Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Ayrık İş lemsel Yapılar Giri ş 2. Hafta SAÜ NYurtaY1 Yrd.Doç.Dr.Nilüfer YURTAY İletişim : (264) 295 58 98 İletişim :

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Ayrık İş lemsel Yapılar Giri ş 2. Hafta SAÜ NYurtaY1 Yrd.Doç.Dr.Nilüfer YURTAY İletişim : (264) 295 58 98 İletişim :"— Sunum transkripti:

1 Ayrık İş lemsel Yapılar Giri ş 2. Hafta SAÜ NYurtaY1 Yrd.Doç.Dr.Nilüfer YURTAY İletişim : (264) İletişim : (264) BSM

2 Mantık ve Önermeler 2. Hafta 2. Sayfa BSM Mantıkta, öne sürülen bir ifadenin, değeri ya doğru ya da yanlış olmak zorunda olan içeriğine önerme denir. 2 < 3 (Doğru bir önerme). Türkiye'nin başkenti Ankara'dır. (Doğru bir önerme) 7 = 8 (Yanlış bir önerme). İstanbul Amerika'nın başkenti midir?(önerme değildir) 78=79 (bu önerme yanlış bir önermedir) Asal ve çift sayı olan bir tamsayı vardır (bu önerme doğru bir önermedir)

3 Mantık ve Önermeler 2. Hafta 3. Sayfa BSM Doğruluk değeri bakımından bir önerme için 2, iki önerme için 4 durum vardır “p ve q” ifadesi, p ve q önermelerinin her ikisi de doğru olduğunda doğru, diğer durumlarda yanlışdır. Bu önermeye p ve q önermelerinin kesişimi denir. p  q olarak da gösterilir ve doğruluk değeri aşağıdaki tablodaki gibidir: pq pqpq p=”3+3=5”, q=”1+6=8” olsun. p  q=0 dır

4 Mantık ve Önermeler 2. Hafta 4. Sayfa BSM “p veya q” ifadesi, p ve q önermelerinin her ikisi de yanlış olduğunda yanlış, diğer durumlarda doğrudur. Bu önermeye p ve q önermelerinin birleşimi denir. p  q olarak da gösterilir ve doğruluk değeri aşağıdaki tablodaki gibidir: pq pqpq Örnek olarak p=”3+3=5”, q=”1+6=7” olsun. p  q=1 dır. Çünkü p nin doğruluk değeri 0 ve q nun doğruluk değeri 1 dir.

5 Mantık ve Önermeler 2. Hafta 5. Sayfa BSM “p ise q” ifadesi p doğru, q yanlış olduğu durumda yanlış, diğer durumlarda doğru olan bileşik bir önermedir ve koşullu önerme olarak adlandırılır. Burada p önermesi koşullu önermenin hipotezi, q önermesi ise hükmü(yargı) adını alır. “p ise q” koşullu önermesi “p  q” biçimde ifade edilir ve doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir: pq pqpq Örnek olarak “Sakarya Türkiye’de ise 1+1=3 dür” önermesinin doğruluk değerini araştıralım: P=“Sakarya Türkiye’dedir” q= “1+1=3” p doğru, q yanlış olduğundan verilen koşullu önerme yanlışdır.

6 Mantık ve Önermeler 2. Hafta 6. Sayfa BSM P ve q herhangi iki önerme olsun. (p  q)  (q  p) bileşik önermesine iki yönlü koşullu önerme denir ve p  q biçiminde gösterilerek, “p ise ve yalnız böyle ise q dur” biçimde okunur. p  q için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir: pq pqpqqpqp(p  q)  (q  p)pqpq Örneğin; “Sakarya Türkiye’de ise ve yalnız böyle ise 12+12=26 dır” önermesinin doğruluk değerini bulalım. p=”Sakarya Türkiye’dedir” q=”12+12=26 dır” p doğru, q yanlış olduğundan tablodan hemen verilen iki yönlü koşullu önermenin de yanlış olduğunu görürüz.

7 Mantık ve Önermeler 2. Hafta 7. Sayfa BSM Örnek olarak (p  q’)’ önerme formülü için doğruluk çizelgesi oluşturalım: pq q’ pq’pq’ (p  q ’ ) ’ Eğer bir önerme formülünde değişkenleri yerine yazılan her önerme için doğru değeri söz konusu ise bu önerme formülüne totoloji, değişkenleri yerine yazılan her önerme için yanlış değeri söz konusu ise çelişme denmektedir. Örnek olarak p  p’ önerme formülünün totoloji, p  p’ önerme formülünün de çelişme olduğunu gösterelim: p  p’p’ p  p’p’

8 Mantık ve Önermeler 2. Hafta 8. Sayfa BSM Örnek olarak (p  q)’  (p’  q’) olduğunu gösterelim: (p  q) ’  (p ’  q ’ ) i ç in doğruluk tablosu pq (p  q)(p  q) ’ p’p’ q’q’ (p ’  q ’ ) Bir diğer örnek olarak p’  q  p  q olduğunu gösterelim: p ’  q  p  q i ç in doğruluk tablosu pqP’P’ p ’  qpqpq

9 Mantık ve Önermeler 2. Hafta 9. Sayfa BSM Mantıksal denklikler DenklikAdı pDppYppDppYp ö zdeşlik ö zelliği pDDpYYpDDpYY Baskınlık ö zelliği pppppppppppp Eşkuvvetlilik ö zelliği (p ’ ) ’  p Tamlama ö zelliği pqqppqqppqqppqqp Değişme ö zelliği (p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r) Birleşme ö zelliği p  (q  r)  ( p  q)  (p  r) p  (q  r)  ( p  q)  (p  r) Dağılma ö zelliği (p  q) ’  p ’  q ’ (p  q) ’  p ’  q ’ De Morgan Ö zelliği

10 K ü meler-Genel Tanımlar A  B={ X: X  A ve/veya X  B}A  B = { X: X  A ve X  B} Teorem E universel küme ve A,B,C alt kümeleri olsun buna göre aşağıdaki ilişkiler söz konusudur. A  B= B  A ve A  B= B  A (Değişme) (A’)′= A (A  B)  C= A  (B  C) ve (A  B)  C=A  (B  C) (Birleşme) A  (B  C)=(A  B)  (A  C) ve   A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (Dağılma) A  A’=E A  A’=  A  B  A ve A  B  B A - B = A  B’ 2. Hafta 10. Sayfa BSM

11 K ü meler Teorem De Morgan Yasası ; E evrensel küme ve A,B bunun alt kümeleri ise, (A  B)’=A’  B’ (A  B)’=A’  B’ A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı, a  A,b  B olamak üzere tüm sıralı (a,b) çiftlerinin oluşturduğu kümedir. Kartezyen çarpım AxB ile gösterilir. AxB={(a,b): a  A ve b  B} A={a,b,c} ve B={d,e} ise AxB={(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e)} BxA={(d,a),(d,b),(d,c),(e,a),(e,b),(e,c)} olur. AxB  BxA Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı |AxB| =|A|.|B| dir. |A|=3 |B|=2 ise AxB kümesinin 6 elemanı olacaktır. 2. Hafta 11. Sayfa BSM

12 A  (B  C)= (A  B)  (A  C) olduğunu ispatlayınız İspat: A  (B  C)={x  x  A ve x  (B  C) } A  (B  C)={x  x  A ve (x  B veya x  C) } A  (B  C)={x  (x  A ve x  B) veya (x  A ve x  C) } A  (B  C)={x  (x  A  B) veya (x  A  C) } A  (B  C)=(A  B)  (A  C) elde edilir ve ispat tamamlanmış olur. 2. Hafta 12. Sayfa BSM

13 A-B=A  B olduğunu ispatlayınız. İspat: A-B={x  x  A ve x  B) A-B={x  x  A ve x  B) A-B=(A  B) elde edilir ve ispat tamamlanmış olur. 2. Hafta 13. Sayfa BSM

14 AX(B  C)=(AXB)  (AXC) olduğunu ispatlayınız. İspat: AX(B  C)={(x,y)  x  A ve y  B  C} AX(B  C)={(x,y)  x  A ve y  B ve y  C} AX(B  C)={(x,y)  x  A ve x  A ve y  B ve y  C} AX(B  C)={(x,y)  (x  A ve y  B) ve (x  A ve y  C)} AX(B  C)={(x,y)  ((x,y)  (A xB)) ve ((x,y)  (AxC))} AX(B  C)=(AXB)  (AXC) elde edilir ve ispat tamamlanmış olur. 2. Hafta 14. Sayfa BSM

