Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

2013 Sonlu Elemanlar Yöntemi Ders Notları: Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi 1 Giriş.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "2013 Sonlu Elemanlar Yöntemi Ders Notları: Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi 1 Giriş."— Sunum transkripti:

1 2013 Sonlu Elemanlar Yöntemi Ders Notları: Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi 1 Giriş

2 2/75 Giriş Info Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Instructor: Doç. Dr. Mehmet Çevik Mühendislik Fakültesi A-Blok Dekanlık Ofisi Office hours: Çarşamba 14: :00 Course website:

3 3/75 Giriş Ders kitabı Ders Kitabı A First Course in the Finite Element Method Daryl L. Logan, 4th Edition, Thomson, Yardımcı Ders Kitabı Lecture Notes: Introduction to the Finite Element Method, Yijun Liu Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

4 4/75 Giriş Diğer Kaynaklar Mehmet H. Omurtag, Çubuk Sonlu Elemanlar, Birsen Yayınevi, 2012 J. N. Reddy, An Introduction to the Finite Element Method, McGraw Hill, Third Edition, S. S. Rao, The Finite Element Method in Engineering, Butterworth- Heinemann, 5 edition, S. Moaveni, Finite Element Analysis- Theory and Application with ANSYS, Prentice Hall, O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, The Finite Element Method, Volume 1: The Basis, Butterworth-Heinemann, 5 edition, K. J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall, Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

5 5/75 Giriş Ders notları için yararlanılan kaynaklar Suvranu De, Lecture Notes. Department of Aerospace Engineering Sciences, University of Colorado at Boulder, Introduction to Finite Element Methods, Lecture Notes. Introduction to the Finite Element Method, Yijun Liu, Lecture Notes. N. Zabaras, Finite Element Analysis for Mechanical and Aerospace Design, Cornell University, Lecture Notes. Nazmiye Yahnioğlu, Sonlu Elemanlar Yöntemi, Ders Notları Mehmet Omurtag, Çubuk Sonlu Elemanlar, Ders Notları Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

6 6/75 Giriş Değerlendirme Grades will be based on: Ödevler ve kısa sınavlar% 20 Mini Proje% 10 Vize% 30 Final% 40 Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

7 7/75 Giriş Mini Proje Kendi belirleyeceğiniz ve benim onaylayacağım bir problemi ANSYS veya benzeri bir paket problem ile çözerek Kasım ayı sonuna teslim edeceksiniz. Problem konusu ile ilgili önerinizi en geç 7 Ekim tarihine kadar sunmalısınız. Teslim ettiğiniz projede şunlar bulunmalıdır: –Çözdüğünüz problemin tanımı (Yükler, sınır şartları, vb.) –Analiz adımları (uygun şekiller ile birlikte) –Sonuçlar ve değerlendirme Proje her açıdan değerlendirilecektir. Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

8 8/75 Giriş Dersin İçeriği Giriş – Matris işlemlerinin genel tekrarı Yay eleman için «Doğrudan Direngenlik» yaklaşımı Çubuk ve kafes elemanlar 2-B ve 3-B uzayda çubuk elemanlar Kiriş eleman Çerçeve sistemlerinin SE analizi SE analizinde «Enerji» yaklaşımı 2 Boyutlu problemler Sonlu eleman modellemesi ve çözüm teknikleri Plak ve kabuk elemanlar 3 Boyutlu katı elemanlar Isıl gerilme problemleri Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

9 9/75 Giriş Sonlu Eleman Analizi Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

10 10/75 Giriş Sonlu Eleman Analizi Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Cantilever plate in plane strain uniform loading Fixed boundary Problem: Levhadaki gerilmeleri ve şekil değiştirmeleri bulunuz. Approximate method (Yaklaşık yöntem) Geometrik model Node (Düğüm noktası) Element (Eleman) Mesh (Ağ) Discretization (Ayrıklaştırma)

11 11/75 Giriş Sonlu Elemanlar Yöntemi Çeşitli mühendislik problemlerine kabul edilebilir bir yaklaşımla çözüm arayan bir sayısal çözüm yöntemidir. Çok güçlü bir sayısal hesaplama yöntemidir. Son 50 yılda bilgisayarların hızlı gelişimine paralel olarak gelişen sayısal hesap yöntemleri içinde çok önemli bir yer tutmaktadır.

12 12/75 Giriş Sonlu Elemanlar Yönteminin Tarihçesi İlk kez 1940’lı yıllarda inşaat mühendisliğinde çubuk ve kiriş elemanlar için kullanıldı. 1950’li yıllarda uçak sanayiinde kullanılmaya başlandı. İlk kez 1956’da Turner ve arkadaşları tarafından doğrudan direngenlik yöntemi ile kafes elemanlar, kiriş elemanlar, ve iki-boyutlu üçgen ve dörtgen düzlem elemanlar kullanılmaya başlandı. Sonlu eleman ifadesi ilk kez Clough tarafından 1960 yılında kullanıldı. Bilgisayarların gelişmesi (*) ile birlikte bu konuda çalışanların sayısı ve yöntemin kullanımı artmaya başladı; sürekli geliştirilmeye devam edilmektedir.

13 13/75 Giriş Sonlu Elemanlar Yönteminin Kullanımı Sonlu Elemanlar Yöntemi günümüzde neredeyse mühendisliğin tüm alanlarında kullanılmaktadır: Mekanik problemleri (statik/dinamik, lineer/nonlineer) Akışkanlar mekaniği Uzay ve uçak mühendisliği Otomotiv mühendisliği Isı transferi İnşaat mühendisliği Elektrik mühendisliği, elektromanyetik ………

14 14/75 Giriş Sonlu Elemanlar Yönteminin Özellikleri Sonlu elemanlar analizi fiziksel bir sistemin matematik olarak ifade edilmesidir. Sistem malzeme özelliklerine ve uygulanabilir sınır şartlarına sahip olup alt parçalara ayrılmaktadır. Bu parçalara ait matris denklemler oluşturulmakta ve matrisler bilgisayarla çözülmektedir. Düzensiz ve çok karmaşık geometriye sahip sistemlerin incelenmesine olanak sağlar. (CAD/CAM uygulamalarına kolayca entegre edilebilir.) Değişik ve karmaşık malzeme özellikleri olan sistemlere uygulanabilir. Örneğin, heterojen, anizotropik, nonlineer malzemeler, vb. Karışık ve süreksiz sınır şartlarının, düzensiz yükleme durumlarının, süreksiz ve tekil yüklerin, vb. nin sisteme uygulanması mümkündür.

15 15/75 Giriş ANSYS ABAQUS ADINA COMSOL Multiphysics FEFLOW JMAG LS-DYNA LUSAS NASTRAN SAP2000 … Yaygın olarak kullanılan SEM yazılımları

16 16/75 Giriş Sonlu Eleman Nedir ?

17 17/75 Giriş Analiz için Modelleme İşlemi

18 18/75 Giriş

19 19/75 Giriş Doğayı, daha yüksek bir hassasiyetle simule etmek için gittikçe daha karmaşık modelleri kullanmak demektir. Gittikçe daha karmaşık modeller Kabuller: Yay, çubuk, kafes eleman Kiriş, mil 2-B katı eleman Plak Kabuk Tamamen üç boyutlu Dinamik etkiler Nonlineer etkiler DOĞA Hiyerarşik modelleme

20 20/75 Giriş Elle çözümü zor ! Matematiksel model: Düzlem Gerilme

21 21/75 Giriş Mühendislik Tasarımı Sonlu eleman modeliKatı model PREPROCESSING 1. Bir geometrik model oluşturun 2. Sonlu eleman modelini geliştirin

22 22/75 Giriş Mühendislik Tasarımı FEM analysis scheme Step 1: Divide the problem domain into non overlapping regions (“elements”) connected to each other through special points (“nodes”) Sonlu eleman modeli

23 23/75 Giriş Mühendislik Tasarımı FEM analysis scheme Step 2: Describe the behavior of each element Step 3: Describe the behavior of the entire body by putting together the behavior of each of the elements (this is a process known as “assembly”)

24 24/75 Giriş Mühendislik Tasarımı POSTPROCESSING Compute moment at section AA

25 25/75 Giriş Mühendislik Tasarımı Preprocessing Analysis Postprocessing Step 1 Step 2 Step 3

26 26/75 Giriş Mühendislik Tasarımı 1.The selection of the mathematical model depends on the response to be predicted. 2.The most effective mathematical model is the one that delivers the answers to the questions in reliable manner with least effort. 3.The numerical solution is only as accurate as the mathematical model.

27 27/75 Giriş SEM’in kritik değerlendirmesi Güvenilirlik : For a well-posed mathematical problem the numerical technique should always, for a reasonable discretization, give a reasonable solution which must converge to the accurate solution as the discretization is refined. Sağlamlık : The performance of the numerical method should not be unduly sensitive to the material data, the boundary conditions, and the loading conditions used. Verimlilik :

28 28/75 Giriş Boeing Kaynak: Boeing Web site (http://www.boeing.com/companyoffices/gallery/images/commercial/).http://www.boeing.com/companyoffices/gallery/images/commercial/ Örnekler

29 29/75 Giriş Uçaklarda drag force (sürüklenme kuvveti) analizi Soru Uçak üzerinde sürüklenme kuvveti dağılımı nasıldır? Çözüm –Navier-Stokes Kısmi Diferansiyel Denklemleri Son Gelişmeler: –Multigrid Methods for Unstructured Grids Örnekler

30 30/75 Giriş San Francisco Oakland Bay Köprüsü Köprüyü sismik yükler altında analiz etmek için hazırlanan sonlu eleman modeli Örnekler

31 31/75 Giriş Motor Termal Analizi Picture from Soru –Motor bloğunda sıcaklık dağılımı nasıldır? Çözüm –Poisson Kısmi Diferansiyel Denklemi. Son Gelişmeler - Fast Integral Equation Solvers, Monte-Carlo Methods Örnekler

32 32/75 Giriş Mikromotor Cihazı Performans Analizi 32 From Denklemler –Elastomechanics, Electrostatics, Stokes Flow. Recent Developments –Fast Integral Equation Solvers, Matrix-Implicit Multi-level Newton Methods for coupled domain problems. Örnekler

33 33/75 Giriş Akciğer Kanserinde Radyasyon Tedavisi

34 34/75 Giriş Örnekler 2010 Toyota Yaris Sonlu Eleman Modeli 34

35 35/75 Giriş Lineer Cebir – Genel Tekrar Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

36 A rectangular array of numbers (we will concentrate on real numbers). A nxm matrix has ‘n’ rows and ‘m’ columns What is a matrix? (Matris nedir?) First column First row Second row Third row Second column Third column Fourth column Row number (Satır sayısı) Column number (Sütun sayısı)

37 What is a vector? A vector is an array of ‘n’ numbers A row vector of length ‘n’ is a 1xn matrix A column vector of length ‘m’ is a mx1 matrix

38 Linear System of Algebraic Equations

39 Solution Techniques for Linear Systems of Equations Gauss elimination methods Iterative methods

40 Special matrices (Özel Matrisler) Zero (Sıfır) matrix : A matrix all of whose entries are zero Identity (Birim) matrix: A square matrix which has ‘1’ s on the diagonal and zeros everywhere else.

41 Matrix operations Equality of matrices (Matrislerin eşitliği) If A and B are two matrices of the same size, then they are “equal” if each and every entry of one matrix equals the corresponding entry of the other.

42 Matrix operations Addition of two matrices (İki matrisin toplanması) If A and B are two matrices of the same size, then the sum of the matrices is a matrix C=A+B whose entries are the sums of the corresponding entries of A and B

43 Properties of matrix addition: 1.Matrix addition is commutative (order of addition does not matter) 2.Matrix addition is associative 3.Addition of the zero matrix Matrix operations Addition of of matrices Properties

44 Matrix operations Multiplication by a scalar If A is a matrix and c is a scalar, then the product cA is a matrix whose entries are obtained by multiplying each of the entries of A by c

45 Matrix operations Multiplication by a scalar (Bir skaler ile çarpım) If A is a matrix and c =-1 is a scalar, then the product (-1)A =-A is a matrix whose entries are obtained by multiplying each of the entries of A by -1 Special case

46 Matrix operations Subtraction (Çıkarma) If A and B are two square matrices of the same size, then A-B is defined as the sum A+(-1)B

47 Special operations Transpose (Devrik) If A is a mxn matrix, then the transpose of A is the nxm matrix whose first column is the first row of A, whose second column is the second column of A and so on.

48 Special operations Transpose (Devrik) If A is a square matrix (mxm), it is called symmetric if

49 Matrix operations Scalar (dot) product of two vectors İki vektörün skaler çarpımı If a and b are two vectors of the same size The scalar (dot) product of a and b is a scalar obtained by adding the products of corresponding entries of the two vectors

50 Matrix operations Matrix multiplication (Matris çarpımı) For a product to be defined, the number of columns of A must be equal to the number of rows of B. A B = AB m x r r x n m x n inside outside

51 If A is a mxr matrix and B is a rxn matrix, then the product C=AB is a mxn matrix whose entries are obtained as follows. The entry corresponding to row ‘i’ and column ‘j’ of C is the dot product of the vectors formed by the row ‘i’ of A and column ‘j’ of B Matrix operations Matrix multiplication (Matris çarpımı)

