- Problem çözme stratejileri

... konulu sunumlar: "- Problem çözme stratejileri"— Sunum transkripti:

1 - Problem çözme stratejileri
- Temel kavramlar - Problem çözme stratejileri Yrd.Doç.Dr.Hatice Akkoç

2 Problem çözme bütün okul kademelerinde olduğu gibi ilköğretimde de matematik dersinin amaçları arasındadır.

3 Problem çözme becerisinin geliştirilmesinin ilköğretim için önemi şu sebeplere dayandırılabilir:
Problem çözme becerisi matematik becerileri arasında önemli bir yer tutar. İlköğretim çağı, çocukların zihin gelişiminin hızlı olduğu bir dönemdir. Problem çözme becerilerinin bu yıllarda uygun yaklaşımlarla geliştirilmesi önem arz eder.

4 3. İlköğretimin bir amacı öğrencileri bir üst öğrenime hazırlamaktır
3. İlköğretimin bir amacı öğrencileri bir üst öğrenime hazırlamaktır. Problem çözme becerisi ilköğretimi izleyen öğretim kademelerinde ve bilimsel çalışmalarda vazgeçilmez bir beceridir. İlköğretimden sonraki öğretim kademelerinde ve bütün alanlarda matematiğin kendisi, matematiksel mantık ve akıl yürütme yanında problem çözme becerisini gerektirir. 4. İlköğretimin bir diğer amacı da öğrencileri hayata hazırlamaktır. Problem çözme becerisi günlük hayatta da önemli bir beceridir. İlköğretim mezunlarının bir kısmının üst öğrenime devam etmeyeceği düşünülürse öğrencileri günlük hayatlarında karşılaşacakları problemlere karşı hazırlamak önem taşır.

5 Problem nedir? Problem deyince ne anlıyorsunuz?

6 Problem nedir? John Dewey: İnsan zihnini karıştıran, ona meydan okuyan ve inancı belirsizleştiren her şeydir. Bu durumda problemin çözümü belirsizliklerin ortadan kaldırılması ile olur Charles ve Lester: a) karşılaşan bireyin çözme ihtiyacı duyduğu veya çözmek istediği, b) çözümü için birey tarafından hazır bir yolu bilinmeyen, c) bireyin çözmeye kalkıştığı bir iştir.

7 Problem nedir? Her iki tanımda da bir durumun problem olması için insan zihnini karıştırması gerekir. Bu ise, karşılaşılan durumun yeni olmasını, bireyin bu durumla daha önce karşılaşmamış olmasını gerektirir. Her gün evinden işine aynı yoldan giden bir kişi problemi çözmüştür. Sonraki gidişlerinde bir problem çözmüş olmaz. Ancak başka bir gün işe gittiği yolun kapalı olması kişi için yeni bir durumdur ve kişiyi rahatsız eder.

8 Problem nedir? O halde, bir durumun problem olabilmesi için, öğrenciye yeni gelen, ilk defa karşılaştığı bir durumun olması gerekir. Dolayısıyla, bir birey için problem olan durum başka bir birey için problem olmayabilir. Diğer taraftan bir durumun bir birey için problem olması için bireye rahatsızılık vermesi ve bireyin bu durumu çözmek istemesi gerekir.

9 Problem nedir? Matematik derslerinde, bir konunun öğretimi sırasında çözülmüş bir problemi öğrencilerinin aynen çözmesini isteyen bir öğretmenin problem çözdürdüğü söylenemez; çünkü problem çözme diye verilen durumun öğrenciler için yeni bir tarafı yoktur. Yeni bir problem, problemin verilenleri veya istenenleri değiştirilerek, verilenlerle istenenler yer değiştirilerek oluşturulabilir.

10 Problem nedir? İlköğretimdeki matematik derslerinde karşılaşılan ve problem diye verilen durumlar üç grupta toplanabilir: Hiçbir anlamı olmayan durumlar. Öğrencinin seviyesinin çok üstünde, tamamen yabancı kavramlara dayalı problemler. Örnek: İlköğretim birinci sınıfa yeni başlamış bir öğrenci için, “Bir musluktan akan su bir havuzu kendi başına 5 saatte, diğer bir musluktan akan su da 4 saatte dolduruyor. Bu iki musluk aynı havuzu kaç saatte doldurur?”.

11 2. Dört işlemle ilgili alıştırmalar genellikle öğrencilerin, hemen cevap verebilecekleri türden sorulardır. Hatta bu sorulara cevabın mekanik olarak verilebilmesi bile mümkündür. Dolayısıyla, alıştırmalar genel olarak problem durumu değildir. Örnek: iki basamaklı doğal sayıları iki basamaklı doğal sayılarla toplama işlemi konusundaki bilgi ve becerileri kazanmış bir ikinci sınıf öğrencisi için 29+15=? İşleminin yapılması bir problem değil alıştırmadır. Fakat aynı durum, toplama kavramını kazanmış henüz iki basamaklı sayılarla toplamayı tam olarak öğrenmemiş bir öğrenci için problem olabilir.

12 Problem nedir? 3. Öğrencilerin mekanik olarak cevap veremeyecekleri fakat kazanmış oldukları mevcut davranışlarla cevaplayabilecekleri durumlar (sorular) problemdir. Örnek: 20, 15 sayıları üzerine kurulmuş ve sadece bir toplama işlemi gerektiren “Ahmet’in 20 koyunu var. Ali’nin koyunları Ahmet’inkinden 15 tane fazladır. Ali’nin kaç koyunu vardır?” sorusu bir ilköğretim okulu ikinci sınıf öğrencisi için önceden karşılaşılmamış olması şartıyla problem olabilir.

13 Problem nedir? Grup çalışması:
Siz de grup halinde çalışarak hangi matematik sorularının hangi durumlarda problem teşkil edeceğine dair örnekler bulunuz. Bulduğunuz örnekleri tüm sınıfla paylaşınız.

14 Problem çözme Geleneksel problem çözme anlayışı:
Problem türleri öğretilir. Örnek: Havuz problemi Her türle ilgili çözüm yolları öğretilir. Öğrenciler kendilerine bir problem verildiğinde önce bunun ne tip bir problem olduğuna karar verir. Bu tipin çözüm yolunu uygular. SORU: Şimdiye kadar gördüklerimiz ışığında yukarıdaki yaklaşımı değerlendiriniz.

15 Günümüzde ise bazı öğretmenler önce bir işlemin nasıl yapıldığını öğretmekte, daha sonra da bu işlemin uygulamasını günlük hayattan veya ders kitaplarından seçtikleri bir problem üzerinde uygulama yoluna gitmektedirler. Böyle bir yaklaşımda öğrencinin öğreneceği strateji anahtar kelimeleri öğrenmek olacaktır. Örneğin problemde “eksilen”, “fark” veya “kalan” kelimeleri varsa bunun bir çıkarma işlemi gerektirmesi gibi. Ancak sadece bu stratejiye bağlı kalmak problem çözmede yetersiz kalacaktır.

16 Problem çözme becerileri
Farklı ülkelerde şu problem çözme becerilerinin geliştirilmesi hedeflenmektedir: Öğrencilerin kendi stratejilerini geliştirebilmeleri Çözümlerin ve stratejilerin yeni problemlere genellenebilmesi Problemlerden modeller oluşturabilme, bu modellerin sözel veya matematiksel olarak ifade edilmesi Çözümü açıklayabilme ve kontrol edebilme Yeni problemler düzenleyebilme Matematiğin kavramları arasında ilişki kurabilme Problem çözme yaklaşımlarını matematiğin esasını ve konularını anlamada kullanabilme Matematiksel dilin doğru kullanılması

17 Problem Çözme Stratejileri
Matematik cümlesi yazma Tahmin ve kontrol etme Şekil ve şema çizme Rol yapma Model kullanma Tablo yapma Yapılardan yararlanma Organize liste yapma Geriye doğru çalışma Mantıksal akıl yürütme Basitleştirme Bilinenleri eleştirici biçimde inceleme

18 Matematik cümlesi yazma
Örnek (İlköğretim 1.sınıf): Okulun bahçesinde 6 arkadaş top oynuyorduk. Sonradan bize 4 arkadaş daha katıldı. Oyun oynayan kaç kişi olduk? 6+4=? Örnek (İlköğretim 3.sınıf): Bir kişi, tanesi 45 TL olan kazaktan 2 tane ve fiyatı 123 TL olan bir pantolon aldı. Kasaya 300 TL verdiğine göre geriye kaç TL kalır? 300 – (2 x )=?

19 Tahmin ve kontrol etme Deneme-yanılma stratejisi olarak da bilinir.
Problem çözümünde bazen sistematik şekilde ve akıl yürüterek denemeler yapmak faydalı olur. Kör atış yapar gibi akıl yürütmeden denemeler istenmeyen bir durumdur. Örnek: Her birinin rakamları toplamı 11 olan iki basamaklı iki doğal sayının farkı 63’tür. Bu sayıları bulunuz. Çözüm: 92, 29; 83, 38; 74, 47; 65, 56 denemelerinden şartları sağlayan bulunur. Soyut işlem yapabilen öğrenci için deneme yanılma yapmadan cebirsel olarak hesaplanabilir.

20 Şekil veya Şema Çizme Örnek: Sınıfımızda Çevre ve Kızılay kollarına öğrenci seçimi yapılmıştır. Sadece Çevre koluna 10, her iki kola birden 8 öğrenci seçilmiştir. Sınıfta 34 öğrenci vardır. Herkes en az bir kola seçildiğine ve başka eğitsel kola seçilen öğrenci olmadığına göre Kızılay koluna kaç kişi seçilmiştir? Küme kesişimleri ile rahatlıkla bulunabilir.

21 Rol yapma Örnek: 5, 10, 25 kuruş paralarla kaç değişik şekilde 25 kuruş elde edilebilir? Masaya 5, 10 ve 25 kuruş paralar konur. Her defasında farklı bir öğrenciden, önceki öğrenciden farklı bir kombinasyon oluşturması istenir. Kombinasyonlar tabloya özetlenebilir.

22 Rol yapma Sonuçta 4 farklı kombinasyon bulunur. Öğrenci 5 kr 10 kr
Can 1 Canan 2 Evren 3 Nilsu 5 Sonuçta 4 farklı kombinasyon bulunur.

23 Model kullanma Örnek: 19 Mayıs Gençlik ve Spor bayramında öğrenciler 3 katlı bir kule yapmışlardır. Kuleyi yaparken üstteki öğrenci her ayağını alttakilerin birer omzuna koymuştur. 3 katlı kulede kaç öğrenci vardır? 4 katlı kule yapsalardı en altta kaç öğrenci bulunurdu?

24 Tablo yapma Örnek: Bir firma satıcılarından 6-10 ürün satanlara 5 TL, 10’dan fazla satanlara sattıkları her ürün için 2 TL fazladan prim veriyor ve 5 ve 5’ten az satanlara da hiç prim vermiyor. Bir günün sonunda 11 TL prim alan bir satıcı o gün kaç ürün satmıştır? Ürün sayısı ve prim miktarının bir tablosu hazırlanır.

25 Tablo yapma Ürün sayısı 1-2-3-4-5 6-7-8-9-10 11 12 13 Prim miktarı
Prim yok 5 TL 7 TL 9 TL 11 TL

26 Yapılardan yararlanma
Örnek: Her iki şehir arasında ayrı ayrı birer telefon hattı çekileceğine göre 10 şehir arasında kaç telefon hattı çekilir?

27 Yapılardan yararlanma
Şekil çizilerek şehirlerin arasındaki hat sayıları belirlenir ve aşağıdaki tablo hazırlanır. Şehir sayısı 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hat sayısı 15 21 28 36 45

28 Organize liste yapma Örnek: Ankara’dan çıkıp Samsun üzerinden Trabzon’a gitmek isteyen bir kişi hava, deniz ve kara yollarını tercih ederek bu yolu kaç değişik şekilde gidebilir?

29 Geriye doğru çalışma Örnek: Bir sayının yarısının 4 fazlasının 2 katı alınmış ve 10 bulunmuştur. Bu sayı kaçtır?

30 Mantıksal akıl yürütme
“Böyle ise şöyle olur”. “Bu durumdan bu sonuç çıkar”. Akıl yürütmeye başvurmada yardımcı olarak şekil, şema, grafik veya tablodan faydalanılabilir. Örnek: Evren’in elmaları, portakalları, armutları ve muzları vardır. Hepsi 12 tanedir. Elmaların sayısı portakalların sayısına eşit ve armutların sayısı muzların sayısının iki katı olduğuna göre her bir meyveden kaç tane vardır? Çözüm: Armutların sayısı muzların sayısının iki katı olduğuna göre, ikisinin katları toplamı 3 eder. O halde, elmalarla portakallar çıkarıldığında kalan meyvelerin sayısı 3 ile bölünebilmelidir. Elma ve portakalların sayısı eşit ise bu sayı 1 veya 2 olamaz. Çünkü geriye 10 veya 8 kalır ki bu da 3 ile bölünemez. O halde elma ve portakal sayısı 3 olmalıdır. Geriye 6 kalır ve bu 3 ile bölünebilir. 3 elma, 3 portakal, 2 muz ve 4 armut. Burada mantıksal akıl yürütme ile denemenin birlikte kullanıldığına dikkat ediniz.

31 Basitleştirme Örnek: Her sayfasının kalınlığı 1/55 cm olan 200 sayfalık bir kitabın kalınlığı kaç cm’dir? Bu problem, sayılar küçültülerek aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. Her birinin kalınlığı ½ cm olan üst üste konulan 4 tahtanın toplam kalınlığını bulunuz. Problemin bu şekilde ifade edilmesi, yukarıdaki problemin daha kolay anlaşılmasını sağlar. 4x ½ =? Matematik cümlesinin yazılmasını sağlar. Buradan asıl problemde istenen 200 x 1/55=? Matematiksel cümlesinin yazılmasına geçilebilir.

32 Bilinenleri eleştirici biçimde inceleme
Problemler hayatta düzenli şekilde karşımıza çıkmaz, çoğu zaman var olan bilgilerden gerekli olanları biz seçeriz. Karşılaştığımız problemlerde gereksiz bilgiler bulunabileceği gibi eksik bilgiler de olabilir. Bu nedenle bilinenler eleştirici biçimde incelenmelidir. Örnek: Dikdörtgensel bölge şeklindeki bir bahçenin uzun kenarı 15 m ve kısa kenarı 7 m’dir. Çevresi 44 m olan bu bahçe üç sıra dikenli tel ile çevrilecektir. Kaç m dikenli tel gerekir? Bu örnekte fazladan bilgi verilmiştir. Öğrencinin bu tartışmayı yapması önemlidir.

33 Farklı problemler

34 1.Problem:Suyu Bölmek Bir testideki 8 litre
su biri 5 litrelik biri de 3 litrelik iki şişe kullanılarak 4’er litrelik iki eşit bölüme nasıl ayrılabilir?

35 1.Cevap:Suyu Bölmek Aşağıdaki çizelge çözüm için izlenebilecek yollardan birini göstermektedir.

36 Yani bu çizelgeyi sözel ifadelere dökersek:
İlk olarak 3lt.lik şişemizi doldururuz. Sonra 3lt.lik şişemizi 5lt.lik şişemize boşaltırız. Üçüncü olarak 3lt.lik şişemizi tekrar testiden doldururuz. Bu arada testimizde 2lt kaldığını unutmayalım. Dördüncü olarak 3lt.lik şişemizle 5lt.lik şişemiz dolduralım. 3lt.lik şişemizde 1 litre su kalır. Beşinci olarak 5 litrelik şişemizi testiye boşaltırız. Son durumda 3lt.lik şişemizde 1lt testimizde 7 litre su vardır, 5lt.lik şişemiz ise boş… Son olarak 3lt.lik şişemizdeki suyu 5lt.liğe boşaltırız ardından şişemizi tekrar doldurup 5 lt.lik şişemize tekrar boşaltırız. İşlem tamamlanmıştır.

37 2.Problem:Avcının Derdi
Tüfeği ile trene binmek isteyen bir avcının tüfeğini yanına almasına izin verilmeyince, o da tüfeğini trenin bagaj vagonuna bırakmaya karar verir. Ancak bu kez de tüfeğin boyu bir sorun yaratır. Çünkü bagaja kabul edilecek eşyanın en büyük boyutunun en çok 1 m olması gerekmektedir; oysa tüfeğin boyu 1,7 m’dir. Sonunda avcı bu sorunu halleder. Nasıl bir çözüm bulur avcı? (Hayır, rüşvet vermez.)

38 2.Cevap:Avcını Derdi Avcı bir ayrıtı 1 m olan bir küp yaptırır ve tüfeğini büyük köşegen boyunca küpün içine yerleştirir (bir ayrıtı 1 m olan küpün büyük köşegeni 3 = 1,73 m’dir). 1m 1m

39 3.Problem:Mektupla Satranç
Birbirinden uzakta oturan kişiler hamlelerini birbirine mektupla yollayarak satranç oynayabilirler.Bu oldukça sık başvurulan bir karşılaşma şeklidir. Hatta bu şekilde satranççılar aralarında turnuva bile düzenleyebilirler. Turnuvada bir karşılaşmada rakibinizi yenerseniz 1 puan, berabere kalırsanız 1/2 puan kazanırsınız. İşte böyle turnuvalardan birine katılan uluslararası usta Zeki Hin’in iki maçı daha kalmıştır. Eğer bu iki maç sonunda en az 1 puan elde ederse turnuvanın birincisi olacaktır. Ancak Zeki Hin bu son iki maçında iki büyük usta ile karşılaşmak durumundadır. Bu nedenle ihtiyacı olan bu 1 puanı elde edebilmesi oldukça zor görünmektedir. “İsmiyle müsemma” olan ustamız karşılaşmalardan birinde beyaz diğerinde ise siyah taşlarla oynayacağını bilmektedir. Zeki Bey sonunda kendisine bu iki maçtan mutlaka 1 puan kazandıracak yöntemi bulur. Zeki Hin nasıl oynar bu zor iki maçı???

40 3.Cevap:Mektupla Satranç
Zeki Hin beyaz taşlarla oynayan rakibinin hamlelerini siyah taşlarla oynayan rakibine, bu ikincinin hamlelerini de geriye beyaz taşlarla oynayan rakibine postalar. Dolayısıyla gerçekte iki rakibinin birbiriyle karşılaşmasına aracılık eder. Sonunda rakiplerden biri ötekini yener ya da berabere kalırlar. Ancak her iki durumda da Zeki Hin komisyonculuk ücreti 1 puanı alır.

41 4.Problem:Erler 200 er her birinde 20 kişi olan 10 sıra halinde dizilsin; yani 10 sırası ve 20 kolu olan bir “tertip” oluştursun. Şimdi her sıranın en uzun boylu erini seçelim ve bu (uzun) 10 er arasından da en kısa boylu olanını ayıralım. Bu kişiye “uzunların kısası” diyelim. Şimdi erler tertipteki yerlerine dönsün. Biz bu kez her kolun en kısa boylu erini seçelim ve bu (kısa) 20 er arasından da en uzun boylu olanı ayıralım. Bu kişiye de “kısaların uzunu” diyelim. Hangisi daha uzundur? “Uzunların kısası” mı yoksa “kısaların uzunu” mu?

42 4.Cevap:Erler Eğer kısaların uzunu (KU) ile uzunların kısasa (UK) aynı sırada iseler UK, KU’dan daha uzundur. Çünkü UK tanım gereği o sıranın en uzunudur. Eğer KU ile UK aynı kolda iseler, gene UK, KU’dan daha uzundur çünkü tanım gereği KU o kolun en kısa kişisidir. Şimdi KU ile UK aynı sırada ya da aynı kolda olmasın. UK ile aynı sırada ve KU ile aynı kolda olan ere M diyelim. M, KU’dan uzun, UK’dan kısadır.Şu halde gene UK, KU’dan uzundur.