LİMİT ve SÜREKLİLİK.

... konulu sunumlar: "LİMİT ve SÜREKLİLİK."— Sunum transkripti:

1 LİMİT ve SÜREKLİLİK

2 Matris Limit Türev - İntegral Matematik II Mesleki Matematik Yandık!

3

4 X 1.8 1.9 1.99 2 2.001 2.1 2.2 y 5.832 6.859 7.8805 7.9998 8.0001 8.012 9.261 10.648

5 Eğer x değişkeni a sayısına a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve ile gösterilir. Eğer x değişkeni a sayısına a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve ile gösterilir.

6

7 Arkadaşlar bu konuyu tekrar etmez isek çabucak unutabiliriz

8

9 * * a>1 olmak üzere: * * olmak üzere:

10 ile ilgili işlemler aşağıdaki gibi tanımlanır.

11

12 Limit Theoremleri

13 Limit Kuralları Ex. Ex.

14 Örnekler

15

16 More Examples

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26 Süreklilik Eğer fonksiyon x = a noktasında sürekli ise f(a) a

27 Limits at Infinity Sonsuz
For all n > 0, provided that is defined. Divide by Ex.

28 More Examples

29

30 Örnek limit

31 limit = - 5

32 limit

33 limit 5 calculate one sided limits 7 x =2 de limit yoktur

34 Arkadaşlar bu konuyu tekrar etmez isek çabucak unutabiliriz

35 ifadesinin değeri kaçtır?
Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥 2 +4𝑥−3 ifadesinin değeri kaçtır?

36 Uyarı: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =0 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 =0 dır. Kurallar 1)
𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =0 Kurallar 1) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =1 2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥 =1 3) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 =1 4) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 =1 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 =0 dır.

37 ifadesinin değeri kaçtır?
Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥+2.𝑠𝑖𝑛𝑥 2.𝑡𝑎𝑛𝑥−3𝑥 ifadesinin değeri kaçtır?

38 Pay ve paydayı x e bölelim
Çözüm: Pay ve paydayı x e bölelim 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑥 𝑥 +2. 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥 −3 𝑥 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥 −3 = −3 = 3 −1 =−3

39 1) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 1 𝑥 =0 2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑥 =0 3) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 −3 𝑥 2 +𝑥 =∞ 4) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑥 .𝑥 =∞ Not: 𝑠𝑎𝑦𝚤 𝑠𝚤𝑓𝚤𝑟 =𝑠𝑜𝑛𝑠𝑢𝑧 𝑠𝑎𝑦𝚤 𝑠𝑜𝑛𝑠𝑢𝑧 =𝑠𝚤𝑓𝚤𝑟

40 Limitte Belirsizlik Durumları 0 0 , ∞ ∞ ,
0 0 , ∞ ∞ , ∞−∞, 0.∞ biçimindeki belirsiz ifadeleri aşağıdaki Örneklerle ele alacağız.

41 ifadesinin değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır?
Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥 2 −4 𝑥−2 ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (𝑥+1) 2 −1 𝑥 ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥 2 −3𝑥+2 𝑥 2 +2𝑥−3 ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 𝑥 2 −2𝑥−8 𝑥+2 ifadesinin değeri kaçtır?

42 ifadesinin değeri kaçtır?
Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥+1 −1 𝑥 ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥 3 −1 𝑥 2 −1 ifadesinin değeri kaçtır?

43 Payın derecesi büyük ise sonuç; +∞ veya −∞ dur.
Pay ile paydanın derecesi aynı ise, büyük dereceli ifadelerin katsayıları birbirine oranlanır. b) Payın derecesi büyük ise sonuç; +∞ veya −∞ dur. c) Paydanın derecesi büyük ise, sonuç 0 dır. Uyarı: 𝑃(𝑥) ve 𝑄 𝑥 birer polinom olmak üzere, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∓∞ 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) limiti hesaplanırken, 𝑃(𝑥) ve 𝑄 𝑥 in en büyük dereceli terimlerinin dışındaki bütün terimleri ihmal edilir. Yani sadece en büyük dereceli terimleri hesaba katılarak limit bulunur.

44 1) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 4𝑥 3 −8 2 𝑥 3 +𝑥 2 = =2 2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥 5 +4𝑥−1 𝑥 3 −2𝑥 =∞ 3) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑥 2 −𝑥 𝑥 3 +𝑥 =0 4) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑥 5 +2𝑥 𝑥 4 +3 =−∞ 5) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥 𝑥 6 =0 6) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑥 2 −3 𝑥 2 =1

45 7) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥 3 −2𝑥+5 1−𝑥 4 =0 8) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 2𝑥 3 +𝑥−6 𝑥 2 −3 =∞ 9) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 2𝑥 5 +4𝑥 1−4𝑥 5 −2𝑥 = 2 −4 =− 1 2

46 ifadesinin değeri kaçtır?
Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥 3 −8𝑥+16 𝑥 4 −4𝑥 ifadesinin değeri kaçtır? 𝑎𝑥+3=2𝑥−1 𝑎.(−2)+3=2.(−2)−1 −2𝑎+3=−4−1 −2𝑎+3=−5 −2𝑎=−5−3 −2𝑎=−8 𝑎=4 Örnek: 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1, 𝑥<−2 &𝑎𝑥+3, 𝑥≥−2 𝑥=−2 de limiti var ise a kaçtır?

47 Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑎 𝑥 2 −𝑥+1 4−𝑥 2 +𝑏 =6 olduğuna göre, 𝑎−𝑏 kaçtır?

48 Not: Bütün sayıların (Sıfır hariç) −∞ kuvveti 0 dır. Örnek: 5 −∞ =0 10 −∞ =0

49 limitinin değeri kaçtır?
Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (𝑥+𝑦) 2 − 𝑦 2 𝑥 limitinin değeri kaçtır? = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥 2 +2𝑥𝑦+𝑦 2 − 𝑦 2 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥 2 +2𝑥𝑦 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥.(𝑥+2𝑦) 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥+2𝑦 =2𝑦

50 AÇIK ÖĞRETİM SINAVLARINDA ÇIKMIŞ LİMİT SORULARI

51 SORU 1: olduğuna göre, 𝑎 kaçtır? 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 2𝑥+𝑎 4𝑥+1 =3 A) −25 B) −17
𝑙𝑖𝑚 𝑥→− 𝑥+𝑎 4𝑥+1 =3 olduğuna göre, 𝑎 kaçtır? A) −25 B) −17 C) −3 D) 0 E) 13

52 SORU 2: değeri kaçtır? 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 4 𝑥 2 −2𝑥+200 2 𝑥 2 +40000 A) −2 B) −1
𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 değeri kaçtır? A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2

53 SORU 3: değeri aşağıdakilerden hangisidir? 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥 3 −10 𝑥 2 +1
𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥 3 −10 𝑥 2 +1 değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) −∞ B) 0 C) 1 D) 3 E) ∞

54 SORU 4: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥 2 değeri kaça eşittir? A) 0 B) C) 1 D) 2 E) ∞

55 Soru 5: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−6 12.(𝑥+6) 𝑥 2 −36 değeri kaçtır? A) 12 B) 1 C) 0 D) −1
𝑙𝑖𝑚 𝑥→− (𝑥+6) 𝑥 2 −36 değeri kaçtır? A) 12 B) 1 C) 0 D) −1 E) −12

56 𝐴) 0 𝐵) 1 2 𝐶) 1 𝐷) 2 𝐸) ∞ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥+14 2 𝑥 2 −𝑥+1 değeri kaçtır?
SORU 7: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥+14 2 𝑥 2 −𝑥+1 değeri kaçtır? 𝐴) 0 𝐵) 𝐶) 𝐷) 2 𝐸) ∞

57 fonksiyonu aşağıdaki noktalardan hangisinde süreksizdir?
Soru 8: 𝑓 𝑥 = 2𝑥−4 𝑥−3 fonksiyonu aşağıdaki noktalardan hangisinde süreksizdir? 𝐴) 0 𝐵) 1 𝐶) 𝐷) 3 𝐸) 4

58

59