15 K Ü MELER-Bağıntı BAĞINTI A ve B herhangi iki küme olsun. AxB ‘ nin her alt kümesine, A’ dan B’ ye bir bağıntı denir. AxA ‘ nın her alt kümesine A’ dan A’ ya bağıntı ya da A’ da bir bağıntı denir. s (A) = m, s (B) = n ise A’ dan B’ ye 2 m.n tane bağıntı tanımlanır. ÖRNEK : AxB = {(1,3), (1,a), (2,3), (2,a) } kartezyen çarpımının 4 tane elemanı vardır. Bu kümenin alt kümeleri sayısı 2 4 = 16 ‘dır. O halde A ‘ dan B ‘ ye 16 tane bağıntı tanımlanabilir. Örneğin β1 = {(1,3), (1,a) } ve β2 = { (1,a), (2,3), (2,a) } alt kümeleri A dan B ye birer bağıntıdır. 2. Hafta 15. Sayfa BSM

16 K ü meler-Bağıntı Doğal sayılar kümesinde β = {(x,y)| x + y = 2 } bağıntısının sıralı ikililerini yazalım. β = {(0,2), (1,1), (2,0) } olur Doğal sayılar kümesinde β = {(x,y)| x > y } bağıntısının sıralı ikililerini yazalım. β = {(1,0), (2,0), (3,0),..., (2,1), (3,1), (4,1),..., } 2. Hafta 16. Sayfa BSM

17 K ü meler-Bağıntı Teorem Bir  bağıntısı aşağıdaki özellikleri sağlar ise bir denklik bağıntısıdır. (1) Eğer her X elemanı için X  X doğru ise,  refleksif olarak anılır. (2) Eğer X  Y doğru olduğunda Y  X de doğru oluyorsa,  Simetriktir denir. (3) X  Y doğru, Y  Z doğru ise X  Z doğru oluyorsa,  Transitiftir denir. ß={(x,y):4|y-x} bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. “İkinci bileşenle birincinin farkı 4’e tam bölünebilir” anlamına gelen bu bağıntı yukarıdaki özellikleri sağlar her x tam sayısı için x-x=0’dır ve sıfır, 4’e bölünebilir; y-x 4’e bölünebilirse x-y de bölünebilir; son olarak y-x ve z-y 4’e bölünebilirse z-x’in de 4’e bölünebileceği açıktır 2. Hafta 17. Sayfa BSM

18 K Ü MELER-Fonksiyon A kümesinin her bir elemanını Y kümesinin sadece bir elemanına eşleyen bağıntıya fonksiyon denir. A kümesi tanım (domain), B kümesi de değer (codomain) olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi gösterilir.  :A  B Bir  fonksiyonunun tanım kümesinin herhangi iki farklı elemanı değer kümesinin aynı elemanına gitmiyorsa bu fonksiyona bire-bir fonksiyon denir. Bire-bir fonksiyonda tanım kümesinin farklı iki elemanının görüntüleri de farklıdır. Bu nedenle  : X  Y fonksiyonunun bire-bir olduğunu belirlemek için  (x1)=  (x2) iken x1=x2 olduğunu göstermek yeterlidir.  : X  Y fonksiyonunun Y kümesi üzerindeki eşleme elemanlarının kümesine bu fonksiyonun görüntüsü (range) denir. Bir fonksiyonun görüntüsü değer kümesine eşit ise o fonksiyona örten fonksiyon adı verilir. Bir fonksiyonun örten olduğunu göstermek için,  y  Y için y=  (x) eşitliğini sağlayan en az bir x  X varlığını ispat etmek yeterlidir. 2. Hafta 18. Sayfa BSM

19 KÜMELER-Fonksiyon X reel sayılar kümesini ele alalım.  :X  X,  (x)=2x-3 olarak tanımlanan fonksiyon hem bire-bir hem de örtendir.  fonksiyonunu bire-bir olduğunu göstermek için  (x1)=  (x2) iken x1=x2 koşulunu sağlamamız gereklidir.  (x1)=  (x2)  2x1-3=2x2-3 2x1=2x2 x1=x2 elde edilir. her bir y reel sayısı için y=  (x) olacak şekilde bir x reel sayısının bulunması gereklidir. alalım. elde edilir ki bu da fonksiyonun örten olması demektir. 2. Hafta 19. Sayfa BSM

20 KÜMELER-Fonksiyon Teorem  :X  Y birebir-örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda  -1 :Y  X ters fonksiyonu da birebir-örtendir. Tüm x  X’ler için  -1  (x)=x dir; tüm y  Y’ler için de  -1 (y)=y dir. 2. Hafta 20. Sayfa BSM

21 A={1,2,3}, B={a,b,c,d}, f={(1,b),(2,a),(3,d) olduğuna g ö re f birebir midir? f birebir ise  x1,x2  A,x1≠x2  f(x1)≠f(x2) olmalıdır. x1=1 ve x2=2 ; 1 ≠2  f(1)≠f(2)=b ≠a dir. x1=1 ve x2=3 ; 1 ≠3  f(1)≠f(3)=b ≠d dir. x1=2 ve x2=3 ; 2 ≠3  f(2)≠f(3)=a ≠d dir. f birebirdir..a.b.c.d.a.b.c.d f 2. Hafta 21. Sayfa BSM

22 A={1,2,3,4}, B={a,b,c}, f={(1,b),(2,a),(3,c),(4,b)} olduğuna g ö re f ö rten midir? f ö rten ise;  y(y  B  x  A, f(x)=y dir. y=a,f(2)=a, 2  A y=b,f(1)=b, 1  A ve y=b,f(4)=b, 4  A y=c,f(3)=c, 3  A f ö rtendir a.b.c.a.b.c f 2. Hafta 22. Sayfa BSM

23 Bileşke Fonksiyon A BC D f: A  B g: C  D g  f nedir? f={(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25)} g={(4,1),(9,2),(25,4),(64,7)} gof={(2,1),(3,2),(5,4)} olur. 2. Hafta 23. Sayfa BSM

24 2. Hafta 24. Sayfa BSM

25 Ayrık İşlemsel Yapılar 2. Hafta SAÜ NYurtaY 25. Sayfa Kaynaklar BSM F.Selçuk,N.Yurtay,N.Yumuşak,Ayrık İşlemsel Yapılar, Sakarya Kitabevi,2005. İ.Kara, Olasılık, Bilim Teknik Yayınevi, Eskişehir, “Soyut Matematik”, S.Aktaş,H.Hacısalihoğlu,Z.Özel,A.Sabuncuoğlu, Gazi Ünv.Yayınları,1984,Ankara. “Applied Combinatorics”, Alan Tucker, John Wiley&Sons Inc, “Applications of Discrete Mathematics”, John G. Michaels, Kenneth H. Rosen, McGraw-Hill International Edition, “Discrete Mathematics”, Paul F. Dierker and William L.Voxman, Harcourt Brace Jovanovich International Edition, “Discrete Mathematic and Its Applications”, Kenneth H. Rosen, McGraw-Hill International Editions, 5th Edition, “Discrete Mathematics”, Richard Johnson Baugh, Prentice Hall, Fifth Edition, “Discrete Mathematics with Graph Theory”, Edgar G. Goodaire, Michael M. Parmenter, Prentice Hall, 2nd Edition, “Discrete Mathematics Using a Computer”, Cordelia Hall and John O’Donnell, Springer, “Discrete Mathematics with Combinatorics”, James A. Anderson, Prentice Hall, “Discrete and Combinatorial Mathematics”, Ralph P. Grimaldi, Addison-Wesley, “Discrete Mathematics”, John A. Dossey, Albert D. Otto, Lawrence E. Spence, C. Vanden Eynden, Pearson Addison Wesley; 4th edition “Essence of Discrete Mathematics”, Neville Dean, Prentice Hall PTR, 1st Edition, “Mathematics:A Discrete Introduction”, Edvard R. Schneiderman, Brooks Cole; 1st edition, “Mathematics for Computer Science”, A.Arnold and I.Guessarian, Prentice Hall, “Theory and Problems of Discrete Mathematics”, Seymour Lipschuts, Marc. L. Lipson, Shaum’s Outline Series, McGraw-Hill Book Company, “2000 Solved Problems in Discrete Mathematics”, Seymour Lipschuts, McGraw- Hill Trade, 1991.


"Ayrık İş lemsel Yapılar Giri ş 2. Hafta SAÜ NYurtaY1 Yrd.Doç.Dr.Nilüfer YURTAY İletişim : (264) 295 58 98 İletişim :" indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları