Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

1) PARÇALI FONKSİYONLAR. 2) PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ. 3) MUTLAK DEĞER FONKSİYONU. 4) İŞARET (SİGNUM) FONKSİYONU. 5) TAM KISIM FONKSİYONU. 6) ARALIK.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "1) PARÇALI FONKSİYONLAR. 2) PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ. 3) MUTLAK DEĞER FONKSİYONU. 4) İŞARET (SİGNUM) FONKSİYONU. 5) TAM KISIM FONKSİYONU. 6) ARALIK."— Sunum transkripti:

1

2 1) PARÇALI FONKSİYONLAR. 2) PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ. 3) MUTLAK DEĞER FONKSİYONU. 4) İŞARET (SİGNUM) FONKSİYONU. 5) TAM KISIM FONKSİYONU. 6) ARALIK UZUNLUĞU. 7) TAM KISIM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ. 8) FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ. 9) ALIŞTIRMALAR.

3 Tanım: Tanım aralığının alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonlara,parçalı fonksiyonlar denir. Örneğin; f : R R, f(x) = f 1 (x), x 1  x  x 2 ise Örneğin; f : R R, f(x) = f 2 (x), x x 2 ise fonksiyonu parçalı bir fonksiyon olup x = x 1, ve x = x 2 noktaları tanım aralıklarının uç noktalarıdır ve bu noktalara fonksiyonun kritik noktaları denir. 4x - 1, x  0 (Mod 3 ) ise f : R ye, f (x) = x 2 + 1, x  1 (Mod 3 ) ise x 3 - 1, x  2 (Mod 3 ) ise fonksiyonu veriliyor.

4 a. f (5) + f (6) - 2f (7) değerini bulalım. b.f(3x - 2) fonksiyonunu bulalım. Çözüm : a. 5  2 (Mod 3 ) olduğu için, f(5) = =  0 (Mod 3 ) olduğu için, f(6) = = 23 7  1 (Mod 3 ) olduğu için, f(7) = = 50 olur. f(5) + f(6) -2f(7) = = 47 bulunur. b.3x -2  1 (Mod 3) olduğu için, f (3x -2) = (3x -2) 2 +1 f(3x -2) = 9x 2 -12x +5 bulunur. Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken,tanım aralığının her alt aralığındaki farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonların grafikleri ayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir

5 Örnek : f : R R, f(x) = x 2 + 2x, x < 1 ise 0, x = 1 ise -x + 2, x > 1 ise fonksiyonun grafiğini çizelim. Çözüm : i. y = x 2 + 2x parabolünün (- , 1) aralığına karşılık gelen kısmı çizilir. ii.( 1, 0) noktası işaretlenir. iii.y = -x +2 doğrusunun ( 1,+  ) aralığına karşılık gelen kısmı alınır.Böylece f parçalı fonksiyonun grafiği çizilmiş olur. y x

6 Tanım : A  R, B  R olmak üzere f: A B ye  f 2 (x) = f (x) = f(x) = -f(x), f(x) < 0 ise f(x), f(x)  0 ise Şeklinde tanımlı fonksiyona,mutlak değer fonksiyonu denir. i. |f(x)|  0 olduğundan, |f(x)| fonksiyonun görüntü kümesi R +  {0}dır. ii. |f(x)| de f(x) = 0 denkleminin reel köklerine kritik noktalar denir. |f(x)| fonksiyonun grafiği bu noktalarda kırılma ya da kıvrılma yapar. iii. |f(x)| in tanımlanabilmesi için, f(x) in işareti bilinmelidir.

7 f : A B, |f |(x) = |f(x)| = -f (x), f(x) < 0 ise f(x), f(x)  0 ise dir. Bu tanıma göre mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken aşağıdaki adımlar izlenmelidir. 1.y = f(x) in grafiği çizilir. 2.(x,f(x)) noktalarının x eksenine göre simetriği (x,- f(x)) olduğundan,f(x) < 0 olduğu kısımların (x ekseninin altında kalan parçaların ) x eksenine göre simetriği alınır. 3.f(x)  0 olduğu kısımlarda |f(x)| = f(x) olduğundan,fonksiyonun grafiği aynen kalır.Böylece, |f(x)| grafiği çizilmiş olur.

8 1 x Çözüm: a.y e0 1 y = lnx 1 10 x y e y = |lnx| Örnek : Aşağıdaki mutlak değerli fonksiyonların grafiklerini çizelim. a. f: R + R, f(x9 = |lnx| b. f: R R, f(x) |x 2 -1 | c. f: R R, f(x) |x-2 | d. f: R R +, f(x) |2 x |

9 b. 0 1 y= x 2 -1 y x y= x-2 x y y= |x 2 -1 | | y= |x-2 | y x x c y

10 x y y= 2 x x Mutlak değer içleri f(x)=ax + b biçiminde olan iki mutlak değer toplamından oluşan fonksiyonların grafikleri aşağıda verilen şekillerdeki gibi oluşur. 1. f: R R, f(x)=|x-a|+|x-b| fonksiyonunun grafiği x=a ve x=b de kırılma yapan ve minimum değeri f (a) =f(b) = |a-b| olan yandaki şekli çizer. y y= |2 x | |a-b| y abxo

11 2.f: R R, f(x) = |ax-b|+|mx-n| m  a grafiği, mutlak değer içlerini sıfır yapan b/a ve n/m değerlerinde kırılma yapar.Bu değerlerden küçük olanına x 1 ve büyük olanına x 2 diyelim.Fonksiyonun f(x 1 ) ya da f(x 2 ) de bir minimum değeri oluşur.Fonksiyonun grafiği yanda görüldüğü gibidir. x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2) 0 x y Tanım:R R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. -1, f(x)<0 ise 0, f(x) = 0 ise 1, f(x) > 0 ise biçiminde tanımlanan fonksiyona,f nin işaret (signum)fonksiyonu denir. y=sgnf(x)=

12 i. Tanımdan anlaşıldığı gibi,signf(x) fonksiyonu sadece -1,0,1 değerlerini ala bilir.O halde sgn f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi;{-1,0,1}dir. ii.sgn f(x) in tanımlanabilmesi için, f(x) in işareti bilinmelidir iii.sgn f(x) fonksiyonunda, f(x) = 0 denkleminin köklerine,kritik noktalar denir.İşaret fonksiyonu bu kritik noktalarda sıçrama yapar. y = sgn f(x) in grafiğini çizerken aşağıdaki aşamalar izlenmelidir: i.f(x)fonksiyonun grafiği çizilir. ii.f(x)fonksiyonun grafiğinin; x ekseninin üstünde kalan kısımlar için,y = 1 doğrusu çizilir. x ekseninin altında kalan kısımlar için,y= -1 doğrusu çizilir. x eksenini kestiği noktalar için,y = 0 işaretlenir.

13 Örnek: f:R R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.Buna göre,sgn f(x) in grafiğini çizelim. Çözüm:soruda verilen grafikten görüldüğü gibi ; a 0 b x c f(x) y a 0 b x y 1

14 Tanım: x  R olmak üzere,x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya,x in tam kısmı denir ve bu [x] sembolü ile gösterilir.Yani, Örnek: f:R R, f(x)=  2x-1/5  fonksiyonu veriliyor: a. f(-1) Çözüm: a. f(-1) =  -3/5  Teorem:x  R,a  Z için  x+a  =  x  +a dır. Özellik:n  Z + olmak üzere;  nx  =  x  +  x+1/n  +  x+2/n   x+n-1/n  dır. Örneğin:  2x  =  x   x+1/2   3x  =  x  +  x+2/3  +  x+2/3 

15 1.x,y  R,  x+y   x  +  y  dir. 2.x,y  R +,  x.y   x .  y  dir 3.x,y  R,  x  =  y  ise  x-y  <1 dir Özellik:f rell değiskenli bir fonksiyon ve a tam sayi olmak üzere;  f(x)  > a f(x)  a+1 dir.  f(x)   a f(x)  a dır.  f(x)  < a f(x)

16 Tanım:Tam kısmı alınan fonksiyonu,ardışık iki tam sayı arasına getirebilen x reel sayılarının bulunduğu aralığın uzunluğuna,aralık uzunluğu denir.f(x) =  g(x)  de a  g(x) < a+1 (a  Z) eşitsizliğini sağlayan x lerin bulunduğu aralığın uzunluğu,x lerin aralık uzunluğudur. 1.m,n  R ve m  0 olmak üzere,f(x)=  mx + n  ise ;aralık uzunluğu 1/m dir. f: a  R Z, f(x) =  g(x)  in grafiğini çizerken,aşağıdakı aşamalar izlenmelidir. a).Aralık uzunluğu belirlenir. b).Tanım aralığı,aralık uzunluğuna göre ve uç noktalar aralık uzunluğunun tam sayı katı olacak biçimde,yani g(x)i ardışık iki tam sayi arasına getirebilecek şekilde bölünür. c).Her aralıktaki f(x) =  g(x)  ler belirlenip,grafik çizilir

17 Tanım:x  R olmak üzere y=f(x) kuralı ile verilmiş bir f fonksiyonunda ;A  R ve  x  a için f(x)  R koşulunu sağlayan en geniş a kümesine, f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi denir. TANIM KÜMELERİNİN BULUNUŞU 1.POLİNOM FONKSİYONLAR f(x) a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 gibi polinom fonksiyonları,tüm reel sayılarda tanımlıdır,Çünkü;  x  R için f(x)  R dir. Buna göre polinom fonksiyonlarının en geniş tanım kümeleri A=R dir. Örneğin;f(x)=mx+n ise,A=R dir.f(x)=ax 2 +bx+c ise,a=R dir 2.Rasyonel Fonksiyonlar P(x) ve Q(x) birer polinom fonksiyon olmak üzere f(x) = P(x)/Q(x) biçimindeki fonksiyonlar,paydayı sıfır yapan x  R için tanımsızdır.Çünkü Q(x)=0 için f(x)  R dir.O halde,bu türdeki rasyonel fonksiyonların en geniş tanım kümesi; A=R-  x: Q(x) = 0 ve x  R  dir.

18  Köklü Fonksiyonlar P(x)polinom fonksiyonu olmak üzere,f(x) = n  P(x) biçiminde irrasyonel fonksiyonların en geniş tanım kümesi; a. n, tek sayı ise,A = R dir. b. n,çift sayı ise, A = {x : P(x)  0 ve x  R}dir. Örnek:f(x) = 3  x Çözüm: f(x) = 3  x 2 -1 fonksiyonunun kök derecesi tek olduğu için en geniş tanım kümesi : A = R dir.  Logaritma Fonksiyonu P(x) ve h(x) polinom fonksiyonlar olmak üzere f(x) = log h(x) P(x) biçiminde logaritmik fonksiyonun tanımlı olması için P(x)>0, h(x)>0 ve h(x)  1olmalıdır.Buna göre en geniş tanım kümesi: A =  x : P(x) >0, h(x) >0 ve h(x)  1, x  R  dir.

19 ALIŞTIRMALAR 1.Aşağıdaki değerleri bulunuz. a.Sgn 3 b.sgn(  -4) c.  3,98 .sgn|-398| d.  log1998  2.Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a.  x  =5 b.  2x-3  = 7 c.  3-5x  = -7 d.  -x  = 3 3.Aşağıdaki fonksiyonları, parçalı fonksiyon biçiminde yazınız. a.f(x) =|x-3| b.f(x) = |lnx| c.f(x) = x 2 |x| d.f(x) = x|lnx| 4. Aşağıda verilen bağıntıların R 2 de grafiklerini çiziniz. a.|x| + |y| = 2 b.|x|-|y|= 3 c.|2x + y|=3 d. |x 2 |+|y 2 |=0 5. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümesini bulunuz. a.f(x) = 2x - 5 b.f(x) =  x-7 c.f(x) = ln (3-x) d.f(x) = x+3/3-|x|


"1) PARÇALI FONKSİYONLAR. 2) PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ. 3) MUTLAK DEĞER FONKSİYONU. 4) İŞARET (SİGNUM) FONKSİYONU. 5) TAM KISIM FONKSİYONU. 6) ARALIK." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları