Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Yapay Zeka Teknikleri Kullanılarak Yüzey Modelleme Dr.Erkan ÜLKER Fen Bilimleri Enstitüsü Bilgisayar Mühendisliği A.B.D. Lisansüstü Dersi 1.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Yapay Zeka Teknikleri Kullanılarak Yüzey Modelleme Dr.Erkan ÜLKER Fen Bilimleri Enstitüsü Bilgisayar Mühendisliği A.B.D. Lisansüstü Dersi 1."— Sunum transkripti:

1 Yapay Zeka Teknikleri Kullanılarak Yüzey Modelleme Dr.Erkan ÜLKER Fen Bilimleri Enstitüsü Bilgisayar Mühendisliği A.B.D. Lisansüstü Dersi 1

2 Problem 1200 nokta nokta tavşan 2tori

3 Yapay Zeka Teknikleri kullanılarak Yüzey Modelleme Parametrik Eğriler ve Yüzeyler Problemin tanımı Yapay Zeka Teknikleri ile Problemin Çözümü (Parametre Tahmini) Yayınların Listesi Sonuç

4 Eğriler ve Yüzeyler Gözlem : Modellemek ve görüntülemek istediğimiz çoğu nesne düzgün ve dümdüz değildir. –Örneğin taslaklar, sandalyeler, hayvanlar, bitkiler, binalar. Bir eğriyi nasıl temsil edebiliriz? –Eğri üzerindeki çok sayıdaki noktalarla işe başlanır. –Noktaları birleştiren çizgi dilimleri (segment) ile eğri tahmin edilir. “parçalı lineer tahmin(piecewise linear approximation)” Bir yüzeyi nasıl temsil edebiliriz? –Yüzey üzerindeki çok sayıdaki noktalarla işe başlanır. –Bir çokgen ızgara (polygon mesh) ile tahmin yapılır. Her kenarı sadece 1 yada 2 çokgenin parçası olan çokgenler kümesi.

5 Doğruluk/Harcanan Bellek Ödünleşimi Problem: Parçalı lineer tahminlerle iyi görüntü (gerçekçilik, pürüzsüzlük vs) sağlanması için çok sayıda parça gerektirecektir. Her eğri yada yüzeyin kendi noktaları kümesi çok büyük bellek miktarı alacaktır. Çözüm: Eğri/Yüzey üzerindeki koordinatlar için yüksek-dereceli formül kullanımı. Eğer basit bir formül iyi çalışmazsa eğri/yüzey basit bir formülle temsil edilebilen parçalara bölünür. Hala bir tahmin yapılabilmektedir ama daha az bellek kullanılmaktadır.

6 Yüksek dereceli (Higher-order) Formüller Kapalı olmayan fonksiyonlar (Explicit Functions): y = f(x) [e.g. y=2x 2 ] –Her bir x değeri için sadece bir y değeri vardır –Sonsuzluğa gidildikçe bir eğimi temsil etmek zorlaşır Örtük Denklemler (Implicit Equations): f(x,y)=0 [e.g. x 2 +y 2 -r 2 =0] –Bir eğrinin tam bir parçasını modellemek için kısıtlamalara ihtiyaç duyulur –Eğrileri pürüzsüzce birbirine birleştirmek zordur Parametrik (Parametric) Denklemler: x=f(t), y=f(t) [e.g. x=t 3 +3,y=3t 2 +2t+1] –Eğimler parametrik teğet vektörleri olarak temsil edilirler (d/dt). –Eğri dilimlerini pürüzsüzce birleştirmek kolaydır.

7 Parametrik Eğriler Seçilen eğri parçası: 0  t  1 Lineer: x=a x t + b x y=a y t + b y z=a z t + b z Quadratik: x = a x t 2 + b x t + c x y = a y t 2 + b y t + c y z = a z t 2 + b z t + c z Kübik: x = a x t 3 + b x t 2 + c x t + d x y = a y t 3 + b y t 2 + c y t + d y z = a z t 3 + b z t 2 + c z t + d z Kübik tercih edilir - şekli hesaplama ve belirtmede esneklik ve karmaşıklık arasında bir denge sağlar. Bilinmeyen 4 katsayıyı tanımlamak için 4 bilinene ihtiyaç duyulur. Parametre uzayı Nesne uzayı

8 Eğri Dilimlerini Birbirlerine Birleştirmek G 0 geometrik süreksizliği: İki eğri dilimini birbirine birleştirir G 1 geometrik süreksizliği: Birleşme noktasında, iki dilimin teğet vektörlerinin yönü eşittir C 1 (parametrik) sürekliliği: iki dilimin teğet vektörleri büyüklük ve yön olarak birbirine eşittir (Teğet vektör = [0, 0, 0] olmadıkça C 1  G 1 dir) C n (parametrik) süreklilik: Birleşme noktasında n inci türevden büyüklük ve yön birbirine eşittir C2C2 C1C1 G0G0

9 Eğri aileleri AileTürüTanımlanış biçimi Düz çizgiLineer2 Son nokta HermiteKübik2 son nokta, Son noktalarda teğet vektörler BézierKübik2 son nokta, 2 “Kontrol Noktası” SplineKübik4 “Kontrol Noktası”

10 Parametrik Denklemler x = a x t 3 + b x t 2 + c x t + d x y = a y t 3 + b y t 2 + c y t + d y z = a z t 3 + b z t 2 + c z t + d z

11 Temel Matris and Geometrik Matris Q(t) = T M G T Matrisi Temel(Basis) Matris Geometri Matrisi Fikir: Geometri matrisindeki geometrik bilgi değiştirilerek farklı eğriler belirtilebilir. –Eğri, geometri matrisi G nin elemanlarının ağırlıklı toplamıdır. –Temel (basis) matris, bir eğriler ailesine özgü sabit değerler içerir.

12 Örnek: Parametrik Çizgi x(t) = a x t + b x y(t) = a y t + b y z(t) = a z t + b z

13 Çizgi için Geometri Matrisi İki nokta (P 1 ve P 2 ) bir çizgi tanımladığı için geometri matrisi şu olmalıdır: G 1 = P 1, G 2 = P 2 Peki, temel (basis) matris nedir? P1 P2 t = 1 t = 0 t > 1 t < 0

14 Çizgi için Temel (Basis) Matris Cramer’ın Kuralı:

15 Harmanlama (Geçişme, Blending) Fonksiyonu Bir eğri ailesinin Harmanlama fonksiyonları TM ile tanımlanırlar –Fonksiyonlar t içinde kurulurlar –G matrisindeki geometrik bilgi parçalarının her biri için bir harmanlama fonksiyonu vardır. –Belirli bir t değerinde bir harmanlama fonksiyonunun değeri, eğri boyunca geometrik bilginin o noktada karşılık gelen parçasının etkisini tanımlar. Çizgi harmanlama fonksiyonları şöyledir: t f(t) P 2 fn. P 1 fn.

16 Bézier Eğriler P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 Dışbükey omurga Convex Hull İki son nokta P 1 ve P 2 ve İki kontrol noktası P 3 ve P 4 için eğriler (Kübik)

17 Bézier Matrisleri (Kübik) Q(t) = TM BG B P 1 & P 4 : son noktalar son noktalardaki teğetler R 1 = 3(P 2 -P 1 ), R 4 = 3(P 4 -P 3 )

18 Bézier Harmanlama Fonksiyonları t f(t) 1 1 B B1 B B4 B B2 B B3 Bernstein polinomları:

19 Genel Bézier Eğriler Eğriyi tanımlayan noktaları P 1 ile P n+1 arasında kabul edelim. Bezier eğri şöyle ifade edilir: Burada B i,n (t) = C(n,i) t i (1-t) n-i {Harmanlama fonksiyonlarıdır} ve C(n,i) = n!/(i!(n-i)!) {Binomial katsayıdır}

20 Genel Bézier Eğriler (devam) İki nokta için, n = 1: Q B (t) = (1-t)P 1 + tP 2 Üç nokta için, n = 2: Q B (t) = (1-t) 2 P 1 + 2t(1-t)P 2 + t 2 P 3 Dört nokta için, n = 3: Q B (t) = (1-t) 3 P 1 + 3t(1-t) 2 P 2 + 3t 2 (1-t)P 3 + t 3 P 4 Vesaire...

21 Bézier Eğri Karakteristikleri 1.Fonksiyonlar, ilk ve son tepe noktalarında enterpole edilir. 2.P 1 deki teğet P 2 -P 1, ve P n+1 deki teğet P n+1 -P n İle verilir. 3.Harmanlama fonksiyonları t ve (1-t) ye göre simetriktir. Bunun anlamı: eğrinin şekli değiştirilmeksizin eğriyi tanımlayan tepe noktalarının sırasını ters çevirebiliriz. 4.Eğri, Q(t), kontrol noktaları ile tanımlanan dış bükey omurga (convex hull) içinde uzanır. 5.Eğer ilk ve son tepeler çakışıksa kapalı bir eğri üretilebilir. 6.Eğer üretilecek eğriler karmaşık eğrilerse onları çeşitli Bezier bölümlerle parçalayarak biçimlendirebiliriz.


"Yapay Zeka Teknikleri Kullanılarak Yüzey Modelleme Dr.Erkan ÜLKER Fen Bilimleri Enstitüsü Bilgisayar Mühendisliği A.B.D. Lisansüstü Dersi 1." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları