Yrd. Doç. Dr. Erbil KAVCI KAFKAS ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ.

... konulu sunumlar: "Yrd. Doç. Dr. Erbil KAVCI KAFKAS ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ."— Sunum transkripti:

1 Yrd. Doç. Dr. Erbil KAVCI KAFKAS ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

2 Isı iletim denklemi Tek boyutlu ısı iletim denklemi
Genel ısı iletim denklemi Sınır ve başlangıç şartları Sürekli tek boyutlu ısı iletim prob. Çözümleri Bir katıda ısı üretimi Değişken ısıl iletkenlik

3 Isı ve sıcaklık birbiriyle yakından ilişkili olmasın rağmen, aslında farklıdır.
Sıcaklık skaler bir büyüklüktür Isı transferi vektörel bir büyüklüktür. Hem büyüklük hemde de yön belirtilmelidir. Koordinat sisteminde yönü (+) ve (-) işaretleriyle belirtilir. Isı transferinin itici gücü sıcaklık farkıdır.

4

5 Üç tane koordinat sistemi vardır
Kartezyen koordinat sistemi T(x,y,z,t) 2. Silindirik koordinat sistemi T(r, ɸ,z,t) 3. Küresel koordinat sistemi T(r, ɸ,Ɵ,t)

6

7 İletimle ısı transferi problemleri 3 şekilde ele alınabilir.
Sistem; 1) sürekli veya zamana bağlı olabilir 2) çok boyutlu ısı transferi olabilir 3) sistemde ısı üretimi olabilir.

8 Zamana bağlı Sürekli

9 Çok boyutlu ısı transferi
Isı transferi :bir boyutlu,İki boyutlu,Üç boyutlu olabilir. En genel haliyle ısı transferi üç yönde de olur. Bir yönde ki ısı transfer hızının büyüklüğü diğer yönlerdeki ısı transfer hızının yanında ihmal edilebilir. Isı transferi bir yada iki boyutlu olabilir.

10 Tek boyutlu ısı transferi
İki boyutlu ısı transferi

11 Bir ortamda (mesela x doğrulusunda)
ısı transfer hız, ortam içindeki sıcaklık farkı ve ısı doğrultusuna dik alan ile doğru, o doğrultudaki uzaklıkla ters orantılıdır. Isı azalan sıcaklık yönünde iletilir, ısı (+ x) yönünde iletlidiğinde, sıcaklık gradyanınegatiftir’dir

12 Genel ısı iletim denklemi
P noktasında: izotermal yüzey üzerindeki, ısı akısı vektörü, yüzeye dik ve azalan yönde n: P noktasında izotermal yüzeyin normali ise, bu noktada ısı iletim hızı Sıcaklık dağılımın üç boyutlu olduğu ortam

13 Kartezyen koordinatlarda, ısı iletim vektörü

14 Isı Üretimi Isı iletilen ortamda elektriksel, nükleer veya kimyasal enerjinin ısı enerjisine dönüşümleri olabilir. Isı üretimi hacimsel bir olgudur. Isı üretim hızı W/m3 veya Btu/h. Ft3 é: birim hacim başına üretilen enerji V hacimli ortamda toplam ısı üretim hızı É

15 Soru: 1200 W’lık saç kurutma makinasının direnç teli uzunluğu 80 cm ve çapı D=0.3 cm dir.
Buna göre; ?: telde birim hacim başına ısı üretim hızı ?: telin dış yüzeyindeki ısı akısı Çözüm: Kabuller: ısı direnç telinde uniform üretilmektedir.

16 Geniş bir düzlemde duvarda ısı iletimi

17 Düzlem duvar için A sabit olduğundan düzlem duvarda tek boyutlu zaman bağlı ısı iletim denklemi:
Değişken iletkenlik Sabit iletkenlik 1) Sürekli rejim 2) Zamana bağlı ısı üretimi yok 3) Sürekli rejim ısı üretimi yok

18 Uzun bir silindirde ısı iletim denklemi

19 A=2∏rL alanı r’ ye bağlı olduğundan konumla değişir
A=2∏rL alanı r’ ye bağlı olduğundan konumla değişir. Bu halde bir boyutlu ısı iletim denklemi Değişken iletkenlik Sabit iletkenlik

20 Sürekli rejim Zamana bağlı ısı üretimi yoK 3. Sürekli rejim ısı üretimi yok

21 Bir kürede ısı iletimi Değişken iletkenlik Sabit iletkenlik

22 Genel ısı iletim denklemi
x+∆x, y+ ∆y,z+ ∆z Isı iletim hızı x,y,z noktalarındaki Isı iletim hızı Hacim elemanı içindeki ısı üretim hızı Hacim elemanında Enerji değişimi

23 Sabit iletkenlik durumundaki denklem
Sürekli rejim Zamana bağlı, ısı üretimi yok Sürekli rejim, ısı üretimi yok

24 Silindirik koordinatlar

25 Küresel koordinatlar

26 Sınır ve başlangıç şartları
Tanımlı sıcaklık sınır şartı Tanımlı ısı akısı sınır şartı Taşınım sınır şartı Işınım sınır şartı Ara yüzey sınır şartı Genelleştirilmiş sınır şartları

27 Tanımlı Sıcaklık Sınır Şartı
L kalınlıklı bir düzlem duvarda Tek boyutlu ısı iletim için Tanımlı sıcaklık şartları T(0,t)=T1 T(L,t)=T2 Tanımlı sıcaklıklar sürekli rejimlerindeki gibi sabit olabilir, yada zamana göre değişebilir.

28 Tanımlı Isı Akısı Şartı
Sınırlar dahil olmak üzere ortamın herhangi bir yerinde (+ x) yönünde ısı akısı Fourier ısı iletim kanunu: Isı akısı eksenin pozitif yönünde ise pozitif, Zıt yönde ise negatif olur.

29 İki özel durum Yalıtımlı sınır Isıl Simetri

30 Taşınım sınır şartı Seçilen bir doğrultuda
Yüzeyde ısı iletimi Aynı doğrultuda yüzeyde ısı üretimi =

31 Işınım sınır şartı Yüzeydeki ısı iletimi Yüzeydeki ışınım değişimi =

32 Ara yüzey Sınır Şartı İki cismin temas ettiği yüzeyde sıcaklıklar aynıdır Bir ara yüzey enerji depolayamaz bu yüzden ısı akısı her iki tarafta da aynı olmalıdır.

33 Genelleştirilmiş Sınır Şartları
Genel olarak bir yüzey aynı anda taşınım, ışınım ve tanımlı ısı akısı içerebilir. Böyle durumlarda sınır şartları yüzeylerdeki enerji balansından elde edilir. (Yüzeye olan her tür ısı transferi) = (yüzeyden olan her tür ısı transferi)

34 Sürekli tek boyutlu ısı iletim problemlerinin çözümü
Isı transferi problemi Matematiksel formülasyon ( Diferansiyel denklemler ve sınır şartları) Diferansiyel denklemin genel çözümü Sınır şartlarının uygulanması Problemin çözümü

35 Bir düzlem duvarda ısı iletimi
k=1.2 W/m oC yüzey,A=15 m2 L=0.2 m T1=120 oC, T2 =50 oC A) Duvar içindeki sıcaklık dağılımı ve x=0.1 m deki duvar sıcaklığı B) sürekli şartlarda duvar içindeki ısı iletim hızı

36

37

38

39 B şıkkı

40 Farklı sınır şartlarının olduğu bir duvar
Sabit iletkenliği k olan ve içinde ısı üretimi olmayan L kalınlıklı geniş bir düzlem duvarda sürekli tek boyutlu ısı iletimini göz önüne alınız. Aşağıdaki herbir sınır şartı çifti için duvar içindeki sıcaklığın değişimi için ifadeler elde ediniz.

41

42 İki sınır şartı aynı sınırda tanımlanabilir
Farklı konumlarda olması gerekmez

43 C1 sabiti aynı anda iki farklı değere eşit olmayacağından çözüm yoktur.
Duvara her iki yandan ısı verilirken duvarda sıcaklığın sürekli kalmasını Beklemek yanlı olur.( sistem karalı)

44 C1 için aynı sonucu verede c2 için vermez ifade özgün bir çözüm vermez

45 L= 0.5 m A=300 cm2 k= 15 W/m oC olan W lık bir ütünün taban plakasını dikkate alalım.ütünün dış yüzeyi 20 oC ve çevreye taşınımla ısı kaybetmektedir. h= 80 W/m2 Işınımla ısı kaybını ihmal ederek sıcaklık değişimi için bir ifade elde ediniz ve iç ve dış yüzeylerdeki sıcaklıkları bulunuz.

46 Kabuller Sistem kararlı Taban alını kalınlığın göre büyük O halde ısı transfer tek boyutlu Isıl iletkenlik k sabit Isı üretimi yok Işınım ihmal Üst kısım yalıtılmış olduğundan ısının Tamamı yüzeyden plaka tabanına aktarılmaktadır.

47

48

49

50 Güneş enerjisi ile ısıtılmış bir duvarda ısı iletimi
Uzayda L = 0.06 m k= 1.2 W/m oC , geniş bir düzlem duvar ele alalım. ε= 0.85 α=0.26 olan beyaz bir porselenle kaplanmıştır. Duvarın dış yüzeyi 800 W / m2 güneş ışınımına açık iken, iç yüzeyi T1= 300 K’ de sabit tutulmaktadır. Dış yüzey 0’ K deki derin uzaya ışınımla ısı kaybetmektedir. Sürekli şartlarda duvarın dış yüzey sıcaklığını ve duvardan transfer olan ısı transfer hızını bulunuz. Eğer yüzeye güneş ışınımı gelmeseydi cevap ne olurdu?

51 Kabuller : 1 sistem kararlı 2 kalınlığa göre duvar daha büyük o halde ısı transferi tek boyutlu 3 k sabit 4 ısı üretimi yok

52

53

54

55 Bir buhar borusundan ısı kaybı
L= 20 m r1= 6 cm r2=8 cm k= 20 W/m oC bir boru göz önüne alalım. Borunun iç yüzeyi T1=150 oC dış yüzeyi T2= 60 oC ortalama sıcaklıkta sabit tutulmaktadır. Sürekli şartlarda sıcaklık dağılımını veren bir genel bağıntı bulunuz ve borunun içindeki buhardan ısı kaybını bulunuz.

56 kabuller sistem kararlı
Isıl simetri olduğundan ve eksenel doğrultuda değişim olmadığı için ısı transferi tek boyutlu k sabit Isı üretimi yok

57

58

59 Küresel bir kabukta ısı iletimi
r1= 8 cm r2= 10 cm k= 45 küresel tank göz önüne alalım. Küre içinde oluşan kimyasal reaksiyonlar sonucu iç ve dış yüzey sıcaklıkları T1= 200 oC ve T2= 80 oC de sabit tutulmaktadır. Sürekli şartlarda kabuğun içindeki sıcaklık dağılımı için genel bir ifade bulunuz ve ısı kayıp hızını bulunuz.

60

61

62

63 Bir katıda ısı üretimi

64 Katıdan ısı trns. hızı=katıdaki en. ürt hızı
Yüzey sıcaklığı Ts Maksimum sıcaklık Tmax Sürekli şartlarda katı için enerji dengesi Katıdan ısı trns. hızı=katıdaki en. ürt hızı

65 Katıdaki ısı üretimi Newton’nun soğutma kanunu İki eşitlik birleştirilirse

66 2L kalınlıklı duvar için As=2Aduvar V=2LA
r0 yarıçaplı uzun bir silindir için As=2r0πL V= πr02L r0 yarıçaplı bir küre için As=4/3 πr02, V=4/3 πr03

67 Bir katıda ısı üretimi silindirin merkezindeki maksimum sıcaklık
Silindirin içinde üretilen ısı, silindirin dış yüzeyinden iletilen ısıya eşit olmalıdır

68 T(0)=T0 r=r0 ve T(r0)=Ts , r=r0 integre edilirse

69

70 Bir ısıtıcı dirençteki sıcaklık değişimi
Şekildeki gibi k=13.5 W/m oC r0=0.5 cm bir direnç teli elektrik akımıyla suyu kaynatmaktadır. Telde üretilen enerji 4.3x107 W/m3 dür. Sistem kararlı hale geldiği zaman yüzey sıcaklığı 108 oC olarak ölçülüyorsa sıcaklık dağılımını ifade eden bir bağıntı elde ediniz ve telin eksen sıcaklığını hesaplayınız.

71 108 oC

72

73 r=ro ve T=Ts yazılırsa Telin eksendeki sıcaklığı r= 0

74 İki tabakalı bir ortamda ısı iletimi
ktel= 15 W/m oC r1=0.2 cm olan bir direnç teli 50 W/cm3 hızla sabit bir ısı üretimine sahiptir. Tel k=1.2 W/m oC olan 0.5 kalınlıklı seramik tabaka içine yerleştirilmiştir. Eğer seramik tabakanın dış yüzeyi Ts=45 oC olarak ölçülüyorsa sürekli şartlarda telin merkezindeki ve seramik tabak ile telin arayüzeyindeki sıcaklıkları hesaplayınız.

75 Kabuller Sistem kararlı Isı transferi tek boyutlu r yönünde Isıl iletkenlik sabit Teldeki ısı üretimi üniform

76

77

78