •Son olarak, son değer teoremine göre kalıcı yanıtın ne olacağı bulunabilir. = = =0

69 Serhat YILMAZ 69 •Demek ki yay bir r(t) kuvvetiyle (veya herhangi başka bir yolla) önceden bir y0 noktasına getirilmişse ve sonra r(t)=0 iken serbest bırakılmış ise kütlenin “y” yer değiştirmesi şekildeki gibi geçici bir süre boyunca hiç salınım yapmadan eksponansiyel olarak azalır ve doğruca denge noktası olan 0’a doğru gider. Son değer olarak da y=0 değerini alır. •Laplace dönüşümü yönteminin özelliklerini biraz daha açmak için aynı kütle-yay-sönümleyici sistemini eksik sönümlü durum için inceleyelim. Karakteristik denklemi 2. dereceden olan dolayısıyla 2.dereceden bir sistem yanıtı olan Y(s) denklemi aşağıdaki biçimde yazılabilir.

70 Serhat YILMAZ 70 •Burada : sönümleme oranı, ise sistemin doğal frekansıdır. •Denkleme göre salınımı sağlayan doğal frekansı =, fiziksel olarak yay sabiti ve kütle belirlemektedir (c). •Yay sabiti büyük, yani yay sert ise salınım frekansı büyük, gevşek ise salınım daha yavaş olmaktadır. •Benzer şekilde kütle ağırsa salınım ağır seyretmekte, kütle küçüldükçe ise salınım kolaylaştığından salınım frekansı yükselmektedir. •(b) katsayısında yerine koyduğumuzda, sönümleme oranı =b/ bulunur. Buradan da sönümlemeyi b sürtünmesiyle orantılı, yay ve kütleyle ters orantılı olduğunu görüyoruz.

71 Serhat YILMAZ 71 •Karakteristik denklemin kökleri, 2. dereceden sistemlerin köklerinin bulunmasında olduğu gibi

72 Serhat YILMAZ 72 •Kritik sönümlü durum: =1 ise s1,s2 kökleri tekrarlamalı (eşit) v gerçeldir.

73 Serhat YILMAZ 73 •Eksik sönümlü durum: 0< <1 ise s1,s2 kökleri karmaşık eşlenik kökler şeklindedir. Çünkü olacağından = (-1)* olarak yazılabilir. Bu durumda kökler

74 Serhat YILMAZ 74 •Sönümsüz durum: =1 ise s1,s2 kökleri imajiner eksen üzerindedir. Gerçel bileşeni yoktur;

75 Serhat YILMAZ 75 •Bu durumda sistem yanıtı, doğal frekansta salınım yapar ve sönümlenemez.

76 Serhat YILMAZ 76 •Şekil. a) s düzleminde eşlenik karmaşık kökler b) ’ya bağlı olarak köklerin yer değiştirmesi = = ‘dır. • sabit tutulursa, :1’den 0’a değiştikçe, ’da ’den ’ye kadar değişecek ve karmaşık eşlenik kökler şekildeki gibi yarıçapı olan dairesel bir yörünge izleyecektir. •Böylece,sıfıra yaklaştıkça kökler imajiner eksene yaklaşacak ve geçici yanıtın salınımı artacaktır. •Tersini düşünecek olursak, : 0’dan 1’e doğru değişirken, iki karmaşık kök, daire çizerek karmaşık eksenden gerçel eksene doğru kayacak, aradaki makas giderek kapanacak, =1’ken iki kök reel eksen üzerinde çakışacak, imajiner bileşen ve dolayısıyla salınım kalmayacaktır. •Artık ortada bir ve doğal frekansı kalmamıştır. Dolayısıyla üstteki formüller karmaşık düzlemde kalmıştır, gerçel eksen üzerinde geçerli değildir. daha da artarak 1’den büyük değerler almaya devam ettiğinde kökler gerçel eksen üzerinde biri sola, diğeri sağa doğru kayarak ilerler.

77 Serhat YILMAZ 77 Örnek.2. Eksik sönümlü durum için y(t) yanıtının bulunması •2.dereceden sistemin köklerinin her zaman birbirinin karmaşık eşleniği olduğunu görmüştük. Bu durumda ’dır. •y(t) yanıtını bulmak için yine denklemi kısmi kesirlerine ayıralım. Bunun için Y(s)= = şeklinde bir denklem elde edebilmemiz gerekir.

78 Serhat YILMAZ 78 •Önce bunu sağlayacak k 1, k 2 katsayıları bulmalıyız. •Buradaki bölme işlemini daha kolay yapabilmek için karmaşık sayıları toplama ve çıkarma şeklindeki gösteriliş biçiminden, genlik ve fazın çarpımı şeklindeki kutupsal gösterime geçelim. Paydaki karmaşık terimi, değerlerini birazdan bulacağımız M 1 genliği ve fazından; paydadaki karmaşık terimi de benzer şekilde M 2 genliği ve fazından oluşsun.

79 Serhat YILMAZ 79 •Bu durumda denklem halini alacaktır. •Eksik sönümlü 2. dereceden sistemlerde s 1 ve s 2 karmaşık köklerini daha önce s 1,s 2 = olarak tanımlamıştık.

80 Serhat YILMAZ 80 • ’yi daha basit bir sembolle temsil edelim;

81 Serhat YILMAZ 81 •Sistem, üstel olarak azalan sinüzoidal bir davranış göstermektedir. Gerçekten de t’ye değerler vererek y(t)’yi çizecek olursak bu davranışı görürüz.

82 Serhat YILMAZ 82

83 Serhat YILMAZ 83

84 Serhat YILMAZ 84 Doğrusal Sistemlerin Transfer Fonksiyonu •G(s) sadece bir araçtır. Amaç bir R(S) girişi karşısında Y(s)=G(s)*R(s)’i, buradan da y(t)’yi bulmaktır. •Yüksek dereceli bir sistemin davranışını ele alalım ve belirli bir girişe yanıtını inceleyelim. y(t) yanıt, r(t) giriş olmak üzere sistemi betimleyen diferansiyel denklem •şeklinde olsun. Bütün başlangıç koşulları sıfıra eşitse sistemin transfer fonksiyonu = olur.

85 Serhat YILMAZ 85 Kaynaklar 1) Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, ) Özdaş, M. N., Dinibütün, A. T., Kuzucu, A., Otomatik Kontrol Temelleri, Birsen Yayınevi, )http://www.stanford.edu/~boyd/ee102/2nd_order.pdf 4)Vatansever,Ş.,Savaş,Ç.,KOÜ. Mü.Fak. Elo ve Hab. Blm,Otomatik Kontrol Dersi Ödevi


"Serhat YILMAZ 1 Hazırlayan: Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Bölümü." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları