ANALİTİK YÖNTEM VALİDASYONU 5.ders

... konulu sunumlar: "ANALİTİK YÖNTEM VALİDASYONU 5.ders"— Sunum transkripti:

1 ANALİTİK YÖNTEM VALİDASYONU 5.ders

2 Hipotez testinde istatistiğin kullanılması
Birçok bilimsel ve mühendislik çalışması, hipotez testine dayanır. Bu yüzden bir gözlemi açıklamak için, hipotetik bir model geliştirilir ve onun geçerliliği deneysel olarak kontrol edilir. Bu deneylerden elde edilen sonuçlar modeli desteklemezse, modeli kabul etmeyiz ve yeni bir hipotez ararız. Hipotez yeterli deneysel veri ile desteklenirse, onu desteklemeyen veriler elde edilinceye kadar, faydalı bir teori olarak kabul edilir. Deneysel sonuçlar, teorik modelden tahmin edilen sonuçlar ile nadiren tam olarak çakışır. Bilim adamları ve mühendisler, genellikle olası sayısal bir farkın, bütün ölçümlerde kaçınılmaz olarak var olan basit bir rastgele hatadan mı, yoksa ölçme işlemindeki sistematik bir hatadan mı kaynaklandığına karar vermelidirler. Bu kararları kesinleştirirken, bazı istatistiki testlerden yararlanılır. Bu tür testler, karşılaştırılan sayısal büyüklüklerin gerçekte aynı olduğunu kabul eden null hipotezini (sıfır hipotezi) kullanır. Böylece, gözlenen farkların rastgele hatalardan kaynaklanmış olma olasılığı, istatistiki teoriden hesaplanır. Genellikle, %5 olasılık seviyesi (anlamlılık seviyesi) için gözlenen fark, istatistikten (mevcut tablolardan) bulunan farktan daha büyük veya eşitse, null hipotezi şüpheli olarak düşünülür, reddedilir ve farkın anlamlı olduğuna karar verilir. Karar vermede istenen kesinliğe (belirsizliğe) bağlı olarak, %1 veya %0,1 gibi diğer anlamlılık seviyeleri de kullanılabilir.

3 Anlamlılık seviyesi, bir sonucun GS dışında yer alması olasılığıdır ve % yerine bir kesir olarak verilirse, α sembolü ile gösterilir. GS ile α arasında GS= (1- α).%100 bağıntısı geçerlidir. Kimyacıların çoğunlukla kullandıkları test türleri; Bir analizin ortalaması ile gerçek değer olduğuna inanılan μ değerini, Bir veri takımından elde edilen ortalama ile önceden konmuş bir eşik değerini (kabul-red sınırı), İki veya daha çok veri takımından elde edilmiş ortalamalar veya standart sapmaları karşılaştırmak için uygulanır.

4 Karşılaştırma Testleri
Bilinen Değer İle Deneysel Ortalamanın Karşılaştırılması: Bir veri takımının ortalamasının bilinen bir değerle karşılaştırmasını gerektiren çeşitli durumlar söz konusu olabilir. Bazı durumlarda, bilinen değer, doğru değer veya daha önceki bilgiler veya deneyimler sebebiyle kabul edilen bir değerdir. Bir başka durumda, bilinen değer, bir teoriden tahmin edilmiş bir değer olabileceği gibi, bir bileşenin varlığı veya yokluğu konusunda karar vermemizi sağlayan bir eşik değer de olabilir. Bütün bu durumlarda, popülasyon ortalaması μ ve bu değerin bilinen değere yakınlığı (yani μ0) hakkında sonuca varmak amacıyla, istatistiki hipotez testi kullanılır. Herhangi bir hipotez testinde dikkate alacağımız birbirine zıt iki sonuç vardır: Birincisi, null hipotezinin (H0) sonucudur ve μ = μ0 durumuna karşılık gelir. İkincisi ise alternatif hipotezdir (Ha) ve bu da birkaç şekilde ifade edilebilir: μ değeri, μ0 değerinden farklı ise (μ ≠ μ0), null hipotezi Ha lehine reddedilir. Yani Ha kabul edilir. Diğer alternatif hipotezler ise, μ > μ0 veya μ < μ0 ‘dır.

5 Örneğin; Bir sanayi atık suyundaki Pb derişiminin, izin verilen en yüksek derişim olan 0,05 ppm değerini geçip geçmediği ile ilgilendiğimizi varsayalım. Bu durumda hipotez testi aşağıdaki gibi yazılacaktır: H0 : μ = 0,05 ppm Ha : μ > 0,05 ppm Birkaç yıl boyunca yapılan deneylerin sonucu olarak Pb’nin ortalama seviyesi 0,02 ppm bulunmuştur. Son yıllarda yapılan çeşitli endüstriyel değişiklikler sebebiyle, Pb seviyesinin şimdi daha farklı olduğundan şüphe duyuyor olalım. Burada değerin 0,02 ppm’den daha yüksek veya daha düşük olup olmadığına dikkat etmeyeceğiz. Bu durumda, hipotez aşağıdaki gibi kurulacaktır: H0 : μ = 0,02 ppm Ha : μ ≠ 0,02 ppm

6 Test istatistiği, H0 hipotezinin kabul edilmesi veya reddedilmesine esas teşkil edecek olan verilerden oluşturulur. Reddetme bölgesi, H0 hipotezinin reddedilmesini gerektiren test istatistiği sonuçlarının tamamının yer aldığı bölgedir. Deney istatistiği, reddetme bölgesinde kalıyorsa, null hipotezi reddedilir. Bir veya iki ortalamayı ilgilendiren testler için, çok fazla sayıda ölçüm varsa veya σ biliniyorsa, test istatistiği z istatistiği olabilir. Alternatif olarak, σ değerinin bilinmediği küçük sayılarda ölçümler için ise, t istatistiği kullanılmalıdır. Kısaca t istatistiği, şüphe ortaya çıkan durumlarda kullanılır.

7 Sonsuz sayıda deney yapamayacağımıza göre, her deneyde muhakkak bir hata vardır ve bu hata payını önceden verebiliriz. Gerçek değeri tam olarak bilemediğimizden bir aralık vermeliyiz. O yüzden bir güven aralığı veririz. Yani olabilecek bir hatayı önceden kabul ederiz. Hataya α dersek; α=0,05 (%5 hata) kabul ise β=red olur. Yani söylediğimde %5 yanılabilirim demektir. Buradaki istatistiki t değeri, yaptığımız deney sayısına ve seçtiğimiz α değerine bağlıdır. tek taraflı hipotez iki taraflı hipotez H0 red H0 red H0 kabul α=%5 H0 red H0 kabul α=%2,5 α=%2,5 tkritik -tkritik tkritik (İdeal bir t değeri tablodan bulunur.) 7

8 Büyük örneklem için z testi: Elde çok sayıda mevcut deney sonucu varsa, s değeri σ için iyi bir tahmin oluşturur ve bu durumda z testi uygundur. Null hipotezi oluşturulur: H0 : μ = μ0 Test istatistiği oluşturulur: Alternatif hipotez Ha oluşturulur ve reddetme alanı belirlenir: Ha : μ ≠ μ0 için, z  zkritik veya z  -zkritik ise H0 reddedilir. Ha : μ > μ0 için, z  zkritik ise H0 reddedilir. Ha : μ < μ0 için, z  -zkritik ise H0 reddedilir. Reddetme bölgeleri, %95 güven seviyesi için şekilde görülmektedir. Ha : μ ≠ μ0 için, ister pozitif ister negatif olsun z değerinin kritik değeri aşması halinde reddedilecektir (iki yanlı test). %95 GS için z değerinin zkritik değerini aşması için olasılık, her iki yanda 0,025 veya toplamda 0,05’dir. Yani rastgele hataların z  zkritik veya z  -zkritik sınırları dışına çıkmaya yol açma olasılığı sadece %5’dir. Anlamlılık seviyeleri toplamı α=0,05’dir. z çizelgesinden bu durum için kritik değer 1,96 olarak elde edilir. Ha : μ > μ0 için (tek yanlı test) sadece z  zkritik olduğunda hipotez reddedilebilir. Şimdi, %95 GS için z değerinin zkritik değerini aşması olasılığının %5 veya iki yandaki olasılıklar toplamının %10 olmasını istiyoruz. Toplam anlamlılık seviyesi, bu durumda =0,10 olduğundan z çizelgesinden bu durum için kritik değer 1,64 olarak elde edilir. Benzer şekilde, Ha : μ < μ0 için, sadece z  -zkritik durumunda, hipotez reddedilir. Bu tek yanlı testte, z için kritik değer yine 1,64’dür.

9 Güven seviyesi z değeri Güven aralığı 50 0,67 µ ± 0,67  68 1,00 µ ± 1,00  80 1,28 µ ± 1,28  90 1,64 µ ± 1,64  95 1,96 µ ± 1,96  96 2,00 µ ± 2,00  99 2,58 µ ± 2,58  99,7 3,00 µ ± 3,00  99,9 3,29 µ ± 3,29 

10 %95 GS %5 α %95 güven seviyesi için reddetme bölgeleri. (a) Ha: μ ≠ μ0 için iki yanlı test. z için kritik değer, 1,96’dır. (b) Ha: μ > μ0 için tek yanlı test. Burada z için kritik değer 1,64'tür ve alanın %95'i zkritik değerinin sol tarafında kalırken, alanın %5'i sağ tarafta kalmaktadır. (c) Ha: μ < μ0 için tek yanlı test. Burada z için kritik değer yine 1,64'tür ve alanın %5'i -zkritik değerinin sol tarafında kalmaktadır. %95 GS %5 α 10

11 Örnek: Bir sınıfta bulunan 30 öğrenci, kimyasal bir reaksiyonun aktifleşme enerjisini 27,7 kcal/mol (ortalama değer) olarak tayin etmişler ve bu tayindeki standart sapmayı 5,21 kcal/mol olarak hesaplamışlardır. Bu değer literatürde verilen 30,8 kcal/mol değeri ile (1) % 95 güven seviyesinde ve (2) % 99 güven seviyesinde uyumlu mudur ? n = 30 olduğundan, s = σ alınabilir (büyük örneklem-z testi). Null hipotezi, μ = 30,8 kcal/mol ve alternatif hipotez μ ≠ 30,8 kcal/mol şeklindedir. Bu iki yanlı bir testtir. Çizelgeye bakıldığında, % 95 güven seviyesi için zkritik = ± 1,96 ve % 99 güven seviyesi için zkritik = ± 2,58 dir. Test istatistiği şöyle hesaplanır: -3,26 ≤ -1,96 olduğundan % 95 güven seviyesinde null hipotezi reddedilir. Doğal olarak, -3,26 ≤ -2,58 olduğundan % 99 güven seviyesi koşulu da red olunur. Çünkü güven seviyesi arttıkça, güven aralığı da artar ve daha yüksek bir dağılıma sahip bir sonuç ortaya çıkar. Sonuç olarak; öğrenci ortalamasının literatürdeki veriden gerçekte farklı olduğu ve bu farkın tam olarak rastgele hatalardan kaynaklanmadığı belirlenmiş olur.

12 Küçük örneklem için t testi: Büyük örneklem için z testine benzer şekilde, test istatistiği olarak t istatistiği kullanmak şartıyla, yine null hipotezi, test edilecektir. Burada μ0, μ için kabul edilmiş bir değer, teorik bir değer veya bir eşik değer olarak alınabilen özel bir değerdir. İşlem sırası: Null hipotezi oluşturulur: H0 : μ = μ0 Test istatistiği oluşturulur: Alternatif hipotez Ha oluşturulur ve reddetme alanı belirlenir: Ha : μ ≠ μ0 için, t  tkritik veya t  -tkritik ise H0 reddedilir (iki yanlı test). Ha : μ > μ0 için, t  tkritik ise H0 reddedilir. Ha : μ < μ0 için, t  -tkritik ise H0 reddedilir. Sapma eğilimi için istatistiki test yaparken, başlangıçta rastgele hatalar veya gerçek sistematik hata sebebiyle kabul edilmiş değer ile deneysel ortalama arasında bir fark olup olmadığını bilemeyiz. t testi, sonuçlar arasındaki farkın anlamlılığını tayin etmek için kullanılır.

13 Bileşimi doğru bir şekilde bilinen bir numunenin analiz edildiği bir durumda, bir analitik yöntemin sistematik hatasını teste tabi tuttuğumuzu varsayalım. Analit tayini, popülasyon ortalamasının bir tahmini olarak deneysel bir ortalama verir. Analitik yöntemin herhangi bir sistematik hatası veya bir sapma eğilimi yoksa, rastgele hatalar, şekildeki A eğrisi ile gösterilen frekans dağılımını oluşturacaktır. Yöntem B, bir miktar sistematik hata içermektedir ve bu sebeple, μB’nin tahmini olarak hesaplanan olarak kabul edilmiş değeri, μ0’dan farklıdır. Sapma eğilimi değeri, şu eşitlik ile verilir: Sapma eğilimi= μB - μ0 Bir analitik yöntemdeki sistematik hatanın gösterilmesi. A eğrisi, sapma eğilimi içermeyen bir yöntemle elde edilen kabul edilmiş bir değer için frekans dağılımını göstermektedir. B eğrisi ise, anlamlı bir sapma eğilimi olan bir yöntemle elde edilmiş sonuçların frekans dağılımını göstermektedir.

14 Bir yöntemde sapma eğilimi olup olmadığını belirlemek için kullanılan t testini gösteren bir örnek: Gaz yağındaki kükürdün hızlı olarak tayini için geliştirilmiş yeni bir yöntem, %0,123 kükürt içerdiği bilinen bir numune üzerinde denenmektedir (μ0= %0,123). Sonuçlar % S= 0,112; 0,118; 0,115; ve 0,119 olarak bulunmuştur. Bu veriler, yöntemde bir sapma eğilimi olduğunu gösterir mi? Null hipotezi; H0 : μ = %0,123 S ve alternatif hipotez; Ha : μ  %0,123 S dir.

15 t çizelgesinden, %95 GA ve 3 serbestlik derecesinde t için kritik değer 3,18 bulunur.
-4,375 (t) ≤ -3,18 olduğundan, %95 GA’da null hipotezini red ederek, anlamlı bir farkın olduğu sonucuna varılır ve yöntemde sistematik bir sapma vardır denir. Bu testi, %99 GA’da yapsaydık, tkritik=5,84 bulunurdu. Buna göre, -4,375 ≥ -5,84 olduğu için, null hipotezini %99 GA’da kabul edecek ve deneysel ortalama ile kabul edilen değer arasında herhangi bir farkın olmadığı yorumunu yapacaktık. Bu durumda, bulunan sonuç kullanılan GA’a bağlıdır. GA’nın seçimi de, bir sonuçtaki hatayı kabul etme isteğimize bağlıdır. Bilindiği üzere, anlamlılık seviyesi (0,05 veya 0,01), null hipotezinin reddedilmesiyle yapılan hatanın olasılığıdır.

16 t-testi kritik değerleri
Risk seviyeleri (t-değerleri) Tek yanlı test İki yanlı test Serbestlik derecesi (n-1) % 10 (%90) % 5 (%95) % 1 (%99) 1 3,08 6,31 31,82 12,71 63,66 2 1,89 2,92 6,97 4,30 9,92 3 1,64 2,35 4,54 3,18 5,84 4 1,53 2,13 3,75 2,78 4,60 5 1,48 2,02 3,36 2,57 4,03 6 1,44 1,94 3,14 2,45 3,71 7 1,42 3,00 1,90 2,36 3,50 8 1,40 1,86 2,90 2,31 9 1,38 1,83 2,82 2,26 3,25 10 1,37 1,81 2,76 2,23 3,17 11 1,36 1,80 2,72 2,20 3,11 12 1,78 2,68 2,18 3,06 13 1,35 1,77 2,65 2,16 3,01 14 1,76 2,62 2,15 2,98 15 1,34 1,75 2,60 2,95 20 1,33 1,73 2,53 2,09 2,84 30 1,31 1,70 2,46 2,04 2,75 40 1,30 1,68 2,42 2,70 60 1,67 2,39 2,00 120 1,29 1,66 1,98 Sonsuz 1,28 2,33 1,96 2,58

17 İki Deneysel Ortalamanın Karşılaştırılması: Kimyacılar, çoğu zaman, iki veri setinin ortalamaları arasındaki farkın gerçek mi yoksa rastgele hatalardan mı kaynaklandığı hakkında karar vermek ister. Bazı durumlarda, kimyasal analizlerin sonuçları, iki maddenin aynı olup olmadığının belirlenmesinde kullanılır. Diğer bir durumda ise, bu sonuçlar, iki analitik yöntemin aynı değeri verip vermediği veya iki analizcinin aynı yöntemi kullandığında, aynı sonucu elde edip edemediğinin belirlenmesinde de kullanılır. Ortalamalardaki farklar için t testi: Çoğu zaman her iki veri seti, sadece birkaç sonuç içerir ve bu durumda biz t testini kullanmak durumundayız: 1. analizci tarafından N1 tane tekrar deneyi ile ortalama değerinin elde edildiğini ve 2. analizci tarafından N2 tane tekrar deneyi ile ortalama değerinin elde edildiğini varsayalım. Null hipotezi, iki ortalamanın birbirine eşit olduğunu, hiçbir önemli fark olmadığını ve varsa da bu herhangi farkın rastgele hatalardan kaynaklandığını söyler. Buna göre; H0: μ1 = μ2 yazabiliriz ya da (μ1 - μ2 = 0). Hesaplanan değer < Tablo değeri (th < tt) ise; (H0) null hipotezinin kabulü

18 Birçok durumda, ortalamalar arasındaki farkı test ederken, alternatif hipotez Ha: μ1  μ2 olarak oluşturulur. Yani ortalamalar eşit değil, önemli bir fark var ise bu test iki yanlı bir testtir. Ancak bazı durumlarda, Ha: μ1 > μ2 önemli bir fark var (μ1 - μ2 > 0, bir kuyruklu, sağ kuyruk testi) veya Ha: μ1 < μ2 önemli bir fark var (μ1 - μ2 < 0, bir kuyruklu, sol kuyruk testi) alternatif hipotezlerini de test edebiliriz ve bu durumda test tek yanlı bir testtir. Hesaplanan değer ≥ Tablo değeri (th ≥ tt) ise; (H0) null hipotezinin reddi 2.hipotezi test edemeyiz, ancak 1.hipotezi test edebiliriz (kabul veya red) Burada, iki yanlı testin uygulandığı varsayılacaktır ve her iki veri setinin standart sapmalarının benzer olduğunu kabul etmek de güvenli olacaktır. Böylece, s1 ve s2 standart sapmalarının her ikisi de, popülasyon standart sapması olan σ’ya yakındır. Tek başına s1 ve s2 standart sapmaları ile verilenden daha iyi bir popülasyon standart sapması (σ) tahmini elde etmek için ise birleşik standart sapma değeri kullanılır.

19 1. analizci için ortalama değerin standart sapması ve ortalamasının varyansı aşağıdaki eşitliklerle ifade edilir: Benzer şekilde, 2. analizcinin ortalama değerinin standart sapması ve varyansı da aşağıdaki gibidir: t testinde, ortalamalar arasındaki farkla, yani ile ilgileniriz. Ortalamalar arasındaki farkın varyansı (sd2) ise aşağıdaki eşitlikle verilir: Ortalamalar arasındaki farkın standart sapması sd ise, s2m1 ve s2m2 değerlerinin yerine konulması ve karekök alınması ile bulunur:

20 Şimdi, daha ileri bir varsayım ile 1
Şimdi, daha ileri bir varsayım ile 1. analizci için ortalama değerin standart sapması ve ortalamasının, birleşik standart sapmanın (sbirleşik), σ için sm1 veya sm2’den daha iyi bir tahmin olduğunu kabul edip aşağıdaki eşitliği yazabiliriz: Buradan t istatistiği şu şekilde bulunur: Daha sonra test istatistiği, istenilen belirli bir güven seviyesi için tablodan elde edilen kritik t değeri ile karşılaştırılır. Burada serbestlik derecesi olarak n1+n2-2 alınır. Test istatistiğinin mutlak değeri, kritik değerden küçükse, null hipotezi kabul edilir ve ortalamalar arasında anlamlı bir fark olmadığı gösterilmiş olur. t için test değeri, kritik değerden daha büyükse, ortalamalar arasında, anlamlı bir fark vardır.

21 Örnek: İki şarap fıçısı, farklı kaynaklardan gelip gelmediklerini anlamak için alkol içerikleri bakımından analiz edilmiştir. Yapılan 6 analizden, birincisi fıçıdaki ortalama alkol içeriği %12,61 etanol olarak bulunmuştur. İkinci fıçı için yapılan 4 analizin ortalaması da %12,53 etanol olarak bulunmuştur. 10 analizin birleşik s değeri olarak %0,070 elde edilmiştir. Bu veriler, şaraplar arasında bir fark olduğunu gösterir mi? Sıfır hipotezi H0: μ1 = μ2 ve alternatif hipotez Ha: μ1  μ2 dir. Burada test istatistiğini hesaplamak için aşağıdaki eşitliği kullanırız: t için kritik değer, ve 10-2=8 serbestlik derecesi için 2,31 dir (çift yanlı). 1,771 ≤ 2,31 olduğundan, %95 GS’de null hipotezi kabul edilir ve şarapların alkol içerikleri arasında önemli bir farklılığın olmadığı kararına varılır.

22 Örnek: Toz halindeki bir mineral numunesinin Ca muhtevası, iki ayrı metodun her biri ile 5 defa analiz edilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir: 1.Metot: , , , , ,0275 2.Metot: , , , , ,0269 α= %10 riskle (yani %90 güvenle) Bu metotlar arasında fark olup olmadığını gösteriniz (iki yanlı). thesap > ttablo H0 red H0 kabul thesaplanan: 2,32 ttablo: 1,86 22

23 Excel ile t-testi

24 Ya da P< 0,05 olduğunda iki metot arasındaki fark önemlidir.
thesaplanan > ttablo ise iki yöntem ortalamaları arasında fark vardır. H0 kabul thesap H0 red Ha kabul ttablo Ya da P< 0,05 olduğunda iki metot arasındaki fark önemlidir.

25 Örnek: Bir metotla 12 analiz yapılmış ve bunların ortalaması %6,37, s’da %0,17 olarak bulunmuştur. Doğru değer %5,91 olduğuna göre, metotta sistematik bir hata olup olmadığını araştırınız (%99 ihtimalle). Deneysel hata Ortalamadan sapma İstatistiki hata t-dağılımı tablosundan 11 serbestlik derecesinde t için bulunacak kritik değer, %99 güven seviyesinde 2,72’dir (tek yanlı). Deneysel olarak bulunan (hesapla) t değeri 9,4 olduğundan metotta sistematik bir hatanın olduğu söylenebilir. Ya da istatistiksel hata, deneysel hata değerinden küçük olduğundan metotta bir hata vardır da diyebiliriz. tdeney > ttablo 9,4 ttablo: 2,72 25

26 Örnek: Bir örneğe ait gerçek değer 10 olsun
Örnek: Bir örneğe ait gerçek değer 10 olsun. Bu örneğe ait 6 okuma yaparak sonuçları yazıyoruz: 10,2 10,3 10,9 10,2 9,0 10,9 (s= 0,712 olsun) %95 güven aralığıyla bu örneğe baktığımızda, gerçek değer ile arasında bir fark var mıdır diye sorduğumuzda: Ölçüm değeri ile gerçek değere arasındaki farkı bulmak için: tablodan n-1 değerine göre bakılır (çift kuyruklu-iki yanlı test) n-1 = 5 serbestlik derecesi ile %95 GA’da, ttablo: 2,57 dir. Bu değer 0,86’dan büyük olduğu için sonuçlar doğru ve kabul edilebilir. Yani null hipotezi kabul edilir. ttablo > thesap ttablo > thesap H0 red H0 kabul ttablo: 2,57 thesap: 0,86 26

27 Örnek: Bir A şirketi patentli çeliğindeki tungstenin %3 olduğunu ve B şirketinin bu çeliği taklit ederek yeni bir çelik imal ettiğini iddia etmiştir. Bunun üzerine B şirketinin imal ettiği çelik tungsten bakımından analiz edilmiş ve % olarak 3,19; 3,13; 3,28; 3,25 değerleri bulunmuştur. Buna göre A şirketinin iddiasında haklı olup olmadığını araştırınız (iki yanlı). deneysel hata %95 GS de istatistiki hata: istatistiksel hata ttablo İstatistiksel hata < deneysel hata olduğundan çelikler farklıdır ya da istatistiksel hata, deneysel hata 0,21’den daha küçük olduğundan iki çeliğin farklı olduğu, %95 güven seviyesinde veya %5 yanılmayla (riskle) söylenebilir. Sonuç, %95 güvenle değil de %99 güvenle (%1 riskle) verilmek istenirse, durum ne olurdu? Bunun için ttablo= 5,84 dür. İstatistiksel hata: istatistiksel hata Bu güven seviyesinde de iki çeliğin aynı olduğu söylenemez. Çünkü, deneysel hata hala istatistik hatadan daha büyüktür (çeliklerde benzerlik yok).

28 Ya da; %95 güven seviyesinde , th = 6 > tt = 3,18 olduğundan iki çelik arasında fark vardır ve %99 güven seviyesinde , th = 6 > tt = 5,84 olduğundan iki çelik arasında fark vardır. % 95 güven seviyesinde-iki yanlı % 99 güven seviyesinde-iki yanlı