52 Properties of matrix multiplication: 1.Matrix multiplication is noncommutative (order of addition does matter)  It may be that the product AB exists but BA does not (e.g. in the previous example C=AB is a 3x2 matrix, but BA does not exist)  Even if the product exists, the products AB and BA are not generally the same Matrix operations Multiplication of matrices Properties

53 2. Matrix multiplication is associative 3. Distributive law 4. Multiplication by identity matrix 5. Multiplication by zero matrix 6. Matrix operations Multiplication of matrices (Matrislerin çarpımı) Özellikler

54 1.If A, B and C are square matrices of the same size, and then does not necessarily mean that 2. does not necessarily imply that either A or B is zero Matrix operations Miscellaneous properties

55 Inverse of a matrix (Bir matrisin tersi) Definition (Tanım) If A is any square matrix and B is another square matrix satisfying the conditions Then (a)The matrix A is called invertible, and (b) the matrix B is the inverse of A and is denoted as A -1. The inverse of a matrix is unique

56 Uniqueness (Teklik) The inverse of a matrix is unique Assume that B and C both are inverses of A Hence a matrix cannot have two or more inverses. Inverse of a matrix (Bir matrisin tersi)

57 Some properties Property 1: If A is any invertible square matrix the inverse of its inverse is the matrix A itself Property 2: If A is any invertible square matrix and k is any scalar then Inverse of a matrix (Bir matrisin tersi)

58 Properties Property 3: If A and B are invertible square matrices then Inverse of a matrix (Bir matrisin tersi)

59 The determinant of a square matrix is a number obtained in a specific manner from the matrix. For a 1x1 matrix: For a 2x2 matrix: What is a determinant? (Determinant nedir?) Product along red arrow minus product along blue arrow

60 Example Consider the matrix Notice (1) A matrix is an array of numbers (2) A matrix is enclosed by square brackets Notice (1) The determinant of a matrix is a number (2) The symbol for the determinant of a matrix is a pair of parallel lines Computation of larger matrices is more difficult

61 For ONLY a 3x3 matrix write down the first two columns after the third column Duplicate column method for 3x3 matrix Sum of products along red arrow minus sum of products along blue arrow This technique works only for 3x3 matrices

62 Example Sum of red terms = = 35 Sum of blue terms = 0 – = 0 Determinant of matrix A= det(A) = 35 – 0 = 35

63 Finding determinant using inspection Special case. If two rows or two columns are proportional (i.e. multiples of each other), then the determinant of the matrix is zero because rows 1 and 3 are proportional to each other If the determinant of a matrix is zero, it is called a singular matrix Eğer bir matrisin determinantı sıfır ise, o matrise tekil matris denir.

64 If A is a square matrix Cofactor method The minor, M ij, of entry a ij is the determinant of the submatrix that remains after the i th row and j th column are deleted from A. The cofactor of entry a ij is C ij =(-1) (i+j) M ij What is a cofactor?

65 Sign of cofactor What is a cofactor? Find the minor and cofactor of a 33 Minor Cofactor

66 Cofactor method of obtaining the determinant of a matrix Matrisin determinantının kofaktör yöntemiyle bulunması The determinant of a n x n matrix A can be computed by multiplying ALL the entries in ANY row (or column) by their cofactors and adding the resulting products. That is, for each and Cofactor expansion along the i th row Cofactor expansion along the j th column

67 By a cofactor along the third column Example : evaluate det(A)=a 13 C 13 +a 23 C 23 +a 33 C 33 det(A)= = det(A)= -3(-1-0)+2(-1) 5 (-1-15)+2(0-5)=25 det(A)= * (-1) *(-1) *(-1) 6

68 Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 1

69 Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 2

70 Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 3

71 Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 4

72 Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 5

73 Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 6

74 Finding Inverse of a 3x3 Matrix – Gauss Elimination Method

75 Quadratic form The scalar is known as a quadratic form If U>0: Matrix k is known as positive definite If U≥0: Matrix k is known as positive semidefinite

76 Quadratic form Let Then Symmetric matrix

77 Differentiation of quadratic form Differentiate U wrt d 2 Differentiate U wrt d 1

78 Hence Differentiation of quadratic form

79 79/75 Giriş Types of Finite Elements

80 80/75 Giriş Haftaya görüşürüz Haftaya QUIZ: Lineer Cebir Tekrarı (3x3 matrisin tersinin bulunması) Konu: YAY ELEMAN


"2013 Sonlu Elemanlar Yöntemi Ders Notları: Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi 1 Giriş." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları