Hata.

... konulu sunumlar: "Hata."— Sunum transkripti:

1 hata

2 ÖLÇMEDE HATALAR ve HATA HESAPLARI
HATA: Ölçülen fiziksel büyüklük ile gerçek değer arasındaki fark olarak tanımlanır. ?Hatasız ölçülerden, ancak hatasız ölçme aletlerinin kullanılması ve kişisel hatalarının olmaması durumunda söz edilebilir. Bir büyüklüğün belirlenmesi için genel olarak, ölçmeler çok kez yinelenir ve ilave ölçmeler de yapılır. Örneğin, bir dik üçgenin dik kenarları yanında hipotenüsü de ölçülür veya bir üçgenin iki açısının yanında üçüncü açısı da ölçülür.

3 Uzunluk ölçümü. Method Typical error Ucuz cetvel 0.5 mm Calipers 0.05 mm Mikroscop mm Interferometer mm

4 Örnek Ölçüm sonucları 19. 0 mm and 19. 5 mm Neden farklı
Örnek Ölçüm sonucları 19.0 mm and 19.5 mm Neden farklı? Cevap Cetvel ile ölçümde Kumpas ile ölçersek

5 ÖLÇMEDE HATA ÇEŞİTLERİ
1- Kaba Hatalar : Ölçme aletindeki yanlış okuma hatası, yanlış hedefe bakmaktan doğan hatalar gibi ölçmecinin dikkatsizliği, yorgunluğu vb. nedenlerle ortaya çıkabilecek hatalardır. Kaba hatalar kontrol ölçmeleriyle kolayca ortaya çıkarılabilir. 2- Düzenli (Sistematik) Hatalar : Ölçme sonuçlarına aynı yönde etkiyen hatalardır. Bu hataların büyüklüğü ve işaretleri belli bir parametreye bağlıdır. Bu parametrelerin etkileri ortadan kaldırılmadan ölçmeler ne kadar tekrar edilirse edilsin bu tür hatalar ortadan kalkmaz. 3- Düzensiz (İstatiksel, Rastgele) Hatalar : Kaba ve düzenli olmayan diğer bütün hatalar düzensiz hata olarak adlandırılırlar ve bu hatalar, kontrol ölçmeleriyle de ortaya çıkartılamaz. Hataların işaretleri bazen artı bazen de eksi (ÇİFT YÖNLÜ) olabilir. Düzensiz hataların etkisini azaltabilmek için aynı büyüklüğe ait ölçüler, yeterince tekrarlanır ve bunların ortalaması alınır.

6 Düzensiz (İstatiksel) Hatalar
Genellikle rastlantısal hatalarla yüklü bütün büyük ölçü serileri için bu durum geçerlidir. Bu tür ölçü serilerine istatistik dilinde normal dağılım denir. Bağıl sıklık ( % ) Hata Sayısı Çok kez ölçülmüş bir açının histogramı

7 ÖLÇMEDE HATA KAYNAKLARI
1- Kişisel Hatalar : İnsan duyu organlarının kusursuz olmaması nedeni ile kişisel dikkat ve yeteneğin sınırlı olmasından kaynaklanan hatalardır. Örneğin, yatay açı ölçümünde operatörün, aletin düşey gözlem çizgisini, gözlenen hedefe tam olarak yöneltememesi gibi. 2- Aletsel Hatalar : Aletin yapımındaki veya düzenlenmesindeki herhangi bir eksiklik ya da herhangi bir parçasının oynaması nedeni ile oluşan hatalardır. Örneğin, miradaki bölüm aralıklarının hatalı yapılması veya miranın çarpılmış olması. 3- Ortamdan Kaynaklanan Hatalar : Rüzgar, sıcaklık, rutubet, hava katmanlarındaki kırılma, yerçekimi, manyetik alan vb değişik doğa olaylarından kaynaklanan hatalardır. Örneğin, çelik şerit metrenin boyunun hava sıcaklığı ile değişimi gibi.

8 DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ Bilimsel çalışmalarda ölçme sonuçları önemli rol oynadığından, bir büyüklüğün kesin değerinin istenilen bir duyarlıkta (doğrulukta) elde edilmesi gerekir. İstenilen duyarlıkta sonuçlara ulaşabilmek için; Uygun ölçme aletleri ve ölçme yöntemleri seçilmeli, Ölçmelerde ve hesaplarda uyulması gerekli hata sınırları (hoşgörü sınırları) saptanarak, bir ölçünün kabul edilip edilemeyeceği belirtilmeli, Kesin değerin istenilen duyarlıkta elde edilip edilemediği araştırılabilmelidir. Tüm bu istemleri yerine getirebilmek için duyarlık ölçütleri adı verilen karşılaştırma büyüklükleri tanımlanmıştır.

9 Bağıl Hata ve Yüzde Bağıl Hata
Mutlak hatanın gerçek değer x0 veya ölçüm sonucuna oranıdır. Yüzde Bağıl Hata: Ölçülen büyüklüğün gerçek değerinden yüzde kaçı kadar hatalı olduğunu verir.

10 hata Sayısal yöntemler analitik çözümlerden farklı olarak belli bir hata payı içerirler. Bunun yanı sıra giriş verisi de bir miktar hatalı olabilir.

11 Hata Kaynakları 1- Kullanılan Verideki Hatalar (Ölçme Hatası)
Veriler çeşitli deney ve ölçümlerle elde edilir. Ölçümün yapıldığı ortam veya sistem kaynaklı hatalar verinin hatalı olmasına neden olur. 2. Yuvarlama Hataları Bazı rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıların tamamı ondalık sistemde sonsuz sayıda basamakla ifade edilmesi gerekir. 64 bitlik bir bilgisayar sisteminde bir reel sayının virgülden sonra belirli sayıda basamağı gösterilebildiğinden geriye kalan basamaklar sayıdan atılarak bir miktar yuvarlama hatası oluşur. Yine elektronik hesaplayıcılar ve bilgisayarlarda sayısal çözüm yaparken çok sayıda hesaplama yapılır. Hesaplamaların belli aşamasında veya başlangıcında meydana gelen hatalar arkadan gelen hesaplamalara da etki eder ve yayılır. Bu tür hatalar birikerek büyüyebilmekte ve sonucu önemli etkide değiştirebilmektedir.

12 3. Kesme Hataları Fonksiyon yaklaşımlarında kullanılan seri ifadelerde olduğu gibi sonsuz terimli bir gösterimin sonlu kısmı bilgisayarlarda ifade edilebilir. Geriye kalan kısım kesme hatası olarak adlandırılır. 4. İnsan Kaynaklı Hatalar Kullanılan formüllerin kendilerinde yada bilgisayara aktarımında oluşan hatalar bu tip hatalara örnektir. 5. Bilgisayar Kaynaklı Hatalar Bilgisayarlar elektrik akımı ile çalışan cihazlar olduğu için elektrik kaynaklı ya da bilgisayarın elektronik aksanından kaynaklanan hatalar oluşabilir. Sayısal yöntemler ile çözülen problemlerin kesin veya analitik çözümleri var ise sayısal çözümde oluşan hata miktarını bulmak zor değildir. Fakat karşılaşılan bir çok problemin özellikle mühendislik problemlerinin analitik çözümleri ve kesin sonuçları bilinmemektedir. Sayısal yöntemler ile yapılan çözümlemelerde hata oluşacaktır. Fakat bu hatanın kabul edilebilir sınırlarda olup olmadığı ölçülmelidir. Hata miktarını belirleme de değişik yöntemler kullanılır.

13 Hata Çeşitleri 1. Mutlak Hata:
Analitik olarak bilinen ve doğru değer olarak kabul edilen bir sonucu ile sayısal yöntemler ile elde edilmiş sonucun arasındaki farkın mutlak değeridir.

14 Bağıl Hata: Gerçek değere ne kadar yaklaşıldığının oransal bir gösteren bir hata çeşididir. Çoğu problemde bağıl hata mutlak hatadan daha fazla anlam ifade etmektedir. Bağıl hata 100 ile çarpılarak % bağıl hata olarak kullanılabilir. Örneğin bir füzenin menzilinin gerçek değeri 5000 km ise ve yapılan hesaplamalarda bu 4999 km olarak bulunuyorsa, buradaki gerçek hata= = 1‘dir. Başka bir örneği inceleyecek olursak bir aracın ulaşabileceği maksimum hızın gerçek değeri 50 km/s iken yapılan hesaplamalarda 49 km/s bulunuyorsa bu durumda da mutlak hata=50-49=1 km/s’ dir. İki durumda da hata 1 km olarak çıkmaktadır. Fakat daha adil bir değerlendirme yapabilmek için yüzde olarak hatalarına bakıldığında ortaya çıkan hatanın büyüklükleri daha net ortaya konulacaktır

15

16 Yaklaşım Hatası: Hem mutlak hata hem de bağıl hata hesaplamalarında çözümün gerçek değerinin bilinmesi gerekiyordu. Gerçek değerin bilinmediği bir çok problem de ise yaklaşım hatası kullanılabilir. Yaklaşım hatasında adım-adım iteratif bir şekilde elde edilen çözüm değerleri bulunur. Bir önceki iterasyonda elde edilen değer yeni iterasyonda kullanılarak hata miktarı oransal olarak tahmin edilmeye çalışılır.

17

18 Sistematik (Belirli) Hata
Sistematik (Belirli) Hata Kaynakları belirlenebilen ve düzeltilebilen hatalardır. Sonuçların doğruluğuna etki eder - Numune Hataları - Alet Hataları - Metot hatalar - Kişisel Hatalar Rastgele (Belirsiz) Hata Bilinmeyen ve kontrol edilemeyen hata tipidir. Ölçümün kesinliğine etki eden hatadır. İki ölçüm arasında deney şartlarının az veya çok değişmesidir. Büyük (kaba) Hata Çok az rastlanan, analizciden veya beklenmedik olaylardan kaynaklanan büyük hatalardır. - Aritmetik işlem hatası yapılması - Rakamların yerlerinin değişik yazılması - (+) yerine (-) yazılması - yanlış skaladan okuma yapılması

19 Ortalama Değer ve Standart Sapma
Bir büyüklüğün gerçek değeri sonsuz sayıda ölçü yapılamayacağı için genellikle belirlenemez. Bir büyüklük, rastgele bir şekilde genellikle ( n   ) iken aynı doğrulukta, birbirinden bağımsız ve sadece rastlantısal hatalarla yüklü ölçülerden belirlenmek istenirse, her bir ölçü değeri, gerçek değer olarak adlandırılan ortalama değer den sapar. Genellikle belirli sayıda ( n ) ölçü olduğundan gerçek değere en yakın olan ve kesin değer olarak adlandırılan aritmetik ortalama kullanılır. (Ortalama Değer) Ortalama Değerden Sapması Hata ve düzeltme ters işaretli kavramlardır. Bu durumda; hata = ölçü değeri – kesin değer düzeltme = kesin değer – ölçü değeri’dir.

20 Mutlak Hata Ölçülen ‘x’ fiziksel büyüklüğünün mutlak hatası
Ölçüm sonucu aşağıdaki gibi ifade edilir; Ölçülen gerçek değer x0 ve mutlak hata Δx ise; aralığında olan ölçüm sonuçları geçerli ve güvenilir olarak kabul edilir.

21 BAZI YANLIŞLAR Zaman büyüklüğünün birimi olan saniyenin simgesi  “sn” değil, “s” dir. Kilogramının simgesinin “kg” olduğuna göre; gram birimi yazmak için fazladan bir “r” eklememeli (gr) sadece “g” kullanılmalıdır.  Litrenin simgesi   “l” dir. Bunun yerine “lt” veya mililitre için “mlt” veya daha yaratıcı olarak “mLt” veya “mL” yazımları yanlıştır. Birimlerin kısaltmalarından sonra nokta konulmaz. (kg.) yazımı yanlış olup doğrusu (kg) dir.   Hava sıcaklığı 20°C ‘yi, yirmi derece celsius (selsiyus) yerine yirmi santigrad derece diye okumak yanlıştır. Hava durumu sunucularının  yaptığı bir başka sunum şekli olan “- 5°C” yi “eksi beş” yerine “sıfırın altında beş” olarak okumaları da bilimsel olarak yanlıştır. 

22 Soru: Bir köprü ve bir perçinin uzunluklarını ölçmeniz isteniyor
Soru: Bir köprü ve bir perçinin uzunluklarını ölçmeniz isteniyor. Ölçüm sonucunda boylarını sırasıyla 9999 ve 9 cm bulduğunuzu varsayalım. Eğer gerçek değerler sırasıyla ve 10 cm ise her iki durum için (a) gerçek hatayı, (b) gerçek yüzde hatayı hesaplayın. Çözüm: Köprünün ölçülmesindeki hata = = 1 cm perçinin ölçülmesindeki hata; =10-9=1 cm.

23 Soru: Bir köprü ve bir perçinin uzunluklarını ölçmeniz isteniyor
Soru: Bir köprü ve bir perçinin uzunluklarını ölçmeniz isteniyor. Ölçüm sonucunda boylarını sırasıyla 9999 ve 9 cm bulduğunuzu varsayalım. Eğer gerçek değerler sırasıyla ve 10 cm ise her iki durum için (a) gerçek hatayı, (b) gerçek yüzde hatayı hesaplayın.

24 3.2. Kesme ve Yuvarlama Hataları:
1.59, olarak algılanır. Hata, 0.09’dur 1.51, olarak algılanır. Hata 0.01’dir Yuvarlama 1.59, olarak algılanır. Hata, 0.01’dir. 1.51, olarak algılanır. Hata 0.01’dir.

25 Örnek-1 Körfez savaşı sırasında 25 Şubat 1991 günü
atılan Irak Skud füzesi Suudi Arabistan’daki Amerikan patriot füzesi algılamadı ve 28 kişi öldü.

26 Soruşturma sonunda, sorunun bir yazılım hatasından kaynaklandığı anlaşıldı.
Patriot bilgisayarı aritmetik hata nedeniyle füze zamanını yanlış hesaplamıştı. Bilgisayar saatinden alınan değer 1/10 ile çarpılarak geçen süre hesaplanmaktaydı. Bilgisayar 24-bit sabit kayıtçı kullanmaktaydı.

27 1/10 sayısı 2’li tabanda 1/2 +1/2 +1/2 +1/2 +1/2 +1/2 +
1/10 sayısı 2’li tabanda 1/2 +1/2 +1/2 +1/2 +1/2 +1/ şeklinde sonsuz terimlidir. Başka bir deyişle 1/10’un 2 li tabandaki açılımı şeklindedir. Sayı: 24-bit: Kesme hatası: 100 saatlik batarya süresince bu hata: ×100×60×60×10=0.34 sn Saniyede 1,676 metre yol alan skud füzesi 0.34 saniyede 500 metreden fazla gider. Bu kadarlık hata ise Skud’un menzil dışında görülmesine yol açar (Sevgi, L.,2005).

28 Soru. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
Soru: mg etken madde içerdiğibilinen bir ilaçta yapılan etken madde analizlerinde şu sonuçlar alınmıştır. 19,80 20,30 20, , ,70 ortalama değer, ortanca değer, mutlak hata, bağıl hata, aralık, ve binde bağıl hatayı hesaplayınız. Soru: B vitamini haplarında yapılan analizlerde aşağıdaki sonuçlar bulunmuştur. 81,10 79, , ,70 ortalamayı ve standart sapmayı hesaplayınız.%95 güven seviyesi için güven aralığını hesaplayınız. Gerçek değer 80,00 ise %95 güven seviyesi için metotta sapma var mıdır? Soru. Aşağıdaki işlemleri yapınız. 1,76 (±0,03) + 1,89 (±0,02 ) - 0,59(±0,02) = ? [ 1,76 (±0,03) x 1,89 (±0,02 ) ] / 0,59(±0,02) =?

29 N ∑ xi i=1 x = az sayıdaki veri için N ∑ xi i=1 μ = Bir veri takımının gerçek ortalaması N ∑ (xi – μ)2 i=1 σ =  Gerçek standart sapma N ∑ (xi – x )2 i=1 s =  N -1 Numune standart sapması Varyans Standart sapmanın karesi(σ2) varyans olarak adlandırlır. Varyasyon katsayısı %100 ile çarpılan bağıl standart sapmaya varyasyon katsayısı (VK) denir. Bağıl Standart sapma (RSD) standart sapmanın ortalama değere bölünmesidir. s / x

30 Soru. Bir gölde yakalanan 7 balık numunesinde yapılan civa analizi sonuçları aşağıdadır.

31 Bölüm2:Sayısal Hata Türleri
Sayısal hatalar, gerçek matematik işlemlerin ve büyüklüklerin yaklaştırmalarla ifade edilmelerinden doğar. Bunlar, gerçek matematik işlemlerin yaklaştırmalarla ifade edilmelerinden kaynaklanan kesme hataları, gerçek sayıları ifade etmek için sınırlı basamaklı sayıların kullanılmasından kaynaklanan yuvarlatma hatalarıdır. Her iki durumda da yaklaştırma ile gerçek veya doğru sonuç arasındaki ilişki, gerçek değer = yaklaştırma + hata şeklinde ifade edilebilir. Yuvarlatma Hataları: Yuvarlatma hataları bilgisayarın hesaplar sırasında sadece belirli sayıda anlamlı basamağı saklamalarından kaynaklanır. Bilgisayar reel sayıları hafızada sınırlı duyarlıkta saklamasından dolayı yuvarlatma hatası ortaya çıkar. , e, gibi sayılar sabit sayıda anlamlı basamakla yazılamaz. Bu nedenle bilgisayarda tam olarak ifade edilemez.

32 Örneğin sayısını ele aldığımızda;
Tek-duyarlı temsilde, 6-7 haneden sonrası dikkate alınmaz. Buna göre; Bazı derleyiciler, doğrudan kesip atar, bazıları da bir önceki haneye yuvarlar. Hangisi olursa olsun buna yuvarlama hatası denir. Örneğin her zaman A-A=0 olmayabilir. Aşağıdaki program bu işi yapmaktadır. Bu programda a-(a/b) x b ifadesi belli a ve b sayıları için hesaplanmaktadır. Kalemle yaptığımız işlemlerde sonucun özdeş olarak sıfır olması gerektiğini biliyoruz. Oysa programın çıktısı şöyle olur. -5,421011x10-20

33 Sonuç sıfır değildir, çünkü A ve B sayıları hafızaya sınırlı sayıda (6-7) ondalık hanesiyle alınmaktadır. Böylece, bir bölme işlemiyle (A/B) gerçek değerden uzaklaşmış oluruz ve sonuç sıfırdan farklı olur. Küçük ve Büyük sayılar yan yana getirmek risklidir: Aşağıdaki programda 1 sayısına kez 1/ sayısı eklenmektedir; REAL TOPLAM TOPLAM=1 DO 10 I=1,10000 TOPLAM=TOPLAM 10 CONTINUE PRINT*, ‘TOPLAM=‘, TOPLAM END Bu işlem sonucunun 1.1 olması gerekir. Oysa, programın çıktısı şöyle olur; TOPLAM= Yuvarlama hatası bilgisayarın reel sayıları tam doğrulukta temsil edemeyişinden kaynaklanan hata türüdür. Bu hata birkaç işlem için pek büyük değerde olmayabilir: ama, binlerce kez birbirine eklendiğinde ciddi boyutlara ulaşır ve sonuçta gerçek değerle alakası olmayan bir sayı verebilir.

34 Kesme Hataları: Kesme hataları kesin bir matematik prosedür yerine yaklaştırma kullanılması sonucu oluşur. Yani, bir hesaplamada kullanılan matematiksel yöntemin yaklaşık oluşundan kaynaklanan hata türüdür. Kesme hatasını örneklemenin en iyi yolu matematiksel yöntem olarak Taylor Serisini kullanmaktır. Taylor serisinin sayısal yöntemlerin öğrenilmesinde çok büyük değeri vardır. Öz olarak Taylor serisi, bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki değerinin fonksiyonun ve türevlerinin bir başka noktadaki değerleri cinsinden tahmin edilebilmesine olanak tanır. Taylor kuramı, özel olarak, herhangi düzgün bir fonksiyonun yaklaşık olarak bir polinomla ifade edilebileceğini söyler. Örneğin: f(x) fonksiyonunun bir x noktası etrafındaki Taylor açılımını gözönüne alalım, Taylor serisinin genel formu aşağıdaki gibidir.

35 İstatistik Nedir? Tanım 1:
Herhangi bir konu ile ilgili veriler… İstatistik Nedir? Tanım 1: İstatistik bilimi, verilerin toplanması, düzenlenmesi, özetlenmesi, takdimi, analizi ve bu analizler aracılığıyla elde edilen sonuçların yorumlanması ve bir karara bağlanması ile ilgilenir.

36 Genel olarak araştırmalarda, büyük veri gruplarının içinden daha küçük veri grupları seçilerek büyük veri gruplarının hakkında bilgi edinmek amaçlanır. Örneğin; Pazar araştırmaları, Kamuoyu yoklamaları, TÜİK’in yaptığı hanehalkı araştırmaları.

37 İstatistik Temel Kavramlarına Giriş
İstatistik kelimesinin Latincede durum anlamına gelen “Statüs” kökünden geldiği kabul edilmektedir. Bazı istatistikçiler ise; İtalyancada devletin siyasal durumunu belirlemede kullanılan “Stato” kökünden geldiğini kabul etmektedirler. Bu sözcük kullanım yeri ve amacına göre farklı anlamlar taşır. Günlük hayatta istatistik ya da istatistikler denildiğinde, belirli bir olaya ilişkin derlenmiş sayısal bilgiler akla gelir. Nüfus, fiyat, ithalat, ihracat, gelir, turizm, sağlık istatistikleri ve benzeri istatistikler bu tip kullanıma örnek olarak gösterilebilir.

38 Veri: Ölçüm sonuçları, cinsiyet, araştırma çıktıları gibi çeşitli çalışmalardan elde edilmiş gözlemlerdir.

39 Verilerin Düzenlenmesi
Bir gözlemde yada deneyde elde edilen verilere ham veri (raw data) denir. Veriler genelde incelemeden önce büyükten küçüğe (yada tersi) sıralanır (sort edilir). Sıralanmış veriler sınıflandırılır. Sınıflar tüm verileri kapsayacak ve her veri sadece bir sınıfa dahil olacak şekilde tanımlanır. Her sınıftaki eleman sayısına sınıf frekansı denir. Veriler histogram kullanarak grafiksel olarak gösterilebilir.

40 Anakütle (Populasyon)
Üzerinde çalışılan,araştırmaya konu olan bütün birimlere denir. İstatistiksel sonuçların genelleştirileceği gruptur. İstatistiksel Anlamda Anakütle Ne Değildir? Bir işletmede üretilen vidalar. İMKB’de işlem gören hisse senetleri. Nedir? Bir işletmede üretilen vidaların çapları. İMKB’de işlem gören hisse senetlerinin kapanış fiyatı.

41 Kitle ve Örneklem Kitle (Population) – üzerinde çalışılan tüm gruba yada istatistiksel sonuçların genişletileceği gruba kitle denir örnek: bütün sınıf, tüm ülke insanları, tüm kanser hastaları Örneklem (Sample) – kitlenin bir alt kümesidir örnek: bir takım, rasgele seçilen bazı insanlar Bütün kitle hakkında sonuçlara varabilmek için genelde örneklem kullanılır.

42 Neden örneklem kullanılır?
Kitle çok büyük olabilir dünyadaki tüm insanlar, uzaydaki tüm yıldızlar. Kitleye ulaşmak imkansız olabilir tarih öncesi insanları Kitleyi incelemek tehlikeli olabilir araba enkazları/kazaları, patlamalar Kitleyi ölçmek zor olabilir atomların alt parçacıkları Ölçüm örneği kullanılmaz hale getiriyor olabilir vidanın dayanma gücü

43 Sayım anakütlenin her biriminin sayılması Örnek anakütleden çekilen alt küme

44 Parametre Değişken Anakütlenin tanımlayıcı sayısal ölçüsüdür.
Kütledeki gözlemlere dayandığından değeri genelde bilinmemektedir. Populasyonun parametresi olarak tanımlanabilir. Parametreyi belirlemek için anakütledeki tüm elemanların incelenmesi gerekir. Değişken Her gözleme göre farklı değerler alabilen objelere, özelliklere ya da durumlara denir. Örnekler: Öğrencilerin kardeş sayısı Bankaların YTL. bazında aylık mevduat faiz oranı Bir süpermarkete belirli bir sürede gelen müşteri sayısı Tütün işleyen bir fabrikada günlük işlenen tütün miktarı. 44

45 Ortalama verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür.
Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama, değerler toplamının değer sayısına bölümü şeklinde tanımlanır. Bu tanıma göre aritmetik ortalama şöyle formüle edilir. Frekanslar söz konusu olduğunda, sınıflandırılmış seriler için,

46 Örnek olarak, bir sınava giren toplam öğrenci sayısı 7 olsun
Örnek olarak, bir sınava giren toplam öğrenci sayısı 7 olsun. Bu 7 öğrencinin sınavdan aldıkları notlar ise 100 üzerinden 60, 35, 28, 77, 81, 72 ve 74 olsun. O halde yukarıdaki formülü kullanarak bu sınav sonucundaki aritmetik ortalamayı hesaplayabiliriz: Aritmetik ortalama = ( ) / 7 = 61’dir. Toplam puanların puan sayısına (öğrenci sayısına )bölünmesi ile aritmetik ortalama bulunur. Aritmetik ortalamanın hesaplanmasında, puan dağılımındaki her puan hesaplamaya dahil edildiğinden, diğer merkezi eğilim ölçülerine göre aritmetik ortalama daha çok tercih edilen bir istatistiktir.

47 Ağırlıklı Ortalama Puanların ortalamaya katkı oranlarının farklı olması gerektiği durumlarda aritmetik ortalama yerine ağırlıklı ortalama hesaplanabilir. Sınavların farklı kapsama sahip olmaları ya da farklı önem dereceleri ağırlıklı ortalama kullanmalarını gerektirir. Ağırlıklı ortalama; veri kümesindeki bütün değerlerin aynı ağırlığa (öneme) sahip olmadıkları durumlarda kullanılır. 1’den n’e kadar olan bir veri kümesinde X’ler veri değerleri ve W’lar her bir X için bir ağırlık fonksiyonu olarak kabul edilirse; ağırlıklı ortalama formülü şöyle oluşur:

48 Ağırlıklı Ortalama Ağırlıkları w1,w2, …,wk, olan x1,x2, …, xk, verilerinin ağırlıklı ortalaması:

49 O halde ağırlıklı ortalaması;
Ağırlıklı ortalama eğitimde yaygın olarak kredili ders sistemindeki ortalamaların hesaplanmasında kullanılmaktadır. Örnek: İktisat, İşletme, Hukuk ve İngilizce derslerini alan bir öğrencinin ders kredisi / ders notu çizelgesi şöyledir: O halde ağırlıklı ortalaması; (4x75)+(3x70)+(2x60)+(2x90) = 11

50 Örnek Yandaki tabloda verilen ders ve notlar için ağırlıklı ortalama:

51 Mod Nedir? mod – kesikli verilerde (yada kesikli aralıklara gruplanmış verilerde) en fazla görülen değer. Örnek: MÜH100 dersini alan öğrencilerin çoğu EEM bölümünden.

52 Medyan(Ortanca) Büyüklük sırasına göre düzenlenmiş puanlar dizisinin tam ortasına düşen puandır. Ortanca hesaplanırken mutlaka verilerin sıraya konulmuş olması gerekmektedir. Ölçülen değerler küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe doğru dizildiği zaman grubun, dizinin tam ortasındaki ,yani yüzde ellinci puan veya ölçümüdür. Denek sayısı çiftse, ortadaki iki deneğin ortalamaları alınır. Aşırı değerlerden etkilenmez. Verilerde sapan değerler var ise ortanca verileri ortalamadan daha iyi betimler. Örnek: Şu an bu sınıftaki kişilerin yaş ortalaması.

53 Ortanca nedir? Ortanca (medyan) – veriler sıralanmış olmalı tek sayıda gözlem var ise ortanca orta değerdir çift sayıda gözlem var ise ortanca iki orta değerin ortalamasıdır Verilerde sapan değerler var ise ortanca verileri ortalamadan daha iyi betimler. Örnek: Şu an bu odadaki kişilerin yaş ortalaması.

54 Bir kitleyi (yada bir örneklemi) tek bir sayı ile tanımlamak/betimlemek istersek ne kullanırız?
Ortalama (Mean) – aritmetik ortalama Mod (Mode) – en çok tekrarlanan (en sık görülen) değer. Ortanca/Medyan (Median) – veri kümesinin “orta” değeri.

55 Değişim Aralığı Nedir? Değişim Aralığı (Range) – en büyük ve en küçük değerler arasındaki fark. Örnek: A üniversitesinin B bölümünün tavan puanı 361 ve taban puanı 349 ise. En düşük (Minimum) = 349 puan En yüksek (Maksimum) = 361 puan Değişim aralığı = = 12 puan

56 Ortalama Mutlak Sapma Herhangi bir verinin ortalamadan sapması
Tüm sapmaların toplamı sıfırdır Ortalama Mutlak Sapma (OMS)

57 Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi Hastanesi kardiyoloji servisinde yatan hastaların hastanede kalış süreleri hakkında bilgi sahibi olunmak istenmektedir. Rasgele seçilen 15 hastanın hastanede kalış süreleri aşağıdaki gibi saptanmıştır. Hastaların hastanede kalış sürelerine ilişkin aritmetik ortalamayı hesaplayınız