Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

OLASILIK ve İSTATİSTİK BÖLÜM 5 Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "OLASILIK ve İSTATİSTİK BÖLÜM 5 Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1."— Sunum transkripti:

1 OLASILIK ve İSTATİSTİK BÖLÜM 5 Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1

2 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 2 Daha önceki bölümlerde olasılık hesaplamaları basit rastgele olaylar için toplama ve çarpma kuralı uygulanarak elde edilmişti. Ancak ilgilenilen rastgele olaya ait  tüm olasılıkları  Karşılaştırmaları  istemin özel davranış göstergelerini  ve bazı tahminleri kolaylıkla yapabilmek amacıyla tanımlanan rastgele değişkene bağlı matematiksel modeller kullanılmaktadır. Bu matematiksel modeller, rastgele değişkenlerin kesikli veya sürekli olmasına göre tanımlanmaktadır.

3 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 3 Rastgele değişken, aldığı sayısal değerlere göre iki farklı şekilde olabilir. Bu nedenle, rastgele değişkenler iki başlık altında ele alınır.  Kesikli (Süreksiz) Rastgele Değişken  Sürekli Rastgele Değişken Kesikli Rastgele Değişken: X rastgele değişkeninin R’deki değer kümesi olan A sayılabilir veya sayılabilir olarak sonsuz bir küme ise X‘e kesikli (süreksiz) rastgele değişken denir. Örnek: Bir zar atışı, Paranın yazı tura atışı Bir fabrikanın haftalık üretimindeki kusurlu mal sayısı

4 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 4 Sürekli Rastgele Değişkenler X rastgele değişkeninin R ‘deki değer kümesi olan A sayılamaz bir küme ise X ‘e sürekli rastgele değişken denir. Değer kümesinin olarak yazılacağı görülmektedir. Rastgele değişkenlerin kesikli ve sürekli ayrımı, basit olarak;  tanımlanan rastgele değişkenin tamsayı olma durumunda kesikli,  diğer durumlarda sürekli şekliyle olabilir. Örnek: bir malzemenin çekme dayanımı bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunluğu aracın belirli bir zamanda aldığı yol, bir koşuya katılanların bitirme süreleri

5 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 5 Olasılık Matematiksel Fonksiyonları İlgilenilen tüm olasılıkları, karşılaştırmaları, sistemin özel davranış göstergelerini ve bazı tahminleri kolaylıkla yapabilmek amacıyla tanımlanan değişkene bağlı matematiksel modeller kullanılmaktadır. Rastgele değişkene ait matematiksel modeller (fonksiyonlar):  kesikli rastgele değişkenler için olasılık fonksiyonu  sürekli rastgele değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak tanımlanır

6 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 6 Olasılık Fonksiyonu

7 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 7 Örnek 1: İki hilesiz zarın atılması olayını dikkate alalım. X; atılan iki zardaki sayıların toplamını gösteren rastgele değişkeni olsun. a)X’in olasılık fonksiyonun bulunuz Aşağıdaki olasılık değerlerini, olasılık fonksiyonu kullanarak elde ediniz b)Toplamın 7 veya 11 olması c)toplamın 8’den büyük olması d)Toplamın 3 den büyük fakat 9 dan küçük olması

8 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 8 Örnek çözüm 1:

9 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 9 Örnek çözüm 1:

10 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 10 Örnek çözüm 1 (Matlab uygulaması):

11 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 11 Örnek 2: 3 yeni, 4 tane kullanılmış hala çalışan ve 5 kusurlu bataryadan seçilecek 3 rastgele bataryanın olasılık fonkisyonunu elde ediniz?

12 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 12 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

13 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 13 Olasılık yoğunluk fonksiyonlarıda, olasılık fonksiyonları gibi grafiksel olarak elde edilebilir ve ilgilenilen rastgele olayın olasılıkları kolaylıkla grafikten gözlemlenebilir.

14 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 14 Örnek 3: X, aşağıda verilen olasılık fonksiyonuna sahip bir sürekli rastgele değişken ise

15 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 15 Örnek çözüm 3:

16 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 16 Örnek çözüm 3:

17 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 17 Dağılım Fonksiyonu X rastgele değişkenin (kesikli veya sürekli) verilen bir değere eşit veya küçük çıkma olasılığı ile ilgilenilen olaylar olasılık hesaplamalarında önemli bir yer tutar. Örneğin: Makine elemanına gelen kuvvetlerin, emniyetli kuvvet değerinden daha küçük olma ihtimali vb. Bu tür hesaplamalar için dağılım fonksiyonu kullanılır Bu fonksiyona eklenik dağılım fonksiyonu (kümülatif dağılım fonksiyonu),(birikimli dağılım fonksiyonu)denir.

18 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 18 Dağılım fonksiyonu grafiği, olasılık fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonu ile belirtilen olasılıkların toplamını belirtir. Örnek 4: (Kesikli rastgele değişkenler) Şekilde verilen basit mesnetli kiriş ve P1 ve P2 yüküne maruzdur. Uygulanan P1 yükünün 4, 5 ve 6 değerleri alma olasılığı P(P1=4)=0.3 P(P1=5)=0.5 P(P1=6)=0.2 olsun. Olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunu çiziniz.

19 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 19 Örnek çözüm 4: Olasılık fonksiyonu çiziminde: X ekseni: rastgele değişkenin alacağı değerleri Y ekseni: bu değerleri alma olasılığını göstermektedir Dağılım fonksiyonu ise; X ekseni: rastgele değişkenin alacağı değerleri Y ekseni: bu değerleri alma olasılıklarının eklenik toplamını göstermektedir

20 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 20 Örnek çözüm 4 (Matlab uygulaması):

21 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 21 Örnek 5 (Sürekli rastgele değişken): Yüksek bir yapının rüzgar hesabında kullanılacak olan maksimum rüzgar hızı için aşağıda verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu kabul edilmiştir. a)Dağılım fonksiyonunu elde ediniz b)Olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunu çiziniz c)Rüzgar hızının 80 km/h aşma olasılığını hesaplayınız

22 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 22 Örnek çözüm 5: a) Dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonun belirli bir aralıkta integre edilmesi ile elde edilebilir

23 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 23 Örnek çözüm 5: b) Dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonun belirli bir aralıkta integre edilmesi ile elde edilebilir

24 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 24 Örnek çözüm 5: c) Rüzgar hızının 80 km/h aşma olasılığı dağılım fonksiyonu veya dağılım fonksiyonu grafiği yardımıyla elde edilebilir. Grafikten okunacak olasılık değeri İstenilen olasılık ise, tüm olasılık 1’ e eşit olduğundan:

25 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 25 Kümülatif dağılım fonksiyonu sürekli artan (monotonic) bir fonksiyondur ve özelliğine sahiptir. Bir olayın y1 ve y2 arasında bir değer alma olasılığı o sürekli değişkenin y1 ve y2 deki dağılım fonksiyonu değerleri arasındaki farka eşittir. Yani ;

26 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 26 Örnek 6: X sürekli rastgele değişkene ait olasılık fonksiyonu yanda verildiği gibi olsun. Aşağıdaki ifadelerin doğru olup olmadığını belirleyiniz.

27 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 27 Sık Kullanılan Dağılımlar  Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında genel bilgiler vermektedir.  Yapılan araştırmalardan elde edilen verilere ait dağılımın şeklinin ve dağılım fonksiyonunun ampirik olarak belirlenmesi kolay değildir.  Bu nedenle, verilerin özelliklerine göre uygunluk gösterecekleri bazı ana kütle dağılımları teorik olarak geliştirilmiştir.

28 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 28 Binom Dağılımı Kesikli dağılımların en yaygın kullanılanıdır. Atılan bir paranın yazı veya tura gelmesi, Montajdaki parçanın toleransa uygunluğu ve uygunsuzluğu Öğrencinin bir dersten başarılı veya başarısız olması gibi iki sonuçlu olayların olasılığının hesaplanmasında kullanılır. Binom dağılımına uyması için aşağıdaki şartları sağlaması gerekir: Deneme belirli sayıda (n) tekrarlanır. Her deneyin başarılı ve başarısız olmak üzere iki sonucu vardır. Deneyler birbirinden bağımsızdır. Başarı olasılığı (p) ve başarısızlık olasılığı q=1-p dir. n deneyde elde edilen başarılı sonuçlar x değişkenine atanır.

29 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 29 Binom Dağılımı Binom dağılımın olasılık fonksiyonu:

30 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 30 Örnek 7: a)10 yazı/tura atmada 4 yazı gelme olasılığını hesaplayınız b)Bir zarın 20 kez atılması durumunda tam 12 kez altı gelme olasılığını hesaplayınız.

31 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 31 Örnek çözüm 7:

32 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 32 Örnek 8: 3 çocuklu bir ailede ailenin sahip olacağı erkek çocuk sayısının binom dağılımına göre ihtimal değerleri nelerdir?

33 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 33 Poisson Dağılımı: İlgilenilen zaman aralığı, uzunluk veya hacimde sık sık karşılaşılmayan olayların özel durumları için geliştirilen dağılımdır. Örneğin: Belirli bir trafik noktasında meydana gelen trafik kazası sayısı, 1 m 2 kumaştaki kusur sayısı, 1 cm 3 kandaki anormal hücre sayısı,......vb sayılabilir

34 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 34 Örnek 9: Bir sınıftaki öğrenciler üzerine yapılan bir araştırmada dersi dinlemeyen öğrenci sayısının ortalama olarak 3 kişi olduğu belirlenmiştir. Herhangi bir derste; a) En az bir kişinin dersi dinlememesi olasılığını hesaplayınız. b) En fazla iki kişinin dersi dinlememesi olasılığını hesaplayınız

35 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 35 Örnek çözüm 9:

36 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 36 En sık kullanılan sürekli rastgele değişkenlere ait Anakütle Dağılımları; Sürekli düzgün dağılım Normal dağılım Üstel dağılım Lognormal dağılımı Gamma dağılımı Ki-kare dağılımı

37 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 37 Düzgün Üniform Dağılım X sürekli rastgele değişken belirli bir aralıktaki her değerinin meydana gelme olasılığı eşit ise bu rastgele değişkenin dağılım düzgün (Üniform) dağılımdır. Üniform dağılıma ait olasılık fonksiyonu:

38 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 38 Örnek 10 : Süper marketteki kasaya 30 dakikalık periyotta bir müşteri gelmiştir. Bu müşterinin son 5 dakikada gelmiş olma ihtimalini hesaplayınız.

39 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 39 Örnek Çözüm 10:

40 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 40 ÜNİFORM DAĞILIM İLE İLGİLİ MATLAB KOMUTLARI [a, b] aralığında üniform dağılmış rasgele değişkenin bu aralık içerindeki herhangi bir x değerini alma ihtimali unifcdf komutu ile hesaplanır. Örneğin bir önceki örnek aşağıda verilen MATLAB komutu yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir:

41 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 41 Normal Dağılım Sürekli olasılık dağılımlarının en önemlisi ve en çok kullanılanı normal dağılımdır. Normal dağılıma, bu dağılımı geliştiren kişilerin isimlerine atfen Gauss-Laplace dağılımı, Eğrinin biçimine izafeten de çan eğrisi de denilmektedir. Evrendeki birçok olay normal dağılıma uygunluk gösterdiğinden yapılan araştırmalarda elde edilen verilerin değerlendirilmesinde çok yaygın olarak kullanılmaktadır.

42 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 42 Normal Dağılım Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu Normal yoğunluk fonksiyonu iki parametreye sahiptir: ortalama ( µ ) standart sapma ( σ ) Normal dağılım fonksiyonu ve kümülatif dağılım fonksiyonu grafiksel olarak aşağıda verilmiştir.

43 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 43 Ortalama ve Standart sapma değerlerine bağlı olarak Normal dağılımın yeri ve biçimi değişmektedir. Örneğin: Aşağıda şekilleri verilen A, B ve C normal dağılmış rastgele değişkenler arasında:

44 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 44  Normal dağılımın süreklilik özelliğinden dolayı X rastgele değişkeninin sadece belirli bir aralıkta değer alması söz konusudur.  İlgilenilen aralıkta değer alma olasılığı, olasılık yoğunluk fonksiyonunun entegrali ile elde edilir.  Görüleceği üzere oldukça fazla işlem yükü gelmektedir.  İşlem yükünü azaltmak için bu dağılım yerine geliştirilen standart normal dağılım kullanılmaktadır. X rastgele değişkeni normal dağılıyorsa aşağıdaki şeklinde gösterilir:

45 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 45 X normal değişkeni sonsuz değer alabileceğinden nümerik olarak çözüm elde edilebilmesi için normal dağılmış rastgele fonksiyon standart normal dağılmış rastgele değişkene dönüştürülür: Bu ifade normal rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonun yazılırsa standart normal değişkene ait olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir:

46 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 46 Dağılımın genel özellikleri dikkate alınarak standart normal değişken (Z) için integralleri hesaplanarak standart normal dağılımla ilgili tablolar hazırlanmıştır.

47 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 47 Z tablosu Eğrinin altında kalan sağ taraftaki alanı verir

48 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 48  Z tablosu olarak adlandırılan bu tablolar farklı şekillerde düzenlenmektedir.  Bu ders kapsamında kullanılacak olan tablo P(Z > z 0 ) olasılığını vermektedir.  Verilen tablo yardımıyla normal dağılıma ait her türlü olasılık hesaplanabilmektedir.  Ayrıca, dağılım simetrik olup dağılımın tepe noktasının yatay ekseni kestiği noktanın koordinatı sıfırdır (dağılımın ortalamasıdır) ve eğri altında kalan alanın değeri 1’e eşittir.  Dağılım simetrik olduğu için P(Z > 0) = P(Z < 0)= 0.5 dir.  Bu nedenle, ortalamanın sağında kalan kısmı tablolarda verilmekte, diğer yarısının aynı olduğu bilinmektedir

49 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 49 İstenen X rastgele değişkeninin belirli aralıkta değer alma olasılığını hesaplamak için izlenecek yaklaşımlar şöyle özetlenebilir:

50 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 50

51 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 51 Örneğin µ=100.6 σ =12.5 n=350 P(118 < X)=? P(X < 90)=? Standart Normal Dağılım Normal Dağılım

52 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 52 Örnek 11: Aşağıdaki değişkenin X i değerlerine karşılık gelen Z i değerlerini ve Z i değerlerinin ortalama ve varyansını hesaplayınız? NoNo XiXi

53 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 53 Örnek 12: Ortalaması µ=60 ve varyansı σ 2 = 64 olan bir ağırlık populasyonundan şansa bağlı çekilen bir ferdin, a)Ağırlığının 70 kg dan daha fazla olması ihtimalini, b)Ferdin ağırlığının 45 kg ile 70 kg arasında olması ihtimalini c)Bu populasyonda ağırlıkları 70 ile 90 kg arasında olanların oranını d)Ağırlığı 70 kg dan az olanların oranını hesaplayınız?

54 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 54 Örnek 13: Bir yağış ölçeğinde Mart ayında ölçülen aylık yağış yüksekliğinin normal dağılmış olduğu kabul edilmektedir. Aylık yağışın ortalaması µ x =90, standart sapması σ x = 25 mm bulunmuştur. a) Herhangi bir yılın mart ayında 70 mm’den az yağış düşmesi olasılığını hesaplayınız? b) 80 mm ile 100 mm arasında yağış düşmesi olasılığını hesaplayanız? c) 120 mm’den fazla yağış düşmesi olasılığını hesaplayınız?

55 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 55 NORMAL DAĞILIM İLE İLGİLİ MATLAB KOMUTLARI Normal dağılmış bir rastgele değişkenin belirli bir X değerine karşılık olasılık yoğunluk fonksiyonu değeri aşağıdaki komut yardımıyla hesaplanır: Burada MU ve SIGMA sırasıyla normal dağılmış rastgele değişkenin ortalamasını ve standart sapma değerini göstermektedir. Normal dağılmış rastgele değişkenin -∞ ile belirli bir x değerini alma olasılığı P olasılığını veren - ∞ dan X’e olasılık hesabında X rastgele değişkeni belirlemek

56 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 56 Standart normal dağılmış bir fonksiyona ait olasılık hesaplamaları için normcdf komutu aşağıdaki şekilde verilmedir. Verilen iki sınır değer arasında normal rastgele değişkene ait olasılık dağılım fonksiyonunu çizmek için: Burada specs: limit değerleri göstermektedir. p: olasılık değerini göstermektedir

57 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 57 Örnek 14: Eğer Z standart normal dağılmış bir rastgele değişken ise aşağıdaki olasılıkları grafiksel olarak gösterip hesaplayınız.

58 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 58 Örnek çözüm 14:

59 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 59 Örnek çözüm 14:

60 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 60 Örnek çözüm 14:

61 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 61 Örnek çözüm 14:

62 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 62 Örnek 15: Önceki problemlerde eksen değerlerinden hareketle olasılık değeri bulunurken bu problemde olasılık değerinden hareketle eksen değerleri bulunmaktadır. Yani tabloya bakış yönteminde değişiklik var. Tablodan olasılık değerine karşı gelen z değeri araştırılırsa bunun 1.96 (yani z1=1.96) olduğu görülür

63 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 63 Örnek 16:

64 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 64 Örnek çözüm 16: Değer çift taraflı olduğundan (her iki kuyruğu kapsadığından) her parçanın olasılığı ( )/2=0.05 dir. Tablodan 0.05 olasılık değerine karşı gelen z değeri araştırılırsa bunun 1.64 (yani z1=1.64) olduğu görülür.

65 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 65 Örnek 17: Bir imalathanede üretilen millerin çaplarının ortalaması inç ve standart sapmalarının ise 0.001inç olan normal dağılıma uyduğu tespite edilmiştir. Üretilen miller eğer 3.000±0.002 inç aralığının dışında iseler bu miller hatalı üretim kabul edilmektedir. Buna göre toplam üretimdeki hatalı ürün miktarını bulunuz

66 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 66 Örnek çözüm 17:

67 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 67 Dağılım Tipinin Belirlenmesi Ham olarak elde edilen rasgele değişkene ait dataların dağılım tipini (Normal, Lognormal, Exponensiyel, Lognormal) belirlemek rasgele değişken kullanılarak yapılacak analizler için çok önemlidir. Bu işlemler de rasgele değişkenin nasıl bir dağılım davranışı gösterdiği ve bu dağılımın parametreleri kullanılmaktadır. Ham olarak elde edilen bu datalara bir dağılım uydurmak (distribution fitting) için aşağıda verilen adımlar takip edilir: Dağılım tipini grafiksel olarak belirlemek Belirlenen bu dağılım tipine ait parametreleri tahmin etmek Belirlenen bu dağılım tipinin uygunluğunu test etmek

68 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 68 Dağılım Tipini Grafiksel olarak Belirlenmesi Ham olarak elde edilmiş rasgele değişkene ait dataların hangi dağılım tipine uygun olduğunu belirlemede genellikle bu dataların grafiksel olarak gösterimi ile birlikte uygunluk testi (goodness-of-fit) uygulanarak elde edilir

69 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 69 Dağılım parametrelerinin tahmini Belirlenen dağılıma ait parametrelerin (ortalama, standart sapma, çarpıklık, basıklık gibi)için başlıca iki metot kullanılır: Momentler metodu(method of moments) Maksimum olabilirlik metodu (method of maximum likelihood) Bu metotlar vasıtasıyla edilen parametreler daha sonra gerçekleştirilecek analizlerde rasgele değişkenlerin kullanılmasını sağlar

70 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 70 Seçilen dağılım fonksiyonun uygunluk testi: Son adım olarak, rasgele değişkenlere ait belirlenmiş dağılım tipinin uygunluk testi yapılarak istatistiksel olarak ne kadar uygun olduğu tespit edilir. Bu adım da kullanılan belli başlı uygunluk testi yöntemleri: Ki-kare uygunluk testi(Chi Square test) Kolmogorov Smirnov test Anderson Darling test

71 5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI 71 Kaynaklar 1- İstatistik ve Olasılık Ders Notları-Prof. Dr. İrfan KAYMAZ 2-İstatistiğe Giriş- Prof. Dr. Necati YILDIZ 3- İstatistik Analiz Metotları- Prof. Dr. Bilge ALOBA KÖKSAL 4- Mühendisler için İstatistik- Prof. Dr. Mehmetçik BAYAZIT


"OLASILIK ve İSTATİSTİK BÖLÜM 5 Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları