Veri Madenciliği Kümeleme Analizi: Temel Tanımlar ve Algoritmalar

... konulu sunumlar: "Veri Madenciliği Kümeleme Analizi: Temel Tanımlar ve Algoritmalar"— Sunum transkripti:

1 Veri Madenciliği Kümeleme Analizi: Temel Tanımlar ve Algoritmalar
Bölüm 8 için Ders Notları Introduction to Data Mining Tan, Steinbach, Kumar Çeviren Yrd. Doç. Dr. Mete Çelik 10/30/ Introduction to Data Mining

2 Kümeleme Analizi Nedir?
Bir grup içerindeki nesneler birbirlerine benzer ve diğer gruplardaki nesnelerden farklı olacak şekilde nesnelerin gruplarının bulunmasıdır. Küme-arası mesafeler maksimize edilecek Küme-içi mesafeler minimize edilecek

3 Kümeleme Analizinin Uygulamaları
Anlama Tarama için ilişkili belgelerin gruplandırılması Benzer işlevi olak genlerin ve proteinlerin gruplandırılması Benzer fiyat dalgalanmalarına sahip hisselerin gruplandırılması Özetleme Büyük veri kümelerinin boyutlarıın azaltılması Avustralyadaki yağışın kümelenmesi

4 Kümeleme Analizi Ne Değildir?
Basit Parçalama (Segmentasyon) Öğrencileri soyisimlerine göre alfabetik olarak farklı gruplara gölme Bir sorgu sonucu Gruplama dışarıdan tanımlamalara göre yapılır. Kümeleme veriye bağlı olarak nesnelerin gruplara ayrılmasıdır. Danışmanlı Sınıflandırma Sınıf etiket bilgisinin olması durumu Birliktelik Analizi Yerel – küresel bağlantılar

5 Küme Kavramı Belirsiz Olabilir
Kaç küme var? Altı Küme İki Küme Dört Küme

6 Kümeleme Tipleri Kümeleme kümelerin bir kümesidir
Hiyerarşik ve bölümlemeli kümeler arasındaki önemli fark Bölümlemeli Kümeleme Herbir veri nesnesinin sadece bir altkümede yer almasını sağlayacak şekilde üstüste gelmeyen altkümeler halinde verinin bölünmesidir. Hiyerarşik Kümeleme Bir hiyerarşık ağaç olarak organize edilen iç içe olan küme yapılarıdır

7 Bölümlemeli Kümeleme Bölümlemeli Kümeleme Orjinal Noktalar

8 Hiyerarşik Kümeleme Geleneksel Hiyerarşik Kümeleme
Geleneksel Dendrogram Geleneksel olmayan Hüherarşik Kümeleme Geleneksel olmayan Dendrogram

9 Küme Takımları Arasındaki Diğer Farklar
Mühnasır - münhasır olmama (Exclusive versus non- exclusive) Münhasır olmayan kümelemede, noktalar birden fazla kümeye ait olabilir. Birden fazla kümeyi veya “sınır” noktasını gösterebilir Bulanık – Bulanık olmayan (Fuzzy versus non-fuzzy) Bulanık kümelemede, bir nokta, 0 ve 1 arasındaki ağırlık değerleri ile her sınıfa ait olur. Ağırlıklar toplamı 1 olmalıdır Olasılıklı kümelemede de benzer karakteristik vardır. Kısmı – tam (Partial versus complete) Bazı durumlarda, sadece verinin bir kısmını kümelemek isteriz Heterojen – Homojen (Heterogeneous versus homogeneous) Çok faklı boyutlarda, şekillerde ve yoğunluklarda olan kümeler

10 Küme Tipleri İyi-ayrılmış kümeler Merkez-tabanlı kümeler
Sürekli kümeler Yoğunluk-tabanlı kümeler Özellik veya Kavramsal Amaç fonksiyonu ile tanımlanmış

11 Küme Tipleri: İyi-Ayrılmış
İyi-Ayrılmış Kümeler: Bir küme noktalar kümesidir (grubudur), öyleki, bir kümedeki herhangi bir nokta kümede bulunan diğer noktalara, kümede olmayan noktalardan, daha yakındır (daha benzerdir). 3 iyi-ayrılmış küme

12 Küme Tipleri: Merkez-Tabanlı
Bir küme nesneler kümesidir (grubudur), öyleki, bir kümedeki bir nesne bulunduğu kümenin merkezine, diğer kümelerin merkezlerinden, daha yakındır (daha benzerdir). Bir kümenin merkezi genellikle ağırlık merkezi (centroid), kümedeki tüm noktalarının ortalaması, ya da bir kümenin en "temsilcisi" noktasıdır olan bir medoid olabilir. 4 merkez-tabanlı küme

13 Küme Tipleri: Süreklilik-Tabanlı
Sürekli Kümeler (En Yakın Komşu veya Geşişli) Bir küme noktalar kümesidir (grubudur), öyleki, bir kümedeki bir nokta bulunduğu kümedeki bir veya birden fazla noktaya bulunduğu küme içinde olmayan diğer noktalardan daha yakındır (daha benzerdir). 8 contiguous clusters

14 Küme Tipleri: Yoğunluk-tabanlı
Bir küme, yüksek yoğunluğa sahip diğer bölgelerden düşük yoğunluklu bölgeler ile ayrılan, noktaların oluşturduğu yoğun bir bölgesidir Kümeler düzensiz veya sarılmış olduğu durumlarda veya gürüldü ve anomalinin olduğu durumlarda kullanılır. 6 yoğunluk-tabanlı küme

15 Küme Tipleri: Kavramsal Kümeler
Paylaşımlı Özellik veya Kavramsal Kümeler Aynı özellikleri paylaşan kümeleri veya belirli bir kavramı temsil eden kümeleri bul.. 2 üstüste kesişen küme

16 Küme Tipleri: Amaç Fonksiyonu
Kümeler bir Amaç Fonksiyonu ile Tanımlanır Bir amaç fonksiyonu minimize veya maksimize eden kümeleri bul. Noktaları kümelere ayıran bütün muhtamal yolları ortaya koy ve verilen amaç fonksiyonunu kullanarak herbir potansiyel küme grubunun “iyiliğini” değerlendir (NP Zor – NP Hard) Küresel ve yerel amaçlar olabilir. Hiyerarşık kümeleme algoritmaları tipik olarak yerel amaçlara sahiptir. Bölümlemeli algoritmalar tipik olarak küresel amaçlara sahiptir. Küresel amaç fonksiyonu yaklaşımının bir varyasyonu, veriyi parametreli bir modele uygulanmasıdır. Model için parametreler veriden belirlenebilir. Karışık (mixture) modeller, verinin birkaç istatistiksel modelin karışımından oluştuğunu varsayarlar

17 Kümeleme Probleminin Faklı Bir Probleme Benzetilmesi
Kümeleme problemini farklı bir alana uyarla ve bu alandaki ilgili problemi çöz Yakınlık matrisi, düğümlerin noktalar olduğu ve noktalar arasındaki uzaklıkların da ağırlıklandırılmış kenarlar olduğu bir ağırlıklandırılmış graf tanımlar. Kümeleme, grafı, herbiri bir küme olan bağlantılı bileşenlerine bölme işlemine eşittir. Kümeler arasındaki kenar ağırlıklarının minimize edilmesi ve kümeler içindeki kenar ağırlıklarının maksimize edilmesi amaçlanmaktadır.

18 Giriş Verisinin Karakteristiği Önemlidir
Yakınlığın veya yoğunluk ölçütünün tipi Kümeleme merkez Seyreklik Benzerlik tipini belirler Verime (etkililiğe ) katkılar Özellik tipi Veri tipi Diğer karakteristikler, otokorelasyon gibi Boyutluluk Gürültü ve anomali Dağılım tipi

19 Kümeleme Algoritmaları
K-ortalamalar ve Türevleri Hiyerarşik Kümeleme Yoğunluk-tabanlı Kümeleme

20 K-ortalamalar Kümeleme
Bölümlemeli kümeleme yaklaşımı Küme sayısı K, verilmelidir Herbir küme bir ağırlık merkezine bağlıdır (centroid – merkez nokta) Herbir nokta en yakın ağırlık merkezine atanır Temel algoritma oldukça basittir.

21 K-ortalamalar Kümeleme Örneği

22 K-ortalamalar Kümeleme Örneği

23 K-Ortalamalar Kümeleme - Detaylar
İlk ağırlık merkezleri genellikle random olarak atanır. Her çalışmada üretilen kümeler değişir. Ağırlık merkezi genellikle kümedeki noktaların ortalamalarından oluşur. “Yakınlık” öklit mesafesi, kosinüs benzerliği, korelasyon gibi ölçütlerle ölçülür. K-ortalamalar yukarıda bahsedilen yaygın benzerlik ölçütleri için yakınsayacaktır. Yakınsama genellikle ilk birkaç iterasyondan sonra biter. Durdurma kriteri genellikle “ Göreceli olarak kümeler değişmeyene kadar” şeklindedir. Karmaşıklık O( n * K * I * d ) n = nokta sayısı, K = küme sayısı, I = iterasyon sayısı, d = özellik sayısı

24 K-Ortalamalar Kümelerin Değerlendirilmesi
En yaygın ölçüt Hataların Karelerinin Toplamıdır (Sum of Squared Error (SSE)) Heribr nokta için, hata en yakın kümeye olan uzaklıktır. SSE’yi hesaplamak için bu hataların kareleri toplanır. x, Ci kümesi içerisindeki veri noktası ve mi , Ci kümesi için temsili noktadır. mi küme merkezine ortalamasına) denk gelir Verilen iki küme için, en küçük hatası olan tercih edilir. SSE’yi azaltmanın en kolay yollarından birisi, K’yı, küme sayısını, arttırmaktır.

25 İki Farklı K-ortalamalar Kümeleme
Orjinal Noktalar İdeal Kümeleme Vasat Kümeleme

26 K-ortalamaların Eksiklikleri
K-ortalamaların kümelerin aşağıdaki farklılıklarından dolayı bazı problemleri vardır. Boyut Yoğunluk Küresel (yuvarlak)- olmayan şekiller Veri anormal veri içerirse K-ortalamalar algoritmasında problem oluşur.

27 K-ortalamaların Eksiklikleri: Farklı Boyutlar
Orjinal Noktalar K-ortalamalar (3 Küme)

28 K-ortalamaların Eksiklikleri: Farklı Yoğunluk
Orjinal Noktalar K-ortalamalar (3 Küme)

29 K-ortalamaların Eksiklikleri: Küresel-olmayan Şekiller
Orjinal Noktalar K-ortalamalar (2 Küme)

30 K-ortalamaların Eksikliklerinin Giderimi
Orjinal Noktalar K-ortalamalar Kümeleri Çok fazla sayıda küme kullanmak çözümlerden birisidir. Kümelerin parçaları bulunur, fakat bir araya konulmaları gerekir.

31 K-ortalamaların Eksikliklerinin Giderimi
Orjinal Noktalar K-ortalamalar Kümeleri

32 K-ortalamaların Eksikliklerinin Giderimi
Orjinal Noktalar K-ortalamalar Kümeleri

33 İlk Ağırlık Merkezlerinin Seçiminin Önemi

34 İlk Ağırlık Merkezlerinin Seçiminin Önemi

35 İlk Ağırlık Merkezlerinin Seçiminin Önemi…

36 İlk Ağırlık Merkezlerinin Seçiminin Önemi…

37 İlk Ağırlık Merkezlerinin)Seçimi ile İlgili Sorunlar
Eğer ‘K’ adet gerçek küme varsa her kümeden birinin ağırlık merkezini seçme şansı azdır. K büyük olduğu zaman şans göreceli olarak küçüktür. Eğer kümeler aynı boyutta, n, ise Örnek olarak, Eğer K = 10, ise, ihtimal= 10!/1010 = Bazen, ilk ağırlık merkezleri kendi kendilerini doğru yönde ayarlayacaktır ve bazen ise ayarlayamayacaktır. Beş çift kümeyi örnek olarak alırsak

38 10 Küme Örneği Her çift küme için iki tane ilk ağırlık merkezinin atanması ile başlandığında

39 10 Küme Örneği Her çift küme için iki tane ilk ağırlık merkezinin atanması ile başlandığında

40 10 Küme Örneği Bazı çift kümeler için üç tane ve diğerleri için bir tane ilk ağırlık merkezinin atanması ile başlandığında

41 10 Küme Örneği Bazı çift kümeler için üç tane ve diğerleri için bir tane ilk ağırlık merkezinin atanması ile başlandığında

42 İlk Ağırlık Merkezi Problemi için Çözümler
Birden fazla çalıştırma (koşma) Yardımcı olur, fakat muhtemelen pek istenmez Örnekle ve ilk ağırlık merkezlerini belirlemek için hiyerarşik kümeleme kullan K‘dan fazla ilk ağırlık merkezi seç ve bunların arasından ilk ağırlık merkezlerini seç En yaygın olarak ayrılmışlar seçilebilir. Son-işleme İkiye Bölmeli (Bisecting) K-ortalamalar İlklendirme konularında çok duyarlı değil

43 Boş Kümeler K-ortalamalar ile boş kümeler oluşturabilir. Boş Küme

44 Boş Kümeleri Gidermek Temel K-ortalamalar algoritması boş kümeler oluşturabilir. Stratejilerden bazıları SSE’ye en çok katkı veren noktayı seç En yüksek SSE’si olan kümeden bir nokta seç Eğer birkaç tane boş küme varsa yukarıdakiler birkaç kez tekrarlanabilir.

45 Merkezleri Artırımlı olarak Güncelleme
Temel K-ortalamalar algoritmasında, bütün noktalar merkezlere atandıkdan sonra merkezler güncellenir. Diğer bir yol ise herbir atamadan sonra merkezi güncellemektir (artırımlı yaklaşım) Herbir atama sıfır veya iki merkezi günceller Daha maliyetli Sıraya bağımlıdır Boş küme asla oluşturmaz Etkiyi değiştirmek için ‘ağırlıklar’ kullanabilir

46 Ön-işleme ve Son-işleme
Veriyi normalize et Gürültü/Aykırılıkları temizle So-işleme Aykırılıkları/anormallikleri gösterebilecek küçük kümeleri ele Gevşek kümeleri ayır. Gevşek kümelere örnek olarak yüksek SSE’si olan kümeler verilebilir. Yakın kümeleri ve düşük SSE’si olan kümeleri birleştir Bu adımlar kümeleme işlemi sırasında kullanılabilir. ISODATA

47 İkiye Bölmeli (Bisecting) K-ortalamalar
İkiye Bölmeli K-ortalamalar algoritması Bir bölümlemeli veya hiyerarşik kümeleme üretebilecek bir K-ortalamalar algoritması türevidir.

48 İkiye Bölmeli (Bisecting) K-ortalamalar Örneği

49 Hiyerarşik Kümeleme Hiyerarşik ağaç şeklinde organize edilmiş iç içe kümeler üretir. Dendrogram olarak görselleştirilebilir. Birleşme veya ayrılma sıralarını kaydeden ağaç benzeri diyagrama denir.

50 Hiyerarşik Kümelemenin Güçlü Yanları
Küme sayısının belirlenmesine gerek yoktur Uygun bir seviyeden dendrogramı keserek istenilen sayıda küme bulunabilir Anlamlı taksonomilere karşılık gelebilir Biyolojik bilimlerdekiler örnek verilebilir (örnek, hayvanlar alemi, filogeni rekonstrüksiyon, …)

51 Hiyerarşik Kümeleme Hiyerarşik kümelemenin iki ana çeşidi vardır
Aglomeratif (Agglomerative): Herbir nokta küme kabul edilerek başlanır Herbir adımda, en sonda tek küme (veya k küme) kalacak şekilde en yakın küme çiflerini birleştir Bölücü (Divisive): Tek küme ile başla Herbir adımda, herbir kümede tek nokta kalana kadar (veya k küme kalana kadar) kümeyi böl. Geleneksel hiyerarşik algoritmalar benzerlik veya uzaklık matrisi kullanırlar. Her adımda bir küme birleştir veya böl

52 Aglomeratif Kümeleme Algoritması
En pobüler hiyerarşik kümeleme tekniğidir. Temel algoritma basittir Yakınlık matrisini hesapla Herbir noktayı bir küme olarak alcluster Repeat En yakın iki kümeyi birleştir Yakınlık matrisini güncelle Until tek küme kalana kadar İki kümenin yakınlığını hesaplamak önemli işlemdir. Kümeler arasındaki mesafeyi tanımlamada kullanılan farklı yaklaşımlar algoritmaları birbirlerinden ayırır

53 Başlangıç Durumu Herbir noktanın kendi kümesi ile ve yakınlık matrisi ile başla p1 p3 p5 p4 p2 . . . . Yakınlık Matrisi

54 Ara Durum Birkaç birleştirme adımından sonra, bazı kümeler oluşur
C2 C1 C3 C5 C4 C3 C4 Yakınlık Matrisi C1 C5 C2

55 Ara Durum İki en yakın kümeyi (C2 ve C5) birleştirmek ve yakınlık matrisini güncellemek istiyoruz. C2 C1 C3 C5 C4 C3 C4 Yakınlık Matrisi C1 C5 C2

56 Birleştirmeden Sonra Soru “Yakınlık matrisinin nasıl güncelleneceğidir?” C2 U C5 C1 C3 C4 C1 ? ? ? ? ? C2 U C5 C3 C3 ? C4 ? C4 Yakınlık Matrisi C1 C2 U C5

57 Küme-arası Mesafe Nasıl Tanımlanır
p1 p3 p5 p4 p2 . . . . Benzerlik? MİN MAX Grup Ortalama Ağırlık Merkezleri Arasındaki Mesafe Bir amaç fonksiyonu oluşturulan yöntemler Ward’s Metodu karesi alınmış hatayı kullanır Yakınlık Matrisi

58 Küme-arası Benzerlik Nasıl Tanımlanır
p1 p3 p5 p4 p2 . . . . MİN MAX Grup Ortalama Ağırlık Merkezleri Arasındaki Mesafe Bir amaç fonksiyonu oluşturulan yöntemler Ward’s Metodu karesi alınmış hatayı kullanır Yakınlık Matrisi

59 Küme-arası Benzerlik Nasıl Tanımlanır
p1 p3 p5 p4 p2 . . . . MİN MAX Grup Ortalama Ağırlık Merkezleri Arasındaki Mesafe Bir amaç fonksiyonu oluşturulan yöntemler Ward’s Metodu karesi alınmış hatayı kullanır Yakınlık Matrisi

60 Küme-arası Benzerlik Nasıl Tanımlanır
p1 p3 p5 p4 p2 . . . . MİN MAX Group Average Ağırlık Merkezleri Arasındaki Mesafe Bir amaç fonksiyonu oluşturulan yöntemler Ward’s Metodu karesi alınmış hatayı kullanır Yakınlık Matrisi

61 Küme-arası Benzerlik Nasıl Tanımlanır
p1 p3 p5 p4 p2 . . . .   MIN MAX Grup Ortalama Ağırlık Merkezleri Arasındaki Mesafe Bir amaç fonksiyonu oluşturulan yöntemler Ward’s Metodu karesi alınmış hatayı kullanır Yakınlık Matrisi

62 MİN veya Tek Bağlantı İki kümenin yakınlığı farklı kümelerdeki iki en yakın noktaya bağlıdır. Bir çift nokta ile belirlenir, örnek olarak, yakınlık grafındaki bir bağlantı ile belirlenir Örnek: Yakınlık Matrisi

63 Hiyerarşik Kümeleme: MİN
5 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 İçiçe kümeler Dendrogram

64 MİN’in Güçlü Yanları Orjinal Noktalar Altı Küme
Dairesel-olmayan kümeleri tespit edebilir

65 MİN’in Eksiklikleri İki Küme Orjinal Noktalar
Gürültü ve aykırılara çok duyarlı Üç Küme

66 İki kümenin yakınlığı farklı kümelerdeki iki en uzak noktaya bağlıdır.
MAX veya Tam Bağlantı İki kümenin yakınlığı farklı kümelerdeki iki en uzak noktaya bağlıdır. İki kümedeki bütün nokta çiftleri tarafından belirlenir Distance Matrix:

67 Hiyerarşik Kümeleme: MAX
5 4 1 2 3 4 5 6 2 3 1 İçiçe Kümeler Dendrogram

68 MAX’ın Güçlü Yanları Orjinal Noktalar İki Küme
Gürültü ve aykırılara karşı daha az duyarlı

69 MAX’ın Eksiklikleri Orjinal Noktalar İki Küme
Büyük kümeleri bölmeye meyleder Dairesel kümeler bulur

70 Grup Ortalama İki kümenin yakınlığı iki kümedeki noktaların ikili yakınlıklarının ortalamasıdır Ölçeklenebilirlik için ortalama bağlılık kullanması gerekir çünkü toplam yakınlık büyük kümelere meyleder. large clusters Yakınlık Matrisi

71 Hiyerarşik Kümeleme: Grup Ortalaması
5 4 1 2 3 4 5 6 2 3 1 İçiçe Kümeler Dendrogram

72 Hiyerarşik Kümeleme: Grup Ortalama
Tek ve Tam Bağlantının arasında bir algoritmadır. İyi yaklaşımın eksikliklerini karşılar. Güçlü Yönleri Gürültü ve aykırılara karşı daha az duyarlı Eksiklikler Dairesel kümeler bulmaya çalışır

73 Küme Benzerliği : Ward Metodur
İki kümenin benzerliği iki küme birleştirildiği zaman karesi alınmış hatadaki artışa bağlıdır Noktalar arasındaki mesave mesafelerin karesi olsaydı grup ortalamaya benzerdir. Gürültü ve aykırılara karşı daha az duyarlı Dairesel kümeler bulmaya çalışır K-ortalamaların hiyerarşik analogue K-ortalamaları ilklendirmek için kullanılabilir

74 Hiyerarşik Kümeleme: Karşılaştırma
5 5 1 2 3 4 5 6 4 4 1 2 3 4 5 6 3 2 2 1 MİN MAX 3 1 5 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4 4 2 2 Ward Metodu 3 3 1 Grup Ortalama 1

75 Hiyerarşik Kümeleme: Zaman ve Alan İhtiyacı
O(N2) alan gerekir çünkü yakınlık matrisi kullanılmaktadır. N nokta sayısını gösterir. O(N3) zaman gerekir çoğu durumda N tane adım vardır ve herbir adımda boyutu, N2, olan yakınlık matrisi güncellenmeli ve sorgulanmalıdır. Karmaşıklık zeki yaklaşımlarla O(N2 log(N) ) zamana indirgenebilir.

76 Hiyerarşık Kümeleme: Problemler ve Eksiklikler
İki kümenin birleştirilmesine karar verildikten sonra geri al yapılamaz. Herhangi bir amaç fonksiyonu doğrudan minimize edilmez. Aşağıdakilerin biri veya birkaçı için farklı durumlarda problem oluşabilir: Gürültü ve aykırılıklara duyarlıdır. Farklı boyutlardaki kümelerde ve konveks şekilli kümelerda zorluk yaşar. Büyük kümeleri bölebilir

77 DBSCAN yoğunluk-tabanlı algoritmadır.
Yoğunluk = Verilen bir yarıçap (Eps) içerisinde olan nokta sayısıdır Eğer bir noktanın Eps yarıçapında verilen minimum nokta sayısından (MinPts) daha fazla nokta varsa o noktaya merkez nokta denir. Bu noktalar kümenin iç bölgelerinde bulunan noktalardır. Eğer bir noktanın Eps yarıçapında verilen minimum nokta sayısından (MinPts) daha az nokta varsa ve o nokta bir merkez noktanın komşuluğunda ise noktaya sınır nokta denir. Ne merkez nokta ne de sınır nokta olan noktaya gürültü nokta denir.

78 DBSCAN: Merkez (Core), Sınır (Border) ve Gürültü (Noise) Noktalar

79 DBSCAN Algoritması Gürültü noktaları elimine et.
Kalan noktalar üzerinde kümelemeyi çalıştır.

80 DBSCAN: Merkez, Sınır ve Gürültü Noktaları
Orjinal Noktalar Nokta tipleri: merkez, sınır ve gürültü Eps = 10, MinPts = 4

81 DBSCAN iyi çalıştığı zaman
Kümeler Orjinal Noktalar Gürültüye dirençlü Farklı şekil ve boyutlardaki kümeleri bulabilir.

82 DBSCAN iyi çalışmadığı zaman
(MinPts=4, Eps=9.75). Orjinal Noktalar Değişen yoğunluklar Yüksek-boyutlu veri (MinPts=4, Eps=9.92)

83 DBSCAN: EPS ve MinPts’yi Belirleme
Fikir odur ki bür küme içerisindeki noktaların kıncı en yakın komşusu kabaca aynı mesafededir. Gürültü noktaları daha uzak yerlerde kıncı en yakın komşu noktaya sahiptir. Bu nedenle, herbir nokta için kıncı en yakın komşularını sıralanmış bir şekilde çizdir.